高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案.docx
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高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案
高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案
圆锥曲线
1圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条:
椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。
若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:
焦点在轴上时(),焦点在轴上时=1()。
方程表示椭圆的充要条是什么?
(AB≠0,且A,B,同号,A≠B)。
(2)双曲线:
焦点在轴上:
=1,焦点在轴上:
=1()。
方程表示双曲线的充要条是什么?
(AB≠0,且A,B异号)。
(3)抛物线:
开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。
3圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:
由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
(2)双曲线:
由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
提醒:
在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):
①范围:
;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:
两条准线;⑤离心率:
,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
(2)双曲线(以()为例):
①范围:
或;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:
两条准线;⑤离心率:
,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:
。
(3)抛物线(以为例):
①范围:
;②焦点:
一个焦点,其中的几何意义是:
焦点到准线的距离;③对称性:
一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:
一条准线;⑤离心率:
,抛物线。
、点和椭圆()的关系:
(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条,但不是必要条;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条,但不是必要条。
(2)相切:
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
,当即为短轴端点时,的最大值为b;对于双曲线。
如
(1)短轴长为,
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
(2)设AB为焦点弦,为准线与x轴的交点,则∠AF=∠BF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若A的延长线交准线于,则B平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于点,则A,,三点共线。
9、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
抛物线:
在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率=。
提醒:
因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!
11.了解下列结论
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;
()通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;②
(7)若A、B是过抛物线顶点的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向量或;
(2)给出与相交,等于已知过的中点;
(3)给出,等于已知是的中点;
(4)给出,等于已知与的中点三点共线;
()给出以下情形之一:
①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线
(6)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,
(8)给出,等于已知是的平分线/
(9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;
(10)在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;
(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12)在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)在中,给出等于已知通过的内心;
(1)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16)在中,给出,等于已知是中边的中线;
(3)已知A,B为抛物线x2=2p(p>0)上异于原点的两点,,点坐标为(0,2p)
(1)求证:
A,B,三点共线;
(2)若=()且试求点的轨迹方程。
(1)证明:
设,由得
,又
,,即A,B,三点共线。
(2)由
(1)知直线AB过定点,又由及=()知៶AB,垂足为,所以点的轨迹为以为直径的圆,除去坐标原点。
即点的轨迹方程为x2+(-p)2=p2(x᠒0,᠒0)。
13圆锥曲线中线段的最值问题:
例1、
(1)抛物线:
2&nt;=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
(2)抛物线:
2&nt;=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。
解:
(1)(2,)
(2)()
1、已知椭圆1的方程为,双曲线2的左、右焦点分别为1的左、右顶点,而2的左、右顶点分别是1的左、右焦点。
(1)求双曲线2的方程;
(2)若直线l:
与椭圆1及双曲线2恒有两个不同的交点,且l与2的两个交点A和B满足(其中为原点),求的取值范围。
解:
(Ⅰ)设双曲线2的方程为,则
故2的方程为(II)将
由直线l与椭圆1恒有两个不同的交点得
即①
由直线l与双曲线2恒有两个不同的交点A,B得
解此不等式得③
由①、②、③得
故的取值范围为
在平面直角坐标系x中,已知点A(0,-1),B点在直线=-3上,点满足B//A,A•AB=B•BA,点的轨迹为曲线。
(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)P为上的动点,l为在P点处得切线,求点到l距离的最小值。
(Ⅰ)设(x,),由已知得B(x,-3),A(0,-1)所以=(-x,-1-),=(0,-3-),=(x,-2)再由愿意得知(+)•=0,即(-x,-4-2)•(x,-2)=0
所以曲线的方程式为=x-2(Ⅱ)设P(x,)为曲线:
=x-2上一点,因为=x,所以的斜率为x因此直线的方程为,即。
则点到的距离又,所以
当=0时取等号,所以点到距离的最小值为2
设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()
设双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为()
过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为
已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上则•=()0
已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则()
已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是()
设已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线相交于A,B两点。
若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_____________
椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则;的大小为
过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则________________
【解析】设切点,则切线的斜率为由题意有又解得:
双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去,得有唯一解,所以△=,所以,
由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且或不妨去,则,
∴•=
【解析】设抛物线的准线为直线
恒过定点P如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点连结,则,
点的横坐标为,故点的坐标为
故选D
1点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角
2PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点
3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
4以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是
6若在椭圆外,则过P作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
7椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为
8椭圆(a>b>0)的焦半径公式:
(,)
9设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于、N两点,则F⊥NF
10过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点,A2P和A1Q交于点N,则F⊥NF
11AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,为AB的中点,则,
即。
12若在椭圆内,则被P所平分的中点弦的方程是
13若在椭圆内,则过P的弦中点的轨迹方程是
二、双曲线
1点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角
2PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点
3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交
4以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切:
P在右支;外切:
P在左支)
若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是
6若在双曲线(a>0,b>0)外,则过P作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
7双曲线(a>0,b>)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为
8双曲线(a>0,b>)的焦半径公式:
(,
当在右支上时,,
当在左支上时,,
9设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于、N两点,则F⊥NF
10过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点,A2P和A1Q交于点N,则F⊥NF
11AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,为AB的中点,则,即。
12若在双曲线(a>0,b>0)内,则被P所平分的中点弦的方程是
13若在双曲线(a>0,b>0)内,则过P的弦中点的轨迹方程是
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
椭圆
1椭圆(a>b>)的两个顶点为,,与轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
2过椭圆(a>0,b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,两点,则直线B有定向且(常数)
3若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,,则
4设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记,,,则有
若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项
6P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立
7椭圆与直线有公共点的充要条是
8已知椭圆(a>b>0),为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
(1);
(2)|P|2+|Q|2的最大值为;(3)的最小值是
9过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于,N两点,弦N的垂直平分线交x轴于P,则
10已知椭圆(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则
11设P点是椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则
(1)
(2)
12设A、B是椭圆(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,,,,、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有
(1)
(2)(3)
13已知椭圆(a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线A经过线段EF的中点
14过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
1过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
16椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)
(注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)
17椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e
18椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项
双曲线
1双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
2过双曲线(a>0,b>)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,两点,则直线B有定向且(常数)
3若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,,则(或)
4设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记,,,则有
若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项
6P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时,等号成立
7双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条是
8已知双曲线(b>a>0),为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且
(1);
(2)|P|2+|Q|2的最小值为;(3)的最小值是
9过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于,N两点,弦N的垂直平分线交x轴于P,则
10已知双曲线(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或
11设P点是双曲线(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则
(1)
(2)
12设A、B是双曲线(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,,,,、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有
(1)
(2)(3)
13已知双曲线(a>0,b>0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线A经过线段EF的中点
14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直
1过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
16双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)
(注:
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)
17双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项
其他常用公式:
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系计算弦长,常用的弦长公式:
2、直线的一般式方程:
任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。
3、知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)
与直线垂直的直线可表示为。
4、两平行线间的距离为。
、若直线与直线平行
则(斜率)且(在轴上截距)(充要条)
6、圆的一般方程:
,特别提醒:
只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆。
二元二次方程表示圆的充要条是且且。
7、圆的参数方程:
(为参数),其中圆心为,半径为。
圆的参数方程的主要应用是三角换元:
;
8、为直径端点的圆方程
切线长:
过圆()外一点所引圆的切线的长为()
9、弦长问题:
①圆的弦长的计算:
常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形解:
;②过两圆、交点的圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程。
攻克圆锥曲线解答题的策略
摘要:
为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题,提高成绩,战胜高考,可从四个方面着手:
知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
关键词:
知识储备方法储备思维训练强化训练
第一、知识储备:
1直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五:
点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离③夹角公式:
(3)弦长公式
直线上两点间的距离:
或
(4)两条直线的位置关系
①=-1②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种?
(三种形式)
标准方程:
距离式方程:
参数方程:
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:
距离式方程:
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?
如:
已知是椭圆的两个焦点,平面内一个动点满足则动点的轨迹是()
A、双曲线;B、双曲线的一支;、两条射线;D、一条射线
()、焦点三角形面积公式:
(其中)
(6)、记住焦半径公式:
(1),可简记为“左加右减,上加下减”。
(2)
(3)
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?
第二、方法储备
1、点差法(中点弦问题)
设、,为椭圆的弦中点则有
,;两式相减得
=
2、联立消元法:
你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?
经典套路是什么?
如果有两个参数怎么办?
设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消元••••••,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为,就意味着存在。
例1、已知三角形AB的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在轴正半轴上)
(1)若三角形AB的重心是椭圆的右焦点,试求直线B的方程;
(2)若角A为,AD垂直B于D,试求点D的轨迹方程
分析:
第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦B的斜率,从而写出直线B的方程。
第二问抓住角A为可得出AB⊥A,从而得,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;
解:
(1)设B(,),(,),B中点为(),F(2,0)则有
两式作差有
(1)
F(2,0)为三角形重心,所以由,得,由得,代入
(1)得
直线B的方程为
2)由AB⊥A得
(2)
设直线B方程为,得
,
代入
(2)式得
,解得或
直线过定点(0,,设D(x,),则,即
所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法
例2、如图,已知梯形ABD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。
分析:
本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。
建立直角坐标系,如图,若设,代入,求得,进而求得再代入,建立目标函数,整理,此运算量可见是难上加难我们对可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数,