重庆南开中学学年高一上学期期中考试数学试题.docx

重庆南开中学学年高一上学期期中考试数学试题.docx

《重庆南开中学学年高一上学期期中考试数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆南开中学学年高一上学期期中考试数学试题.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

重庆南开中学学年高一上学期期中考试数学试题

重庆南开中学2015-2016学年高一（上）期中考试

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）

1、下列说法正确的是（）

A、

B、

C、

D、

2、已知全集

，集合

，则右图中阴影部分所表示的集合为（）

A、

B、

C、

D、

3、给定映射

，在映射

下

的原像为（）

A、

B、

C、

D、

4、“

”是“

”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

5、已知函数

，其定义域为（）

A、

B、

C、

D、

6、已知函数

，则

的解析式为（）

A、

B、

C、

D、

7、已知

是

上的偶函数，且

，则

（）

A、

B、0C、1D、2

8、函数

的单调递增区间是（）

A、

B、

C、

D、

9、已知奇函数

在

上的图象如图所示，则不等式

的解集为（）

A、

B、

C、

D、

10、已知函数

，若对任意

，都存在

，使得

，则实数

的取值范围是（）

A、

B、

C、

D、

11、已知集合

，

若

，

，则

的最小值是（）

A、3B、

C、1D、

12、设集合

，对于

的每个非空子集，定义其“交替和”如下：

把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：

的“交替和”是

，

的“交替和”就是

，

的“交替和”就是3）。

则集合

的所有这些“交替和”的总和为（）

A、128B、192C、224D、256

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）

13、设函数

，则

。

14、计算：

。

15、函数

的值域为。

16、若函数

的图象与

轴恰有四个不同的交点，则实数

的取值范围为。

三、解答题：

（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）

17、（10分）已知集合

，集合

。

（I）分别求集合

、

；

（II）求

。

18、（12分）已知函数

的定义域为

，函数

的定义域为集合

，集合

，若

，求实数

的取值范围。

19、（12分）已知函数

。

（I）求函数

在区间

上的最值；

（II）若关于

的方程

在区间

内有两个不等实根，求实数

的取值范围。

20、（12分）已知二次函数

的图象过点

，对任意

满足

，且有最小值

。

（I）求函数

的解析式；

（II）求函数

在

上的最小值

。

21、（12分）已知函数

对任意实数

恒有

，当

时，

，且

。

（I）判断

的奇偶性；

（II）求

在区间

上的最大值；

（III）若

，解关于

的不等式f（ax2）-2f（x）＜f（ax）+4．。

22、（12分）对于函数

与常数

，若

恒成立，则称

为函数

的一个“

数对”；设函数

的定义域为

，且

。

（I）若

是

的一个“

数对”，且

，求常数

的值；

（II）若

是

的一个“

数对”，且当

时

，求

的值及

在区间

上的最大值与最小值。

重庆南开中学2015-2016学年高一（上）期中考试

数学试题答案

1、N是自然数集，也叫非负整数集，例如：

0、1、2、3......

N+（或N*）是正整数集，例如：

1、2、3......

Z是全体整数集合，例如：

-2、-1、0、1、2......

Q是有理数集，R是实数集选D

2、D

3、解：

∵映射f：

（x，y）→（x+2y，2x-y），映射f下的对应元素为（3，1），

∴x+2y=3，2x-y=1

∴x=y=1．

∴（3，1）原来的元素为（1，1）．

故答案为：

（1，1）．选C

4、B

5、C

6、C

7、C

解：

∵函数y=f（x+1）是偶函数，

∴设g（x）=f（x+1）

则g（-x）=f（-x+1）=f（x+1），

设x＝1，则f（-1+1）＝f（1+1）

即f（0）＝f

（2）＝1

故答案为：

1选C

8、解：

由-x2+2x+8≥0，得x2-2x-8≤0，解得-2≤x≤4．

所以原函数的定义域为{x|-2≤x≤4}．

令t=-x2+2x+8，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝−

＝1．

所以当x∈[-2，1]时，函数

为增函数，

故答案为[-2，-1]．选B

9、解

（1）

，即图像满足的是：

（2）

，即图像满足的是

由于函数是奇函数，它关于原点对称，则有：

和

所以，函数不等式

的解集为：

，选D

10、已知函数f（x）＝x2-2x，g（x）＝ax+2（a﹥0），若对任意x1∈R，都存在

x2∈[-2，+∞]，使得f（x1）﹥g（x2），则实数a的取值范围是（）

11、

解：

A={x|x2-2x-3＞0}={x|x＞3或x＜-1}，

∵A∩B=（3，4]，A∪B=R，

∴-1，4是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a＞0，

则-1+4=-

=-3，即b=3a，

-1×4＝

＝−4，即c=-4a，

则

=

=9a+

≥

，

当且仅当9a=

，即a=

时，取等号，

故最小值为

，

故答案为：

．选B

12、

解：

由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，

又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，

∴S2=1+2+2-1=4；

S3=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，

S4=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）=32，

∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n•2n-1，

所以S7=6×26-1=6×25=192

故答案为：

192，选B

13、2015

14、2

15、

解：

设

=t，则t≥0，

则x＝1-t2，

f（t）=2（1-t2）-t，t≥0，函数图象的对称轴为t=-

，开口向下

＝

＝

＝

t≥0，∴f（t）max=f（0）=2，

∴函数f（x）的值域为（-∞，2]．

故答案为：

（-∞，2]．

16、若函数f（x）＝|（x2+4x+1）/x|-a的图象与x轴恰有四个不同的交点，则实数a的取值范围为。

17、解

（1）：

，

则集合A＝

则集合B＝

（2）∴A=

∴CRA={x|x≤0或x≥3}，

则

＝

18、解：

要使g（x）有意义，则：

；

∴1＜x＜3；

∴A={x|1＜x＜3}；

∵A∩B=B；

∴B⊆A；

①若B=∅，满足B⊆A，则a≥2a-1；

∴a≤1；

②若B≠∅，则：

；∴1＜a≤2；

∴a≤2；

∴实数a的取值范围为（-∞，2]．

19、解：

（1）令t=x+1，t∈[1，3]，

则x=t-1，

故y=f（x）=

=t+

-2，

由对勾函数的性质可知，

函数y=g（t）=t+

-2在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；

且g

（1）=1+4-2=3，g

（2）=2+2-2=2，g（3）=3+

-2=

，

故函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为2，最大值为3；

（2）当x∈（1，4）时，

∵（x+1）f（x）-ax=0，

∴（x2+3）-ax=0，

故a=

=x+

，

作函数y=x+

在（1，4）上的图象如下，

，

其中ymin=

+

=2

，

y|x=1=1+3=4，y|x=4=4+

＞4，

故结合图象可知，当2

＜a＜4时，

关于x的方程（x+1）f（x）-ax=0在区间（1，4）内有两个不等实根．

故实数a的取值范围为2

＜a＜4．

20、解：

（Ⅰ）∵函数f（x）对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值

．

∴函数图象的顶点坐标为（

，

），

设f（x）=a（x-

）2+

，

∵函数f（x）的图象过点（0，4），

∴a（-

）2+

=4，

∴a=1，

∴f（x）=（x-

）2+

=x2-3x+4，

（Ⅱ）函数h（x）=f（x）-（2t-3）x=x2-2tx+4的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，

当t＜0时，函数h（x）在[0，1]上为增函数，当x=0时，函数h（x）的最小值g（t）=4；

当0≤t≤1时，函数h（x）在[0，t]上为减函数，在[t，1]上为增函数，当x=t时，函数h（x）的最小值g（t）=t2-3t+4；

当t＞1时，函数h（x）在[0，1]上为减函数，当x=1时，函数h（x）的最小值g（t）=5-3t；

综上所述，值g（t）=

21、

解：

（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为R，

令x=y=0得，f（0+0）=f（0）+f（0），

解得，f（0）=0，

令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x），

即f（x）+f（-x）=0，

即f（-x）=-f（x），

故f（x）是R上的奇函数；

（Ⅱ）任取x1＜x2，则

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）

=f（x2-x1），

∵x2-x1＞0，

∴f（x2-x1）＜0，

故f（x2）-f（x1）＜0，

故f（x）在R是单调减函数，

∵f

（1）=-2，

∴f

（2）=f

（1）+f

（1）=-4，f（-2）=-f

（2）=4，

故f（x）在区间[-2，2]上的最大值为4；

（Ⅲ）∵f（ax2）-2f（x）＜f（ax）+4，

∴f（ax2）-f（2x）＜f（ax）+f（-2），

∴f（ax2-2x）＜f（ax-2），

∴ax2-2x＞ax-2，

即ax2-（2+a）x+2＞0，

即（ax-2）（x-1）＞0，

当a=0时，不等式（ax-2）（x-1）＞0的解集为（-∞，1），

当0＜a≤2时，不等式（ax-2）（x-1）＞0的解集为（-∞，1）∪（

，+∞），

当a＞2时，不等式（ax-2）（x-1）＞0的解集为（-∞，

）∪（1，+∞）．

22、

解：

（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f

（2）=6，f（4）=9，

则f

（2）=af

（1）+b，即6=3a+b ①，

f（4）=af

（2）+b，即9=6a+b，②，

解得a=1，b=3；

（Ⅱ）当x∈[1，2）时，f（x）=k-|2x-3|，

令x=1，可得f

（1）=k-1=3，解得k=4，…10分

所以，x∈[1，2）时，f（x）=4-|2x-3|，

故f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．

又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，

当x∈[2k-1，2k）（k∈N*）时，

∈[1，2），

f（x）＝−2f（

）＝4