北师大版九年级数学上《第4章图形的相似》单元测试含答案.docx
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北师大版九年级数学上《第4章图形的相似》单元测试含答案
《第4章图形的相似》
一、选择题
1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
2．已知
，那么
的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个等腰三角形
C．两个五边形D．两个正方形
4．如果两个相似多边形面积的比是4：
9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）
A．4：
9B．2：
3C．16：
81D．9：
4
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，
，DE=3cm，则BC的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．
C．
D．4
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（ ）
A．（6，6）B．（6，8）C．（8，6）D．（8，2）
10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（ ）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′．
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为______．
二、填空题
13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为______．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：
S△CDE=1：
4，则S△BDE：
S△ACD=______．
15．一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是______．
16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是______m．
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）证明：
△ACD∽△CBD；
（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．
18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．
（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．
（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=______．（含x的代数式），当x=______时，y最大，最大面积是______．
19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．
（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？
请说明理由．
（2）求PD+PC的最小值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长
BE交AC于点F．
（1）证明：
BE2=AE•DE；
（2）若
=1，
=______；并说明理由．
《第4章图形的相似》
参考答案
一、选择题
1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【解答】解：
A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn，与原式相等；
B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn，与原式相等；
C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my，与原式不相等；
D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn，与原式相等；
故选C．
2．已知
，那么
的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：
由
=2，得
=
=3．
故选：
A．
3．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个等腰三角形
C．两个五边形D．两个正方形
【解答】解：
A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；
C、两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．
故选D．
4．如果两个相似多边形面积的比是4：
9，那么这两个相似多边形对应边的比是（ ）
A．4：
9B．2：
3C．16：
81D．9：
4
【解答】解：
∵两个相似多边形面积的比是4：
9，
∴这两个相似多边形对应边的比是2：
3．
故选B．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．
故选B．
6．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【解答】解：
当
=
时，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故选：
C．
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，
，DE=3cm，则BC的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵
，
∴
，
∵DE=3cm，
∴
=
，
解得：
DE=9cm．
故选C．
8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．
C．
D．4
【解答】解：
∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD=
=
，
∴CE=
，
故选C．
9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（ ）
A．（6，6）B．（6，8）C．（8，6）D．（8，2）
【解答】解：
因为以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，
所以点B的坐标为（4×2，1×2），即（8，2）．
故选D．
10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（ ）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′．
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
【解答】解：
①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；
②位似图形一定有位似中心；正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；
④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′；正确．
故选B．
11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴AE∥FG，
∴
=
，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB=GB，
∵AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∴AB=
BC，
∴
=
=
=
=
+1．
故选：
C．
12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：
设B点坐标为（a，b），
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA=
AC，AB=
AD，OC=AC，AD=BD，
∵OA2﹣AB2=8，
∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4，
∴（OC+BD）•CD=4，
∵点B在第四象限，
∴a•b=﹣4，
∴k=﹣4．
故答案为：
﹣4．
二、填空题
13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为
．
【解答】解：
由于C为线段AB=1的黄金分割点，
且AC＜CB，
则AC=1﹣
=
．
故本题答案为：
．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：
S△CDE=1：
4，则S△BDE：
S△ACD= 1：
20 ．
【解答】解；∵S△BDE：
S△DEC=1：
4，
∴BE：
EC=1：
4，
∴BE：
BC=1：
5，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴
=
=
，
设S△BED=k，则S△DEC=4k，S△ABC=25k，
∴S△ADC=20k，
∴S△BDE：
S△DCA=1：
20．
故答案为：
1：
20．
15．一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是
．
【解答】解：
∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴
，
∴a2=
，
∴a=
．
故答案为：
．
16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 3.6 m．
【解答】解：
如图，当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长为BH，
CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，
∵CE∥BN，
∴△ACE∽△ABN，
∴
=
，即
=
，
同理可得
=
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