1.在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则∠B＝________.
【解析】 cosB＝＝＝，∠B＝60°.
【答案】 60°
2.在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.
【解析】 ∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cosA＝＝＝－，
又∵0°＜∠A＜180°，
∴∠A＝120°.
【答案】 120°
[小组合作型]
已知两边及一角解三角形
在△ABC中，已知b＝3，c＝3，角B＝30°，求角A，角C和边a.
【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角.也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A，角C.
【自主解答】 法一：
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋（3）2－2a×3×cos30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，∠A＝30°，
∴∠C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理sinA＝＝＝1.
∴∠A＝90°，∴∠C＝60°.
法二：
由bcsin30°＝3×＝知本题有两解.
由正弦定理sinC＝＝＝，
∴∠C＝60°或120°，当∠C＝60°时，∠A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6，
当∠C＝120°时，∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边也可以两次应用正弦定理求出第三边）.
[再练一题]
1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，∠C＝60°，求边c.
【导学号：
18082003】
【解】 由题意：
a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab
＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
已知三边解三角形
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.
【精彩点拨】
（1）如何判断哪个角是最大角？
（2）求sinC能否应用余弦定理？
【自主解答】 ∵a>c>b，
∴∠A为最大角，
由余弦定理的推论，得：
cosA＝＝＝－，
∴∠A＝120°，
∴sinA＝sin120°＝.
由正弦定理＝，得：
sinC＝＝＝，
∴最大角∠A为120°，sinC＝.
1.本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键.
2.已知三边解三角形的方法：
先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角.
[再练一题]
2.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，求角C.
【解】 ∵c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴a2－c2＋b2＝2abcosC.
∴ab＝2abcosC.
∴cosC＝，∴∠C＝60°.
[探究共研型]
正、余弦定理的综合应用
探究1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？
反之说法正确吗？
为什么？
【提示】 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sinA＝，sinB＝，sinC＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确.
探究2 在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝成立吗？
反之若∠C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？
为什么？
【提示】 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝＝0，即cosC＝0，所以∠C＝，反之若C＝，则cosC＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
在△ABC中，若（a－c·cosB）·sinB＝（b－c·cosA）·sinA，判断△ABC的形状.
【精彩点拨】
【自主解答】 法一：
∵（a－c·cosB）·sinB＝（b－c·cosA）·sinA，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：
（a2＋b2－c2）b2＝（a2＋b2－c2）a2，
即（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
法二：
根据正弦定理，原等式可化为：
（sinA－sinCcosB）sinB＝（sinB－sinCcosA）sinA，
即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.
∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA，
∴sin2B＝sin2A.
∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.
2.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.
[再练一题]
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
【导学号：
18082004】
（1）求的值；
（2）若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长.
【解】
（1）由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，（其中R为△ABC外接圆半径）
所以＝＝，
所以sinBcosA－2sinBcosC＝2sinCcosB－sinAcosB，
sinAcosB＋sinBcosA＝2sinBcosC＋2sinCcosB，
所以sin（A＋B）＝2sin（B＋C）.
又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sinC＝2sinA，
所以＝2.
（2）由
（1）知＝2，由正弦定理得＝＝2，
即c＝2a.
又因为△ABC的周长为5，
所以b＝5－3a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即（5－3a）2＝a2＋（2a）2－4a2×，
解得a＝1，a＝5（舍去），
所以b＝5－3×1＝2.
1.已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式（a＋b－c）·（a＋b＋c）＝ab，则角C的大小为（ ）
A.60°B.90°C.120°D.150°
【解析】 由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，得（a＋b）2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，
∴cosC＝－，∴∠C＝120°.
【答案】 C
2.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为（ ）
A.B.C.D.
【解析】 由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC＝＝＝，所以∠C＝，故选B.
【答案】 B
3.在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________.
【解析】 法一：
∵a＝2bcosC＝2b·＝.
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
法二：
∵a＝2bcosC，∴sinA＝2sinBcosC，
而sinA＝sin（B＋C）
＝sinBcosC＋cosBsinC，
∴cosBsinC＝sinBcosC，
即sinBcosC－cosBsinC＝0，
∴sin（B－C）＝0.
又－180°<∠B－∠C<180°，
∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C.
∴△ABC为等腰三角形.
【答案】 等腰三角形
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B＝∠C,2b＝a，则cosA＝________.
【解析】 由∠B＝∠C,2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cosA＝
＝＝.
【答案】
5.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长.
【导学号：
18082005】
【解】 5x2＋7x－6＝0可化为（5x－3）·（x＋2）＝0.
∴x1＝，x2＝－2（舍去）.
∴cosC＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
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