一次函数复习教师版.docx

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一次函数复习教师版

一次函数复习

一、课标要求与内容分析

1．本章的课标要求是：

（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律；

（2）通过简单实例，了解常量、变量的意义；能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值；能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测；

（3）结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式；会画一次函数图象；根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况＝；理解正比例函数；能根据一次函数图象求二元一次方程组的近似解；能用一次函数解决实际问题．

2．本章的主要内容是通过一定的探索活动，抽象出函数、一次函数的概念，进而探索一次函数及其图象的性质，并利用其解决实际问题．

3．本章是在前面学习了利用方程知识来解决实际问题的基础上，进一步学习变量之间的关系，让学生初步体会函数的概念，进而研究其中最为简单的一种函数——一次函数.通过对一次函数的剖析，使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

4．本章的重点是一次函数的概念、图象、性质及其应用；难点是对函数的意义的理解及函数的表示方法；关键是处理好新旧知识的联系，由方程自然地向函数过渡，尽可能地减少对新知识接受的困难．

二、学法指导

在本章的学习中，要逐步透彻理解函数的概念，在理解的基础上掌握一次函数图象的性质，注意在解决问题过程中充分体会和运用数形结合的思想，除此之外，还要注意函数与方程、不等式、几何知识的内在联系，把一次函数的知识与其他学科有机地结合起来．

章末总结

知识网络图示

基本知识提炼整理

一、基本概念

1．函数的概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

2．一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量）.

特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.

二、一次函数和正比例函数的图象和性质

函数

图象

性质

一

次

函

数

y=kx

+b

（k≠0）

过点（0，b）且平行于y=kx的一条直线

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限；

①当b＞0时，过第一、二、三象限；

②当b=0时，只过第一、三象限；

③当b＜0时，过第一、三、四象限.

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限.

①当b＞0时，过第一、二、四象限；

②当b=0时，只过第二、四象限；

③当b＜0时，过第二、三、四象限

正

比

例

函

数

y=kx

（k≠0）

过原点的一条直线

图象过原点.

（1）当k＞0，y随x的增大而增大，图象必过第一、三象限；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，图象必过第二、四象限

专题总结及应用

一、基础知识应用

1．结合实例理解函数的概念．

2．熟练掌握一次函数和正比例函数的概念．

3．结合一次函数的图象，熟练掌握一次函数和正比例函数的性质.

4．会求一次函数的表达式.

5.能灵活运用一次函数的图象解决实际问题.

例1一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0．7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0．2元的价格退回报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获利润为y（元）．

（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？

最大利润是多少？

[分析]

（1）先确定x的取值范围，60≤x≤100，且x是正整数，然后列出函数表达式．

（2）利用一次函数的性质求出最大利润．

解：

（1）若报亭每天从报社订购晚报x份，

则x应满足60≤x≤100，且x是正整数．

则每月共销售（20x＋10×60）份，退回报社10（x-60）份．

又因为卖出的报纸每份获利0．3元，退回的报纸每份亏损0．5元，所以每月获得的利润为，

y=0．3（2Ox十10×6O）一0.5×1O（x-6O）=x十48O．

自变量x的取值范围是60≤x≤100，且x是正整数．

（2）∵当60≤x≤100时，y随x的增大而增大，

∴当x=100时，y有最大值．

y最大值=100＋480=580（元）．

∴报亭应该从报社订购100份报纸，才能使每月获得的利润最大，最大利润是580元．

小结解有关一次函数的应用题要注意运用数形结合的方法综合分析问题，将所学知识灵活运用，融会贯通，同时还要特别注意自变量的取值范围的限制，它是解决问题的关键之一．

例2拖拉机耕地时，每小时的耗油量假定是个常量，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．

（1）写出油箱中余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；

（2）画出函数图象；

（3）这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时？

（分析）由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象（在自变量取值范围内）.

解：

（1）设函数关系式为Q=kt+b（k≠0）.

由题意可知，

∴余油量Q与时间t之间的函数关系式是

Q=-6t+40.∵40-6t≥0,∴t≤

.

∴自变量t的取值范围是0≤t≤

.

（2）当t=0时，Q=40；当t=

时，Q=0.

得到点（0，40）,（

0）.

连接两点，得出函数Q=-6t+40（0≤t≤

）的图象，如图11-53所示.

（3）当Q=0时，t=

，那么

-3=3

（时）.

∴拖拉机还能耕地3

小时，即3小时40分.

小结运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的.

二、数学思想方法的归纳及应用

1.函数方法

函数方法就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.

例1利用图象解二元一次方程组

（分析）方程组中的两个方程均为关于x,y的二元一次方程，可以转化为y关于x的函数.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，实质上是两个y关于x的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解.

解：

由①得y=2x-2，

由②得y=-x-5.

在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2，y=-x-5的图象如图11-54所示.

观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是（-1，-4）.

∴原方程组的解是

小结解方程组通常用消元法.但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解.

例2我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了ymL水.

（1）试写出y与x之间的函数关系式；

（2）当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？

（分析）已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时=3600秒，∴1小时滴水3600×2滴，又∵每滴水约0.05mL，∴每小时约滴水3600×2×0.05＝360mL.

解：

（1）y与x之间的函数关系式为x=360x（x≥0）.

（2）当y=1620时，有360x=1620，

∴x=4.5.

∴当滴了1620mL水时，小明离开水龙头4.5小时.

2.数形结合法

数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.

例3如图11－55所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为A（2，0），且OA=OB，试求一次函数的解析式.

（分析）通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B点的坐标即可，因为OB=OA=2，所以点B的坐标为（0，-2），再结合A点坐标，即可求出一次函数的关系式.

解：

设一次函数的关系式为y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）.

∵OA=OB，点A的坐标为（2，0）,

∴点B的坐标为（0，-2）.

∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b，

∴

∴

∴一次函数的关系式为y=x-2.

【说明】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用.

3.分类讨论法

分类讨论法是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法.分类讨论法既是一种重要的数学思想，又是一种重要的教学方法.分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象，分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结.

例4在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图11－56所示，能否用函数关系式表示这段记录？

（分析）根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论.电脑记录提供了赛车时间t（s）与赛车速度υ（m/s）之间的关系，在10s内，赛车的速度从0加速到7.5m/s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响.

解：

观察图象可知，

当t在0～1s内时，速度υ与时间t是正比例函数关系，

υ=7.5t（0≤t≤1）；

当t在1～8s内时，速度υ保持不变，

υ=7.5（1＜t≤8）；

当t在8～10s内时，速度υ与时间t是一次函数关系，

υ=-3.75t+37.5（8＜t≤10＝.

例5某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付仓储费用700元，问他如何销售获利较多？

（分析）两种方式获利多少与投入资金有关，需要分类讨论，题中的三个百分比是对投资来讲的，设该商场投入资金x元，则按不同方式销售的获利情况：

月初出售共获利15%x+（x+15%）·1O%；月末出售共获利3O%x-700.然后比较两种销售方式获利的多少.

解：

设商场计划投资x元，在月初出售共获利y1元，在月末出售共获利y2元，根据题意，得

y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x，

y2=30%x-700=0.3x-700.

∴y1-y2=0.265x-（0.3x-700）=700-0.035x.

①当y1-y2=0时，有700-0.035x=0，∴x=20000.

∵当x=20000时，两种销售方式获利一样多.

②当y1-y2＞0时，有700-0.035x＞0，∴x＜20000.

∴当x＜20000时，y1＞y2.即月初出售获利较多.

③当y1-y2＜0时，有700-0.035x＜0，∴x＞20000.

∴当x＞20000时，y1＜y2.即月末出售获利较多.

【说明】进行有关问题的分类讨论，要全面考察，可根据图形或题意找出所有可能的情况，然后进行总结.

4.方程方法

方程方法是指对所求数学问题通过列方程（组）使问题得解的方法.在函数及其图象中，方程方法的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式中.

例6已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-3，-2）及点B（1，6）,求此函数关系式，并作出函数图象.

（分析）可将由已知条件给出的坐标分别代入y=kx+b中，通过解方程组求出k，b的值，从而确定函数关系式.

解：

由题意可知，

∴函数关系式为y=2x+4.

图象如图11－57所示.

【说明】一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k,b，根据待定系数法，只要列出方程组即可.

例7科学家通过研究得出：

一定质量的某种气体在体积不变的情况下，压强p（kPa）随温度t（℃）变化的函数关系式是p=kt+b，其图象如图11－58所示的直线.

（1）根据图象求出上述气体的压强P与温度t之间的函数关系式；

（2）当压强p为200kPa时，求上述气体的温度.

（分析）要求出p与t之间的函数关系式，需知图象上的两个点的坐标，由图象可知，点

（25，110）,（50，120）在该图象上，通过解方程可得关系式.

解：

（1）观察图象可知，点（25，110）,（50，120）在该图象上.

∴

∴函数关系式为p=

t+100.

（2）当p=200时，有

200=

t+100，

∴t=250.

∴当压强P为200kPa时，气体的温度是250℃.

本章综合评价

一、训练平台

1.如图11－59所示，若直线l是一次函数y=kx＋b的图象，则（）

A.k＞0，b＞0B.k＞0，b＜OC.k＜O，b＜OD.k＜O，b＞0

2.函数y=-x与函数y=x＋1的图象的交点坐标为（）

A.（-

）B.（

-

）C.（-

-

）D.（

）

3.若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（时）之间的函数关系用图11－60所示的图象表示为（）

4.已知y=（m-2）x

是正比例函数，则m=.

5.若一次函数y=kx+3的图象过点M（3，-4）,则k=.

6.已知一支铅笔0.2元，买x支铅笔付款y元，则y与x之间的函数关系式是.

7.一根弹簧原长为12cm，它所挂物体的质量不能超过15kg，并且每挂1kg物体就伸长了

cm,，则挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是.

8.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求当x=1时的函数值.

二、探究平台

1.直线y=x+4和直线y=-x+4与x轴围成的三角形的面积是（）

A.32B.64C.16D.8

2.若直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则k，b；若经过第一、三、四象限，则k，b；若经过第一、二、三象限，则k，b.

3.已知直线y=kx+b过点A（x1，y1）和B（x2，y2），若k＜0，且x1＜x2，则y1y2（填“＞”或“＜”号）

4.将直线y=x+4向下平移2个单位，得到的直线的解析式为.

5.某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国营出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图象（两条射线）如图11-61所示，观察图象，回答下列问题.

（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？

（3）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（4）如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么，这个单位租哪家的车合算？

三、交流平台

已知A地在B地的正南方向3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直线前进，他们到A地的距离s（km）与所用时间t（h）之间的函数关系的图象如图11－62所示，当他们走了3h的时候，他们之间的距离是多少千米？

参考答案

一、1．B2．A3．B4．-25．-

6．y=0.2x7．y=

x+120≤x≤15

8．解：

（1）∵y+5与3x+4成正比例，

∴设y+5＝k（3x+4）（k≠0）．

又∵当x=1时，y=2，

∴2+5＝＝k（3×1+4），∴k＝1．

∴y+5＝1（3x+4），∴y＝3x-1．

即y与x之间的函数关系式是y=3x-1．

（2）当x=-1时，y＝3x（-1）-1=-4．

∴当x=-1时的函数值是-4．

二、1．C2．﹤0﹤0﹥0﹤0﹥0﹥0

3．﹥[提示：

∵k﹤0，∴y随x的增大而减小，又∵x1﹤x2,∴y1﹥y2.]4．y=x+2

5．解：

由图象可知，

（1）设y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0），y2=k2x（k2≠0）．

∴y1，y2都经过点（1000，2000），

∴2000＝1000k2，∴k2＝2．

∴

∴y1=x+1000，y2=2x（x≥0）.

（2）当y2﹤y1时，有2x＜x+1000，

∴x＜1000．

∴每月行驶的路程在0km≤x﹤1000km时，租国营公司的车合算．

（3）当y2＝y1时，有2x=x+1000，

∴x＝1000．

∴每月行驶的路程等于1000km时，租两家车的费用相同．

（4）当y2＞y1时，有2x＞x+1000，∴x＞1000．

∴每月行驶的路程大于1000km时，租个体车比较合算．

∴当x=2300km时，这个单位租个体车比较合算.

三、解：

设AC的表达式为y=kx（k≠0），BD的表达式为y=k1x+3（k1≠0），

令P点坐标为（2，2k），又此点坐标满足BD的表达式，

∴2k=2k1+3，∴k1=

.

∴BD的表达式为y=

x+3.

当x=3时，甲距A地的距离为3kkm，乙距A地的距离为（

×3+3）km，

∴3k-（

×3+3）=

（km）.

∴当他们走了3h的时候，他们之间的距离为

km.