数学最新初三+九年级下册5三角形的证明复习.docx

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数学最新初三+九年级下册5三角形的证明复习

一、知识典例（

注意咯，下面可是黄金部分！

）

◆一、全等三角形的性质与判定

1、全等三角形

（1）定义：

能够完全的三角形是全等三角形。

（2）性质：

全等三角形的、相等。

（3）判定：

“SAS”、、、、。

◆二、特殊三角形的性质和判定

1、等腰三角形的性质定理

（1）等腰三角形的两个底角（简述为：

）。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等（等角对等边）。

（3）等腰三角形、、底边上的高互相重合（三线合一）。

2、等边三角形的性质和判定定理

性质定理：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于。

等边三角形的判定：

已知，如右图，等腰△ABC，AB=AC：

①若AB=BC，则△ABC为等边三角形；②若∠A=，则△ABC为等边三角形；

③若∠B=，则△ABC为等边三角形.

3、直角三角形的有关性质定理

直角三角形的性质：

①两锐角；②斜边上的中线等于

③30°角所对的直角边等于；④如果∠C=90°，则三边关系为：

.

直角三角形的判定:

6.两锐角互余的三角形；②一条边上的中线等于该边的一半的三角形；

7.如果a2+b2=c2，则∠C=90°，此三角形为直角三角形

◆三、角平分线与中垂线

4、角平分线

（1）性质：

①角平分线上的点相等。

②三角形的三条角平分线，且到相等。

（2）判定：

到角的两边的点，在这个角的平分线上。

5、线段的垂直平分线

（1）定义：

一条线段的叫线段的垂直平分线。

（2）性质：

①线段垂直平分线上一点相等。

②三角形三边的垂直平分线，且到相等。

（3）判定：

到一条线段两个端点的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、典型例题

例题1：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE的值是？

例题2：

补全“求作∠AOB的平分线”的作法：

（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使　_________　；

（2）分别以D，E为圆心，以　_________　为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；

（3）作　_________　．

∴OC就是∠AOB的角平分线．

例题3：

如图，已知MN∥BC．求作：

在MN上确定一点P，使点P到AB，BC的距离相等．

例题4：

如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．

求证：

（1）PE=PF；

（2）点P在∠BAC的角平分线上．

例题5：

如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1=∠2，CB=CD，求证：

∠3=∠4．

例题6：

如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD，BE相交于点P，AE=BD，求证：

点P在∠ACB的角平分线上．

例题7：

如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：

AD平分∠BAC．

例题8：

如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，交AC于E，交AD于F，试判断△AEF的形状，并说明理由．

例题9：

已知A（﹣1，﹣1），B（3，2），点P是坐标轴上一点，△ABP是等腰三角形，求P点坐标．

例题10：

定理证明：

等腰三角形“三线合一”．

　（写出证明的已知，求证，证明过程。

）

例题11：

已知等腰三角形的底是7厘米，该底边的高是3.5厘米，请用尺规作图作出该等腰三角形。

例题12：

命题：

“对顶角相等”

判断该命题的是否正确，写出该命题的逆定理，并且判断该逆定理是真命题还是假命题。

例题11：

证明定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（写出证明的已知，求证，证明过程。

）

例题12：

用反证法证明：

一个三角形中至多有一个钝角。

三、强化练习（

挑战一下自己吧~）

一、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）

1．已知：

在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．

现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的说法有（　　）

A．2个B．1个C．0个

2．如图所示，在等边三角形ABC中，高AD、BE相交于点F，连接DE，则∠FED的度数是（　　）

A．15°B．20°C．25°D．30°

二、填空题

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是　_________　．

4．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为　_________　．

三、解答题

5．已知：

如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F使AD=BE=CF．

求证：

△DEF是等边三角形．

6．已知：

如图，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，BD和CE交于点H，HD=1cm，HE=2cm，求：

BD，CE的长及△ABC的面积．

（

一日悟一理，日久而成学）

1、方法小结:

2、本节课我做的比较好的地方是：

三、我需要努力的地方是：

四、课后作业

◆◆请你先梳理本节课所学的知识点和基本考点，以及它们解决方法。

一、选择题

1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．12B．15C．12或15D．18

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）

A．18°B．24°C．30°D．36°

3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（　　）

A．AASB．SASC．ASAD．SSS

4．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（　　）

A．∠EAM=∠FANB．BE=CFC．△ACN≌△ABMD．CD=DN

5．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（　　）

A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β

B．两个角是β，它们的夹边为4

C．三条边长分别是4，5，5

D．两条边长是5，一个角是β

6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（　　）

A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD

二、填空题

7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　_________　．

8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：

已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：

在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是　_________　的．（填“正确”或“错误”）

9．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为　_________　．

10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是　_________　．

三、解答题

11．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF．

求证：

BE=CF．

12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．

（1）求证：

△ABE≌DCE；

（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？

13．在△ABC中，AB=AC，D是线段BC的延长线上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，点D在线段BC的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE=　_________　．

（2）设∠BAC=α，∠DCE=β：

①如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B、C重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？

请直接写出你的结论．