完整版第十一章三角形稳定性三边关系高中线和角平分线.docx
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完整版第十一章三角形稳定性三边关系高中线和角平分线
第十一章三角形稳定性、三边关系，高、中线和角平分线
一．选择题（共10小题）
1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ）
A．人能直立在地面上
B．校门口的自动伸缩栅栏门
C．古建筑中的三角形屋架
D．三轮车能在地面上运动而不会倒
2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C两点之间B．E、G两点之间C．B、F两点之间D．G、H两点之间
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．7，4，2C．3，4，8D．3，3，4
4．在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长可能是（ ）
A．3B．8C．13D．14
5．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（ ）
A．299B．201C．205D．207
6．如图，图中以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．如图，△ABC中BC边上的高是（ ）
A．BDB．AEC．BED．CF
8．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
9．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
二．填空题（共7小题）
11．撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上，是因为三角形具有 性．
12．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是 ．
13．若a，b，c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|= ．
14．如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ．
15．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是 ，∠A的对边是 ，∠A、∠C的公共边是 ．
16．一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：
3：
4，则最长边比最短边长 ．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= ．
三．解答题（共6小题）
18．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有 个三角形．
19．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
20．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：
小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？
若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
22．有四根长度分别为9、12、16、25的木条，从中取三根搭三角形，有几种选法？
为什么？
23．
（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ）
A．人能直立在地面上
B．校门口的自动伸缩栅栏门
C．古建筑中的三角形屋架
D．三轮车能在地面上运动而不会倒
【解答】解：
古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，
故选C
2．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A．A、C两点之间B．E、G两点之间C．B、F两点之间D．G、H两点之间
【解答】解：
工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选B．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．7，4，2C．3，4，8D．3，3，4
【解答】解：
A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故C正确；
故选：
D．
4．在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长可能是（ ）
A．3B．8C．13D．14
【解答】解：
∵AB=5，AC=8，
∴3＜BC＜13．
故选B．
5．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（ ）
A．299B．201C．205D．207
【解答】解：
当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；
当有2个点时，有5个小三角形；
当n=3时，有7个三角形，
…
故当三角形纸片内有n个点，连同三角形的顶点共n+3个点时，共有2n+1个三角形，
∴2n+1=2×100+1=201，
故选B．
6．如图，图中以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：
根据图示知，图中以AB为边的三角形有：
△ABD，△ABE，△ABC．共有3个；
故选A．
7．如图，△ABC中BC边上的高是（ ）
A．BDB．AEC．BED．CF
【解答】解：
由图可知，△ABC中BC边上的高是AE．
故选B．
8．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【解答】解：
由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选B．
9．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选D．
10．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
【解答】解：
（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的
；
（3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为
•BD•AE，△ACD面积为
•CD•AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选D．
二．填空题（共7小题）
11．撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上，是因为三角形具有 稳定 性．
【解答】解：
是因为三角形具有稳定性．
12．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是 4＜x＜10 ．
【解答】解：
根据三角形的三边关系，得
AC的长x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．
13．若a，b，c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|= a+b+c ．
【解答】解：
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b．
即a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|
=﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a）﹣（c﹣a﹣b）
=a+b+c．
故答案为：
a+b+c．
14．如图，以点A为顶点的三角形有 4 个，它们分别是 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE ．
【解答】解：
以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
故答案为：
4，△ABC，△ADC，△ABE，△ADE．
15．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是 ∠B ，∠A的对边是 CB ，∠A、∠C的公共边是 AC ．
【解答】解：
△ABC中，AB与BC的夹角是∠B，∠A的对边是BC，∠A、∠C的公共边是AC，
故答案为：
∠B；BC；AC．
16．一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：
3：
4，则最长边比最短边长 18cm ．
【解答】解：
设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x=81，
解得：
x=9，
则三角形的三边长分别为：
18cm，27cm，36cm，
所以，最长边比最短边长：
36﹣18=18（cm）．
故答案是：
18cm．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B= 50° ．
【解答】解：
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD
=90°﹣30°﹣10°=50°．
故答案为50°．
三．解答题（共6小题）
18．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有
（n+1）（n+2）． 个三角形．
【解答】解：
（1）
连接个数
1
2
3
4
5
6
出现三角形个数
3
6
10
15
21
28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）
=
[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]
=
（n+1）（n+2）．
故答案为
（n+1）（n+2）．
19．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
【解答】解：
∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
20．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解答】解：
∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：
小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？
若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=
∠BAC=40°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣20°=20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=
∠BAC=
（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣
（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠B，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣
（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）=
（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C=40°，
∴∠DAE=
×40°=20°．
22．有四根长度分别为9、12、16、25的木条，从中取三根搭三角形，有几种选法？
为什么？
【解答】解：
根据三角形的三边关系，满足的条件选法：
9、12、16；12、16、25；
故有2种选法．
23．
（1）下列图形中具有稳定性是 ①④⑥ ；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
【解答】解：
（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
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