一元二次方程综述.docx

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一元二次方程综述

22.1一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式

（

≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一做一做：

1．问题一绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分　析：

设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x（x＋10）＝900

整理可得x2＋10x－900=0.　　

（1）

2．问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：

设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）（1＋x）＝5（1＋x）2万册.可列得方程

5（1＋x）2=7.2,

整理可得5x2＋10x－2.2=0.　　　

（2）

3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程

（1）和

（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？

它们有什么共同特点呢？

（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：

（1）都是整式方程

（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2

二、一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a≠0）。

其中

叫做二次项，

叫做二次项系数；

叫做一次项，

叫做一次项系数，

叫做常数项。

.

三、例题讲解与练习巩固

1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？

试说明理由。

（1）

（2）

（3）

（4）

2．例2将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）

2）（x-2）（x+3）=83）

说明：

一元二次方程的一般形式

（

≠0）具有两个特征：

一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。

此外要使学生意识到：

二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？

在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：

当

≠2时是一元二次方程；当

＝2，

≠0时是一元一次方程；

4．例4已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

分析：

一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．练习一将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2x（x-1）=3（x-5）-4

练习二关于

的方程

，在什么条件下是一元二次方程？

在什么条件下是一元一次方程？

本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为

（

≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

布置作业：

课本第27页习题1、2、3

22.2.2一元二次方程的解法

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如

（a≠0,ab≥0）的方程；

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程：

问：

怎样解方程

的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解：

1、直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17

2、原方程可变形为

方程左边分解因式，得

（x+1+16）（x+1－16）=0

即可（x+17）（x－15）=0

所以x＋17=0，x－15=0

原方程的蟹x1＝15，x2＝－17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1解下列方程

（1）（x＋1）2－4＝0；

（2）12（2－x）2－9＝0.

分　析　两个方程都可以转化为

（a≠0,ab≥0）

的形式，从而用直接开平方法求解.

解　

（1）原方程可以变形为

（x＋1）2＝4，

直接开平方，得

x＋1＝±2.

所以原方程的解是　　x1＝1，x2＝－3.

原方程可以变形为

________________________，

有　　　　________________________.

所以原方程的解是　x1＝________，x2＝_________.

2、说明：

（1）这时，只要把

看作一个整体，就可以转化为

（

≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。

3、练习一解下列方程：

（1）（x＋2）2－16＝0；

（2）（x－1）2－18＝0；

（3）（1－3x）2＝1；（4）（2x＋3）2－25＝0.

三、读一读

四、讨论、探索：

解下列方程

（1）（x+2）2=3（x+2）

（2）2y（y-3）=9-3y（3）（x-2）2—x+2=0

（4）（2x+1）2=（x-1）2（5）

。

本课小结：

1、对于形如

（a≠0,a

≥0）的方程，只要把

看作一个整体，就可转化为

（n≥0）的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

布置作业：

课本第37页习题1（5、6）、P38页习题2（1、2）

22.2.3一元二次方程的解法

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3．在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程转化为

教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

（1）

（2）

（3）

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b<0，方程就没有实数解。

如

请说出完全平方公式。

。

二、引入新课

　　我们知道，形如

的方程，可变形为

，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如

的一类方程，化为上述形式求解呢？

这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

1、例1、解下列方程：

＋2x＝5；

（2）

－4x＋3＝0.

思　考

能否经过适当变形，将它们转化为

=a的形式，应用直接开方法求解？

解

（1）原方程化为

＋2x＋1＝6，（方程两边同时加上1）

_____________________,

_____________________,

_____________________.

（2）原方程化为

－4x＋4＝－3＋4（方程两边同时加上4）

_____________________,

_____________________,

_____________________.

三、归　纳

上面，我们把方程

－4x＋3＝0变形为

＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：

对下列各式进行配方：

；

；

；

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

五、例题讲解与练习巩固

1、例2、用配方法解下列方程：

（1）

－6x－7＝0；　　　　　

（2）

＋3x＋1＝0.

2、练习：

①.填空：

（1）

（2）

－8x＋（）＝（x-）2

（3）

＋x＋（）＝（x＋）2；（4）4

－6x＋（）＝4（x－）2

②用配方法解方程：

（1）

＋8x－2＝0

（2）

－5x－6＝0.

（3）

六、试一试

用配方法解方程x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）.

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

解：

移项，得x2＋px＝－q，

配方，得x2＋2·x·

＋（

）2＝（

）2－q,

即（x＋

）2＝

.

因为p2－4q≥0时，直接开平方，得

x＋

＝±

.

所以x＝-

±

即x＝

.

思考：

这里为什么要规定p2－4q≥0？

七、讨论

1、如何用配方法解下列方程？

4x2－12x－1＝0;

请你和同学讨论一下：

当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：

（1）将方程两边同时除以4，得x2－3x－

＝0

移项，得x2－3x＝

配方，得x2－3x+（

）2＝

+（

）2

即（x—

）2＝

直接开平方，得x—

＝±

所以x＝

±

所以x1＝

，x2=

3，练习：

用配方法解方程：

（1）

（2）3x2＋2x－3＝0.

（3）

（原方程无实数解）

本课小结：

　让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：

1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

布置作业：

P38页习题2_.（3）、（4）、（5）、（6），3，4_.

（1）、

（2）

22.2.4一元二次方程的解法

教学目标：

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：

掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：

对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

（1）

（2）

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探索同底数幂除法法则

问题1：

能否用配方法把一般形式的一元二次方程

转化为

呢？

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

因为

，方程两边都除以

，得

移项，得

配方，得

即

问题2：

当

，且

时，

大于等于零吗？