最新数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学优秀名师资料.docx
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数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学
数列专题复习一、等差数列的有关概念:
1、等差数列的判断方法:
定义法或。
aadd,,（为常数）aaaan,,,,
（2）nn，1nnnn，,11
aaa，，？
，12nnN,*如设是等差数列，求证:
以b=为通项公式的数列为{}a{}bnnnn
等差数列。
2、等差数列的通项:
或。
aand,，,
（1）aanmd,，,（）n1nm
如
（1）等差数列中，，，则通项（答:
）;{}aa,30a,50a,210n，n1020n
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答:
8）,,d33
naa（），nn
（1）,1n3、等差数列的前和:
，。
nS,Snad,，n1n22
1315*如
（1）数列中，，，前n项和，{}aa,aannN,，,,S,,（2,）nnnn,n1222
a,,3a则,,，,,（答:
，）;nn,1011
2{||}aT
（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答:
{}anSnn,,12nnnn
2*,12（6,）nnnnN,,,,T,）.,n2*nnnnN,，,,1272（6,）,,
ab，4、等差中项:
若aAb,,成等差数列，则A叫做与的等差中项，且A,。
ab2
aa提醒:
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:
、、、及nnd1nSa，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，dn1
即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，adadaadad,,，，2,,,,2„（公差为）;偶数个数成等差，可设为„，d
adadadad,,，，3,,,3,„（公差为2）d
5、等差数列的性质:
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于n的一d,0aanddnad,，,,，,
（1）n11
nndd
（1）,2次函数，且斜率为公差;前n和是关于n的二次Snadnan,，,，,（）dn11222
函数且常数项为0.
1/13
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差d,0d,0
，则为常数列。
d,0
（3）当时,则有，特别地，当时，则有mnp，,2a，a,a，amnpq，,，mnpq
.aaa，,2mnp
SaaaS,，，,,18,3,1{}a如
（1）等差数列中，，则,____（答:
27）;nnnnnn,,123
{}b{}ka{}kapb，p{}a（4）若、是等差数列，则、（、是非零常数）、knnnnn
a*n{}aSSSSS,,,,{}a、，„也成等差数列，而成等比数列;若{}（,）apqN,nnnnn232npnq，
a,0{lg}a是等比数列，且，则是等差数列.nn
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。
（答:
225）
SSnd,,{}a（5）在等差数列中，当项数为偶数时，;项数为奇数时，2n21n,n偶奇
，，aS:
S,n:
n-1a，（这里即）;。
SSa,,Sna,,,（21）n奇偶中21n,奇偶中中
a如
（1）在等差数列中，S,22，则,______（答:
2）;116
（2）项数为奇数的等差数列{}a中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中n
间项与项数（答:
5;31）.
An{}bAB{}a（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则n（）,fnnnnnBnanaA（21）,nnn21,ab.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分n,,,,fn（21）nnbnbB（21）,nnn21,
S3n，1an62n,n,ST别为和，若，那么___________（答:
）,nnT4n,3bnn87n,
（7）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增n
等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组n
a0a0,,,,,,nn确定出前多少项为非负（或非正）;法二:
因等差数列前项是关于n,,或,,,,a0a0,,n，1n，1,,,,
*n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
上述两种nN,方法是运用了哪种数学思想,（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗,
{}aa,25SS,如
（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大,并求此最大n1917
2/13
值。
（答:
前13项和最大，最大值为169）;
（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和{}aa,0,aa，,0aa,,0n12003200420032004
成立的最大正整数n是（答:
4006）S,0n
aa,,0,0aa,||S（3）在等差数列中，，且，是其前项和，则（）na,,n10111110n
SSS,SS,A、都小于0，都大于012101112
SSS,SS,B、都小于0，都大于012192021
SSS,SS,C、都小于0，都大于012567
SSS,SS,D、都小于0，都大于0（答:
B）12202122
（8）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项，其项
ab,数不一定相同，即研究.nm
二、等比数列的有关概念:
an，1qa,,0,01、等比数列的判断方法:
定义法，其中或,（为常数）qqnan
aann，1。
（2）n,,aann,1
aa如
（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则21n，nn，1
5ab,a,2aa为____（答:
）;
（2）数列{}a中，=4+1（）且=1，若，n,2Snn，1nn,11nn6
b求证:
数列,,是等比数列。
n
nm,n,12、等比数列的通项:
或。
aaq,aaq,nmn1
aa，,66aa,128q如等比数列{}a中，，，前项和,126，求和.（答:
nnSn1n21n,n
1，或2）q,n,62
naq
（1）,aaq,11nS,Sna,,3、等比数列的前q,1q,1n和:
当时，;当时，。
nn11,q1,q
a，a，？
，aq如
（1）等比数列中，,2，S=77，求（答:
44）;993699
10nk（C）
（2）的值为__________（答:
2046）;,,n10n,,k
3/13
特别提醒:
等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要nn判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分和两种情形讨论求解。
q,1q,1
4、等比中项:
若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。
提醒:
不是任何aAb,,ab
两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,ab。
如已知两个正数
的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答:
A,B）abab,（）,
aaq提醒:
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:
、、、及nn1nSaq，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，n1
即知3求2;
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为„，aaaa23,,,,aaqaqq,,aq,aq„（公比为）;但偶数个数成等比时，不能设为„，„，23qqqq
2q因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。
（答:
15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质:
（1）当时，则有，特别地，当时，则有mnp，,2aaaa,mnpq，,，mnpq
2.aaa,mnp
aaaa，,,,124,512{}aa如
（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___n384710（答:
512）;
（2）各项均为正数的等比数列{}a中，若aa,,9，则ogllaaaogl，，，,ogn563132310（答:
10）。
*{}ka{}a{||}a若是等比数列，则、、成等比数列;若
（2）{}（,）apqN,nnnpnq，
an{}{}ab、{}ab{}a成等比数列，则、成等比数列;若是等比数列，且公比q,,1，{}nnnnnbn
SSSSS,,,,q,,1则数列，„也是等比数列。
当，且n为偶数时，数列nnnnn232
SSSSS,,,,，„是常数数列0，它不是等比数列.nnnnn232
a,0a,1{}xlog1logxx,，如
（1）已知且，设数列满足，且（*）nN,nanan，1
4/13
100，则.（答:
）;xxx，，，,100xxx，，，,100a12100101102200
{a}SS,13S,S，S,140S2）在等比数列中，为其前n项和，若，则（nn3010103020
的值为______（答:
40）
aq,,0,1aq,,0,1{}a{}a（3）若，则为递增数列;若,则为递减数列;若1n1naq,,,0,01aq,,,0,01{}a{}a，则为递减数列;若,则为递增数列;若，q,01n1n{}a{}a则为摆动数列;若，则为常数列.q,1nn
aann11S,q，,aq，b（4）当时，，这里，但，q,1ab,,0,0ab，,0n1,q1,q
S{}a项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。
是等比数列前nnn
nSr,，3如若是等比数列，且，则r,（答:
1）{}ann
mn{a}Sq（5）.如设等比数列的公比为，前项和为，nSSqSSqS,，,，nn，mnmnnm
SSS,,q若成等差数列，则的值为_____（答:
2）nnn，，12
{}a（6）在等比数列中，当项数为偶数时，;项数为奇数时，SqS,2n21n,n偶奇SaqS,，.1奇偶
（7）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数{}a{}ann数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
{}an
n,N,,,,如设数列a的前项和为S（），关于数列a有下列三个命题:
?
若nnnn
2，，S,an，bna、b,R,,a,a（n,N），则a既是等差数列又是等比数列;?
若，nnn，1n
n，，S,1,,1,,,,则a是等差数列;?
若，则a是等比数列。
这些命题中，真命题的序号nnn
是（答:
?
?
）
三、数列通项公式的求法
一、公式法
Sn1）（,1,a?
;,nSS（n2）,,,nn,1
,,,aa?
等差、等比数列公式.nn
5/13
naa,，，232{}aa,2{}a例已知数列满足，，求数列的通项公式。
，1nnn1n
aa3nnn，1aa,，，232评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列,,，1nnnn，1222aa3nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{},，,1
（1）nnn222{}a的通项公式。
n
二、累加法
aana,，，,211，{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
nnn，11n
aan,，，21aan,,，21转化为，进而求评注:
本题解题的关键是把递推关系式nn，1nn，1（）（）（）（）aaaaaaaaa,，,，，,，,，{}a出，即得数列的通项公式。
nnnn,,,11232211n
naaa,，，，,2313，{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
，11nnnn
nn评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，，231aa,,，，231，1，1nnnn
aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，（）（）（）（）{}a进而求出，即得数列的通nnnnn,,,11232211n项公式。
三、累乘法
n{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
anaa,，，,2
（1）53，nn，11nn
annn，1,，2
（1）5n评注:
本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求ana,，，2
（1）5，1nnan
aaaann,132{}a,,,,,a出，即得数列的通项公式。
n1aaaann,,1221
四、取倒数法
an,1aaa,1,a,例已知数列{}中，其中，且当n?
2时，，求通项公式。
nn1n2a，1n,1
a111n,1a,,,2{}解将两边取倒数得:
，这说明是一个等差数列，n2a，1aaan,1nn,1n
6/13
111首项是，公差为2，所以,1，（n,1），2,2n,1，即.,1a,naa2n,1n1
五、待定系数法
n{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
aaaa,，，,2356，,,nn，11nn
nnn，1aa,，，235评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,,,52（5），1nnnn，1
nn{5}a,{5}a,从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列nn{}a的通项公式。
n
n{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
aaa,，，，,35241，nn，11nn
n评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为aa,，，，3524，1nn
nn，1n，从而可知数列是等比数列，进而求aa，，，,，，，5223（522）{522}a，，，nn，1n
n{}a出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
{522}a，，，nn
六、对数变换法
n5aa,，，23{}aa,7{}a例已知数列满足，，求数列的通项公式。
，nn1n1n
n5aa,，，23评注:
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，nn1
lg3lg3lg2lg3lg3lg2，从而可知数列anan，，，，,，，，lg
（1）5（lg）nn，141644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2是等比数列，进而求出数列的通项an，，，an，，，{lg}{lg}nn41644164
{}a的通项公式。
公式，最后再求出数列n
七、迭代法
n3
（1）2n，{}a{}a例已知数列aaa,,，5满足，求数列的通项公式。
nnnn，11
n3
（1）2n，aa,评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式nn，1
lgannn，1,，3
（1）2n两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知lg3
（1）2lgana,，，，，1nnlgan
7/13
nn
（1）,nn
（1）,n,13!
2,,nn,1lglglgaaalga23!
2,,nnn,1322，从而。
a,5,,,,,,,lglglg5aann1lglglglgaaaann,,1221
八、数学归纳法
8
（1）8n，{}a{}aaaa,，,，例已知数列满足，求数列的通项公式。
nnnn，1122（21）（23）9nn，，
8
（1）n，8aa,，解:
由及，得。
。
。
。
。
。
a,nn，1122（21）（23）nn，，9
2（21）1n，,a,由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
n2（21）n，
2（211）18，，,a,,
（1）当时，，所以等式成立。
n,112（211）9，，
2（21）1k，,a,
（2）假设当时等式成立，即，则当时，nk,nk,，1k2（21）k，
8
（1）k，aa,，。
。
。
。
。
。
kk，122（21）（23）kk，，
由此可知，当时等式也成立。
nk,，1
*根据
（1），
（2）可知，等式对任何都成立。
nN,
九、换元法
1{}a{}a例已知数列满足，求数列的通项公式。
aaaa,，，，,，（14124）1nnnnn，1116
12ba,，124解:
令，则ab,,
（1）nnnn24
11222故，代入得。
。
。
。
。
。
即ab,,aaa,，，，4（3）bb,，（14124）
（1）nn，，nnn，111nn，11624
1323bb,，ba,，,1240ba,，,1240因为，故则，即，bb,，nn，1nnnn，，11nn，122
1可化为，bb,,,3（3）nn，12
8/13
1{3}b,所以是以为首项，以为公比的等比数ba,,，,,，，,,31243124132n112
1111nn,,12n,2n,2列，因此，则，即，得b,,,b,，，,，a32（）（）124（）3（）3nnn2222
2111nn。
a,，，（）（）n3423
十、构造等差、等比数列法
na,pa，qa,pa，f（n）a,p,a，q,a?
;?
;?
;?
.a,pa，qn，1nn，1nn，2n，1n，1nn
,,,a,1,a,2a，3aa例已知数列中，，求数列的通项公式.1n，1nnn
n,1n，1a，3,2（a，3）【解析】？
？
a，3,4，2,a,2,3.n，1nnn
a,pa，q【反思归纳】递推关系形如“”适用于待定系数法或特征根法:
n，1n
a,,,p（a,,）?
令;n，1n
qa,pa，qa,a,x,x,a,x,p（a,x）?
在中令，;？
n，1nn，1nn，1n1,pa,pa，qa,pa，qa,a,p（a,a）?
由得，.？
n，1nnn,1n，1nnn,1
n,,,,aa例已知数列中，，求数列的通项公式.a,1,a,2a，3nn1，1nn
aaa3nn，1nnna,2a，3【解析】，，令？
？
，,b（），1nnn,1,1nnn2222
3nnnb,（b,b），（b,b），？
，（b,b），ba,3,2？
？
2，（）,2nnn,1n,1n,2211n2
n【反思归纳】递推关系形如“”通过适当变形可转化为:
a,pa，q，1nn
na,pa，qa,a，f（n）“”或“求解.，1n，1nnn
十一、不动点法
72a,n{}a{}aaa,,，2例已知数列满足，求数列的通项公式。
nn，11n23a，n
72x,31x,2解:
令，得，则是函数的不动点。
2420xx,，,x,fx（）,x,123x，47x，
7255aa,,nna,,,,11因为，所以，1n2323aa，，nn
9/13
2111nn。
a,，，（）（）n3423
b评注:
本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124，ann
13{3}b,{3}b,形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，bb,，nnnn，122
{}a最后再求出数列的通项公式。
n
四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
（）
（1）naann，,1n1、等差数列求和公式:
Snad,,，1n22
（,1）naq,1,n,aaq（1,）aq2、等比数列求和公式:
S,1n1n,（q,1）,1,1,qq,
n（n，1）1，2，3，？
，n,前个正整数的和n2
（1）（21）nn，n，2222前个正整数的平方和123n，，，？
，n,6
n（n，1）33332前个正整数的立方和n1，2，3，？
，n,[]2公式法求和注意事项
（1）弄准求和项数的值;n
q
（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。
n
123nx,例已知log，求的前n项和.x，x，x，,,,，x，,,,3log32
S*nf（n）,例设S,1+2+3+…+n，n?
N,求的最大值.n（n，32）Sn，1
1S11nf（n）,?
,,,864（n，32）S502n，1（n,），50n，34，nn
18n,（）?
当，即n,8时，fn,max508
二、错位相减法求和
这种方法主要用于求数列{a?
b}的前n项和，其中{a}、{b}分别是等差数列和等比nnnn
q数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比;
10/13
然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
11n，{}a例:
（2009全国卷?
理）在数列中，aaa,,，，1,
（1）n11nn，nn2
an{}b{}aS（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和nb,nnnnn
aa11nn，1分析:
（I）由已知有,，？
,bbnn，1nn，nn122
1*{}b利用累差迭加即可求出数列的通项公式:
（）b,,nN,2nn,1n2
nnnkkn
（2）,k,,
（2）kS（II）由（I）知,=？
,2an,,,nn,1,1kk,1n222,1,,11kkknnk
（2）
（1）knn,，而,又是一个典型的错位相减法模型，,,k,12k,1,1k
nkn，2n，2,,4S易得？
=nn
（1），，,4,n,,11knn,1222,1k
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
（a，a）再把它与原数列相加，就可以得到n个.1n
012nn例求证:
C，3C，5C，,,,，（2n，1）C,（n，1）2nnnn
012n证明:
设S,C，3C，5C，,,,，（2n，1）Cnnnnn
nn,110S,（2n，1）C，（2n,1）C，,,,，3C，Cnnnnn
n?
S,（n，1）,2n
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
111[例7]求数列的前n项和:
，…1，1,，4,，7,,,,,，3n,22n,1aaa
111解:
设S,（1，1），（，4），（，7），,,,，（，3n,2）n2n,1aaa
111S,（1，，，,,,，），（1，4，7，,,,，3n,2）n2n,1aaa
（3n1）n（3n，1）n,Sn当a,1时，,,，n22
11/13
11,1,nn（31）a,an,n（3n,1）na当时，,，S,，a,1n112a,21,a
{}a例:
（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，n
11111且，aa，,，2（）aaa，，,，，64（）12345aaaaa34512
12{}b{}aTba,，（?
）求的通项公式;（?
）设（），求数列的前项和。
nnnnnnan
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:
sin1,,,tan（n，1）,tanna,f（n，1）,f（n）
（1）
（2）n,,cosncos（n，1）
2111n
（2）111a,,1，（,）a,,,（3）（4）nnn,n，n,n，（21）（21）22121n（n，1）nn，1
1111a,,[,]（5）nn（n,1）（n，2）2n（n，1）（n，1）（n，2）（6）
n，212（n，1）,n1111a,,,,,,,则S,1,nnnnn,1nnn（n，1）n（n，1）22n,2（n，1）2（n，1）2
111,,,,,,,,,,例求数列的前n项和.
1，22，3n，n，1
1a,,n，1,nnn，n，1
111S,，，,,,，n，1,1则,n1，22，3n，n，1
12n2a,，，,,,，b,例在数列{a}中，，又，求数列{b}的前nnnnna,an，1n，1n，1nn，1
项的和.
12n
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