两年中考模拟中考数学方案设计问题教师版.docx

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两年中考模拟中考数学方案设计问题教师版

第七篇专题复习篇

专题35方案设计问题

知　识　点

名师点晴

方程组与不等式

二元一次方程的整数解

能利用二元一次方程的整数解确定具体的方案设计

一元一次不等式（组）的正整数解

利用不等式或不等式组的特殊解求实际问题

一次函数的应用

一次函数的增减性

利用一次函数的增减性和最值问题,确定最优化设计方案

归纳1：

方程（组）与不等式的综合问题

基础知识归纳：

二元一次方程（组）的应用、一元一次不等式（组）的应用

基本方法归纳：

方程组与不等式组的应用关键是理解题意,找出等量关系和不等关系列出对应的二元一次方程组或一元一次不等式（组）即可．

注意问题归纳：

解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法,注意二元一次方程有无数个解,但其正整数解有有限个．

【例1】（2019湖北省天门市,第8题,3分）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管,且没有余料,设某种截法中1m长的钢管有a根,则a的值可能有（　　）

A．3种　　　　　　B．4种　　　　　　C．5种　　　　　　D．9种

【答案】B．

【分析】可列二元一次方程解决这个问题．

【详解】设2m的钢管b根,根据题意得：

a+2b=9．

∵a、b均为整数,∴

．

故选B．

【点睛】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点,运算准确是解答此题的关键．

考点：

1．二元一次方程的应用；2．方案型．

【例2】（2019四川省巴中市,第20题,8分）在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．

（1）请问甲、乙两种物品的单价各为多少？

（2）如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案？

【答案】

（1）甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元；

（2）②6．

【分析】

（1）设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为（x+10）元,由题意得分式方程,解之即可；

（2）设购买甲种物品y件,则乙种物品购进（55﹣y）件,由题意得不等式,从而得解．

【详解】

（1）设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为（x+10）元,由题意得：

解得：

x=90．

经检验,x=90符合题意．

答：

甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元．

（2）设购买甲种物品y件,则乙种物品购进（55﹣y）件．由题意得：

　5000≤100y+90（55﹣y）≤5050

解得：

5≤y≤10,∴共有6种选购方案．

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的整数解的问题．本题中等难度．

考点：

1．分式方程的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．方案型．

归纳2：

一次函数的方案设计

基础知识归纳：

一次函数y=kx+b,当k＞0时,y随x的增大而增大；当k＜0时,y随x的增大而减小．

基本方法归纳：

一次函数的增减性只与k有关系,与b的取值无关．

注意问题归纳：

一次函数的方案设计经常与方程组或不等式（组）在一起考查,解决一次函数的最值的关键是确定自变量的取值范围以及函数的增减性．

【例3】（2019湖南省常德市,第21题,7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图所示,解答下列问题

（1）分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式；

（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

【答案】

（1）y甲=20x,y乙=10x+100；

（2）答案见解析．

【分析】

（1）运用待定系数法,即可求出y与x之间的函数表达式；

（2）解方程或不等式即可解决问题,分三种情形回答即可．

【详解】

（1）设y甲=k1x,根据题意得：

5k1=100,解得：

k1=20,∴y甲=20x；

设y乙=k2x+100,根据题意得：

20k2+100=300,解得：

k2=10,∴y乙=10x+100；

（2）①y甲＜y乙,即20x＜10x+100,解得：

x＜10,当入园次数小于10次时,选择甲消费卡比较合算；

②y甲=y乙,即20x=10x+100,解得：

x=10,当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样；

③y甲＞y乙,即20x＞10x+100,解得：

x＞10,当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算．

【点睛】本题考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标,正确由图象得出正确信息是解题的关键,属于中考常考题型．

考点：

1．一次函数的应用；2．方案型．

【2019年题组】

一、选择题

1．（2019四川省绵阳市,第9题,3分）红星商店计划用不超过4200元的资金,购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元,两种商品均售完．若所获利润大于750元,则该店进货方案有（　　）

A．3种　　　　　　B．4种　　　　　　C．5种　　　　　　D．6种

【答案】C．

【分析】设该店购进甲种商品x件,则购进乙种商品（50﹣x）件,根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组,解之求得整数x的值即可得出答案．

【详解】设该店购进甲种商品x件,则购进乙种商品（50﹣x）件,根据题意,得：

解得：

20≤x＜25．

∵x为整数,∴x=20、21、22、23、24,∴该店进货方案有5种．

故选C．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的不等关系,并据此列出不等式组．

考点：

1．一元一次不等式组的应用；2．方案型．

2．（2019湖南省永州市,第9题,4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库,以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：

5：

4：

2,各基地之间的距离之比a：

b：

c：

d：

e=2：

3：

4：

3：

3（因条件限制,只有图示中的五条运输渠道）,当产品的运输数量和运输路程均相等时,所需的运费相等．若要使总运费最低,则修建总仓库的最佳位置为（　　）

A．甲　　　　　　B．乙　　　　　　C．丙　　　　　　D．丁

【答案】A．

【分析】设甲基地的产量为4x吨,则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨,设a=2y千米,则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米,设运输的运费每吨为z元/千米,①设在甲处建总仓库,则运费最少为：

（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z=28xyz；

②设在乙处建总仓库,则运费最少为：

（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z=30xyz；

③设在丙处建总仓库,则运费最少为：

（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z=35xyz；

④设在丁处建总仓库,则运费最少为：

（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z=53xyz；

进行比较运费最少的即可．

【详解】∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：

5：

4：

2,设甲基地的产量为4x吨,则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨．

∵各基地之间的距离之比a：

b：

c：

d：

e=2：

3：

4：

3：

3,设a=2y千米,则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米,设运输的运费每吨为z元/千米,①设在甲处建总仓库,则运费最少为：

（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z=28xyz；

②设在乙处建总仓库．

∵a+d=5y,b+c=7y,∴a+d＜b+c,则运费最少为：

（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z=30xyz；

③设在丙处建总仓库,则运费最少为：

（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z=35xyz；

④设在丁处建总仓库,则运费最少为：

（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z=53xyz；

由以上可得建在甲处最合适．

故选A．

【点睛】本题考查了三元一次方程的应用；设出未知数,求出各个运费是解题的关键．

考点：

1．二元一次方程的应用；2．最值问题；3．方案型．

3．（2019黑龙江省绥化市,第8题,3分）小明去商店购买A、B两种玩具,共用了10元钱,A种玩具每件1元,B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件,且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）

A．5种　　　　　　B．4种　　　　　　C．3种　　　　　　D．2种

【答案】C．

【分析】设小明购买了A种玩具x件,则购买的B种玩具为

件,根据题意列出不等式组进行解答便可．

【详解】设小明购买了A种玩具x件,则购买的B种玩具为

件,根据题意得：

解得：

3

x≤8．

∵x为整数,

也为整数,∴x=4或6或8,∴有3种购买方案．

故选C．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用题,正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．

考点：

1．一元一次不等式组的应用；2．方案型．

4．（2019黑龙江省鸡西市,第19题,3分）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级,一等奖奖励6件,二等奖奖励4件,则分配一、二等奖个数的方案有（　　）

A．4种　　　　　　B．3种　　　　　　C．2种　　　　　　D．1种

【答案】B．

【分析】设一等奖个数x个,二等奖个数y个,根据题意,得6x+4y=34,根据方程可得三种方案．

【详解】设一等奖个数x个,二等奖个数y个,根据题意,得：

6x+4y=34,使方程成立的解有

∴方案一共有3种．

故选B．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．

考点：

1．二元一次方程的应用；2．方案型．

5．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第8题,3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球,已知一个A品牌足球60元,一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买）,该学校的购买方案共有（　　）

A．3种　　　　　　B．4种　　　　　　C．5种　　　　　　D．6种

【答案】B．

【分析】设购买A品牌足球x个,购买B品牌足球y个,根据总价=单价×数量,即可得出关于x,y的二元一次方程,结合x,y均为正整数即可求出结论．

【详解】设购买A品牌足球x个,购买B品牌足球y个,依题意,得：

60x+75y=1500,∴y=20

x．

∵x,y均为正整数,∴

∴该学校共有4种购买方案．

故选B．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程．

考点：

1．二元一次方程的应用；2．方案型．

二、填空题

三、解答题

6．（2019四川省内江市,第26题,12分）某商店准备购进A、B两种商品,A种商品毎件的进价比B种商品每件的进价多20元,用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元．

（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,该商店有几种进货方案？

（3）端午节期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元,B种商品售价不变,在

（2）条件下,请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．

【答案】

（1）A种商品每件的进价是50元,B种商品每件的进价是30元；

（2）5；（3）答案见解析．

【分析】

（1）设A种商品每件的进价是x元,根据用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同,列分式方程,解出可得结论；

（2）设购买A种商品a件,根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件,A种商品的数量不低于B种商品数量的一半,列不等式组,解出取正整数可得结论；

（3）设销售A、B两种商品共获利y元,根据y=A商品的利润+B商品的利润,根据m的值及一次函数的增减性可得结论．

【详解】

（1）设A种商品每件的进价是x元,则B种商品每件的进价是（x﹣20）元,由题意得：

解得：

x=50,经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,50﹣20=30．

答：

A种商品每件的进价是50元,B种商品每件的进价是30元；

（2）设购买A种商品a件,则购买B商品（40﹣a）件,由题意得：

解得：

．

∵a为正整数,∴a=14、15、16、17、18,∴商店共有5种进货方案；

（3）设销售A、B两种商品共获利y元,由题意得：

y=（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）=（15﹣m）a+600．

①当10＜m＜15时,15﹣m＞0,y随a的增大而增大,∴当a=18时,获利最大,即买18件A商品,22件B商品；

②当m=15时,15﹣m=0,y与a的值无关,即

（2）问中所有进货方案获利相同；

③当15＜m＜20时,15﹣m＜0,y随a的增大而减小,∴当a=14时,获利最大,即买14件A商品,26件B商品．

【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程可不等式组求解,分式方程要注意检验．

考点：

1．分式方程的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．一次函数的应用；4．分类讨论；5．方案型．

7．（2019四川省广元市,第20题,8分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售,经了解,甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元,且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．

（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？

（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定,购进两种水果共200千克,其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍,且购买资金不超过3420元,购回后,水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元,乙种水果的销售价定为每千克25元,则水果商应如何进货,才能获得最大利润,最大利润是多少？

【答案】

（1）甲种水果的单价是16元,则乙种水果的单价是20元；

（2）水果商进货甲种水果145千克,乙种水果55千克,才能获得最大利润,最大利润是855元．

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的分式方程,求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；

（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系,再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍,且购买资金不超过3420元,可以求得甲种水果数量的取值范围,最后根据一次函数的性质即可解答本题．

【详解】

（1）设甲种水果的单价是x元,则乙种水果的单价是（x+4）元,根据题意得：

解得：

x=16,经检验,x=16是原分式方程的解,∴x+4=20．

答：

甲种水果的单价是16元,则乙种水果的单价是20元；

（2）设购进甲种水果a千克,则购进乙种水果（200﹣a）千克,利润为w元,w=（20﹣16）a+（25﹣20）（200﹣a）=﹣a+1000．

∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍,且购买资金不超过3420元,∴

解得：

145≤a≤150,∴当a=145时,w取得最大值,此时w=855,200﹣a=55．

答：

水果商进货甲种水果145千克,乙种水果55千克,才能获得最大利润,最大利润是855元．

【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

考点：

1．分式方程的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．一次函数的应用；4．最值问题；5．方案型．

8．（2019广安,第22题,8分）为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．

（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？

（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由．

【答案】

（1）1只A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元；

（2）当购买A型号节能灯150只,B型号节能灯50只时最省钱．

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题；

（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式,然后根据一次函数的性质即可解答本题．

【详解】

（1）设1只A型节能灯的售价是x元,1只B型节能灯的售价是y元,根据题意得：

解得：

．

答：

1只A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元；

（2）设购买A型号的节能灯a只,则购买B型号的节能灯（200﹣a）只,费用为w元,w=5a+7（200﹣a）=﹣2a+1400．

∵a≤3（200﹣a）,∴a≤150,∴当a=150时,w取得最小值,此时w=1100,200﹣a=50．

答：

当购买A型号节能灯150只,B型号节能灯50只时最省钱．

【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

考点：

1．二元一次方程组的应用；2．一元一次不等式的应用；3．一次函数的应用；4．方案型；5．最值问题．

9．（2019四川省泸州市,第21题,7分）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车,若购买A型汽车4辆,B型汽车7辆,共需310万元；若购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元．

（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？

（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆,费用不超过285万元,且A型汽车的数量少于B型汽车的数量,请你给出费用最省的方案,并求出该方案所需费用．

【答案】

（1）A型汽车每辆的进价为25万元,B型汽车每辆的进价为30万元；

（2）最省的方案是购买A型汽车4辆,购进B型汽车6辆,该方案所需费用为280万元．

【分析】

（1）设A型汽车每辆的进价为x万元,B型汽车每辆的进价为y万元,根据“购买A型汽车4辆,B型汽车7辆,共需310万元；若购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论；

（2）根据题意列出不等式组解答即可．

【详解】

（1）设A型汽车每辆的进价为x万元,B型汽车每辆的进价为y万元,依题意,得：

解得：

．

答：

A型汽车每辆的进价为25万元,B型汽车每辆的进价为30万元．

（2）设购进A型汽车m辆,购进B型汽车（10﹣m）辆,根据题意得：

解得：

3≤m＜5．

∵m是整数,∴m=3或4,当m=3时,该方案所用费用为：

25×3+30×7=285（万元）．

当m=4时,该方案所用费用为：

25×4+30×6=280（万元）．

答：

最省的方案是购买A型汽车4辆,购进B型汽车6辆,该方案所需费用为280万元．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的不等式组和方程组,利用方程和不等式的性质解答．

考点：

1．二元一次方程组的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．最值问题；4．方案型．

10．（2019莱芜区,第22题,10分）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量,计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造,根据预算,改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元,改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．

（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？

（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天,改造1个乙种型号大概的时间是3天,该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个,改造资金最多能投入128万元,要求改造时间不超过35天,请问有几种改造方案？

哪种方案基地投入资金最少,最少是多少？

【答案】

（1）改造1个甲种型号大棚需要12万元,改造1个乙种型号大棚需要18万元；

（2）有三种方案,方案：

改造5个甲种型号大棚,3个乙种型号大棚基地投入资金最少,最少资金是114万元．

【分析】

（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元,改造1个乙种型号大棚需要y万元,根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元,改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论；

（2）设改造m个甲种型号大棚,则改造（8﹣m）个乙种型号大棚,根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,结合m为整数即可得出各改造方案,再利用总价=单价×数量分别求出三种方案所需改造费用,比较后即可得出结论．

【详解】

（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元,改造1个乙种型号大棚需要y万元,依题意,得：

解得：

．

答：

改造1个甲种型号大棚需要12万元,改造1个乙种型号大棚需要18万元．

（2）设改造m个甲种型号大棚,则改造（8﹣m）个乙种型号大棚,依题意,得：

解得：

m

．

∵m为整数,∴m=3,4,5,∴共有3种改造方案,方案1：

改造3个甲种型号大棚,5个乙种型号大棚；方案2：

改造4个甲种型号大棚,4个乙种型号大棚；方案3：

改造5个甲种型号大棚,3个乙种型号大棚．

方案1所需费用12×3+18×5=126（万元）；

方案2所需费用12×4+18×4=120（万元）；

方案3所需费用12×5+18×3=114（万元）．

∵114＜120＜126,∴方案3改造5个甲种型号大棚,3个乙种型号大棚基地投入资金最少,最少资金是114万元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是：

（1）找准等量关系,正确列出二元一次方程组；

（2）根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式组．

考点：

1．二元一次方程组的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．最值问题；4．方案型．

11．（2019滨州,第22题,12分）有甲、乙两种客车,2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人,1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．

（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？

（2）某学校组织240名师生集体外出活动,拟租用甲、乙两种客车共6辆,一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元,每辆乙种客车的租金为280元,请给出最节省费用的租车方案,并求出最低费用．

【答案】

（1）1辆甲种客车的载客量为45人,1辆乙种客车的载客量为30人；

（2）租用甲种客车4辆,乙种客车2辆费用最低,为2160元．

【分析】

（1）可设1辆甲种客车的载客量为x人,1辆乙种客车的载客量为y人,根据等量关系2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人,1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人,列出方程组求解即可；

（2）根据题意列出不等式组,进而求解即可．

【详解】

（1）设1辆甲种客车的载客量为x人,1辆乙种客车的载客量为y人,根据题意得：

解得：

．

答：

1辆甲种客车的载客量为45人,1辆乙种客车的载客量为30人．

（2）设租用甲种客车a辆,依题意有：

解得：

6＞a≥4,因为a取整数,所以a=4或5,a=4时,租车费用最低,为4×400+2×280=2160．

答：

租用甲种客车4辆,乙种客车2辆费用最低,为2160元．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．

考点：

1．二元一次方程组