学年高中数学 第3章 概率 31 随机事件及其概率 311312 随机.docx
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学年高中数学第3章概率31随机事件及其概率311312随机
3．1.1&3.1.2 随机现象 随机事件的概率
预习课本P93～97，思考并完成以下问题
1．什么叫确定性现象和随机现象？
2．什么叫事件？
事件可以分成哪几类？
3．什么叫随机事件的概率？
概率具有哪些性质？
1．确定现象和随机现象
（1）确定性现象：
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象．
（2）随机现象：
在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象．
2．事件的有关概念
（1）事件：
对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．
（2）事件的分类
①必然事件：
在一定条件下，必然会发生的事件；
②不可能事件：
在一定条件下，肯定不会发生的事件；
③随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件．
[点睛]
（1）事件的结果是相对于“一定条件”而言的，随着条件的改变，其结果也会不同，因此在随机事件的概念中“一定条件”不能去掉．
（2）必然事件和不可能事件可以看成是随机事件的特殊情况．
3．随机事件的概率
（1）概率的统计定义：
对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定．我们把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）．
[点睛]
（1）频率和概率是两个不同概念，频率随试验次数的改变而改变；而概率是客观存在的，它不随试验的变化而改变．
（2）概率是频率的稳定值，当试验次数很大时，可将事件A发生的频率
作为事件A概率的近似值，即P（A）≈
.
（3）概率是用来刻画事件发生的可能性大小．
（2）概率的性质
①有界性：
对任意事件A，有0≤P（A）≤1.
②规范性：
若Ω、Ø分别代表必然事件和不可能事件，则P（Ω）＝1；P（Ø）＝0.
1．指出下列现象是确定性现象还是随机现象：
（1）一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球是白球；
（2）函数y＝ax（a＞0且a≠1）在定义域（－∞，0]上是增函数；
（3）圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2内的点的坐标可使不等式（x－a）2＋（y－b）2＜r2成立．
答案：
（1）确定性现象
（2）随机现象 （3）确定性现象
2．给出事件：
①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；
②掷一枚硬币，出现反面；
③实数的绝对值不小于零．
其中，是不可能事件的有________．
答案：
①
3．某人买了100张彩票，结果有5张中奖，则本期彩票中奖的概率一定是0.05，这种说法________．（填写“正确”或“不正确”）
解析：
买100张彩票相当于做100次试验，其中有5张中奖，说明中奖的频率是0.05，并不一定是概率，只有做大量重复试验时，频率才接近概率．
答案：
不正确
判断事件的属性
[典例] 给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；
③“明天苏州要下雨”是必然事件；
④“在次品率为1%的产品中，任取100件产品，其中一定有1件次品，99件正品”是必然事件．
其中正确命题的个数是________．
[解析] ①中三个球全部放入两个盒子，其结果为一盒为3个球，另一盒空球，一盒一个球另一盒两个球，故为必然事件．
②当x∈R时，x2≥0，故x2<0是不可能事件．
③可能下雨也可能不下雨，故为随机事件，故③不正确．
④是随机事件，故④不正确．
[答案] 2
判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要依据在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现，可能出现、可能不出现．
[活学活用]
判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件．
（1）某人购买福利彩票中奖；
（2）导体通电时发热；
（3）在标准大气压下，水加热到100℃沸腾；
（4）某人投篮10次，没投中1次；
（5）早上看到太阳从西方升起；
（6）抛掷一颗骰子出现的点数为偶数；
（7）向上抛出的石头会下落；
解：
由题意知
（2）（3）（7）是必然事件，（5）是不可能事件，
（1）（4）（6）是随机事件.
概率的概念的理解
[典例] 下列说法：
①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55；
②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的．
其中，正确的有________（填序号）．
[解析] 抓住概率的意义可判断．对①0.55只是这次试验的频率，故①错误；对于②，买1000张彩票不一定中奖，故②错误；对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误．
[答案] ③
概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生．
[活学活用]
1．某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？
解：
从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次．只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为
n，其中n为射击次数．而且n越大，击中的次数就越接近
n.
2．试解释下面情况中概率的意义．
（1）某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
（2）一生产厂家称：
“我们厂生产的产品合格的概率为0.98.”
解：
（1）指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%；
（2）是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.
用频率估计概率
[典例] 一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9607
13520
17190
男婴数
2883
4970
6994
8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
[解]
（1）频率分别为0.520,0.517,0.517,0.517.
（2）根据频率的值可知，频率的值在0.52左右波动，因此可估计该地区男婴的出生率约为0.52.
用事件A发生的频率
作为事件A的概率P（A），从探求概率上讲，它是一种近似计算，即P（A）≈
，P（A）的取法，一般是在若干个
中，把大多数的
接近的数作为P（A）．
[活学活用]
某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，估计进球的概率是多少？
解：
计算频率，用频率去估算概率．
（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为
，
，
，
，
，
.
（2）由
（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在
附近摆动，可估计该运动员进球的概率为
.
[层级一 学业水平达标]
1．下面给出了四种现象：
①若x∈R，则x2＋1＜1；
②某地2月3日下雪；
③若平面α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n.
其中是确定性现象的是________．
解析：
∵x∈R，x2＋1≥1，∴①是不可能事件，属于确定性现象；∵某地2月3日下雪可能发生也可能不发生，∴②是随机现象；③是对的，是确定性现象．
答案：
①③
2．已知下列事件：
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的苹果不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩；
⑤在标准大气压下，水加热到98℃时会沸腾．
其中________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．
答案：
①③④ ② ⑤
3．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件：
①3件都是红色；
②至少有1件白色；
③3件都是白色；
④至少有1件红色．
其中是必然事件的是________．（填序号）
答案：
④
4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析：
设进行了n次试验，则有
＝0.02，得n＝500，
故进行了500次试验．
答案：
500
5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下：
每批
粒数
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的
粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的
频率
（1）将油菜籽发芽的频率填入上表中（保留2位小数）；
（2）这种油菜籽发芽的概率约是多少？
解：
（1）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下：
每批
粒数
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的
粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的
频率
1
0.8
0.9
0.86
0.89
0.91
0.91
0.89
0.90
0.91
（2）由
（1）估计这种油菜籽发芽的概率约是0.90.
[层级二 应试能力达标]
1．下列说法不正确的是________．（填序号）
①不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；
②某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0.8；
③“直线y＝k（x＋1）过定点（－1,0）”是必然事件；
④随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案：
②④
2．有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有________．
解析：
①是随机事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是随机事件．
答案：
①④
3．利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生，其中戴眼镜的同学有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是________．
解析：
根据频率与概率的关系及概率的意义知，这名学生戴眼镜的概率为
＝0.615.
答案：
0.615
4．已知非空集合A，B，且A⊆B.下列四个命题，正确的是________（填序号）．
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若x∉B，则x∉A是必然事件．
解析：
因为A⊆B，所以若x∈A，则x∈B；但x∉A，也可能有x∈B；若x∉B，一定有x∉A.从而①③④正确．
答案：
①③④
5．一袋中有红球3只，白球5只，还有黄球若干只．某人随意摸100次，其摸到红球的频数为30次，那么袋中黄球约有________只．
解析：
由
＝
，解得x＝2.
答案：
2
6．样本容量为200的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10）内的频数为________，数据落在[2,10）内的概率约为________．
解析：
由于组距为4，因此在[6,10）内的概率为0.08×4＝0.32，其频数为0.32×200＝64.落在[2,10）内的频率为（0.02＋0.08）×4＝0.4，即概率约为0.4.
答案：
64 0.4
7．连续掷一枚硬币二次，可能出现的结果有________种．
答案：
4
8．已知f（x）＝x2＋2x，x∈[－2,1]，给出事件A：
f（x）≥a.
（1）当A为必然事件时，a的取值范围为________；
（2）当A为不可能事件时，a的取值范围为________．
解析：
∵f（x）＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，x∈[－2,1]，
∴f（x）min＝－1，此时x＝－1，又f（－2）＝0＜f
（1）＝3，∴f（x）max＝3，
∴f（x）∈[－1,3]．
（1）当A为必然事件时，即f（x）≥a恒成立，
所以有a≤f（x）min＝－1，
则a的取值范围是（－∞，－1]．
（2）当A为不可能事件时，
即f（x）≥a一定不成立，
所以有a＞f（x）max＝3，
则a的取值范围是（3，＋∞）．
答案：
（1）（－∞，－1]
（2）（3，＋∞）
9．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：
先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．
解：
设水库中鱼的尾数为n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，
设事件A＝{带有记号的鱼}，易知P（A）＝
，①
第二次从水库中捕出500尾，观察其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义可知P（A）＝
，②
由①②两式，得
＝
，
解得n＝25000.
所以估计水库中约有鱼25000尾．
10．（北京高考）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：
（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
＝0.2.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
＝0..
（3）与
（1）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
＝0.1，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
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