高中数学概率统计练习题.docx
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高中数学概率统计练习题
2015年12月31日期末复习题
（二）
一．选择题（共12小题）
1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：
3：
5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（ ）
A．40B．80C．160D．320
2．某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（ ）
A．5000名学生是总体B．250名学生是总体的一个样本
C．样本容量是250D．每一名学生是个体
3．（2015抚顺模拟）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（ ）
A．15B．18C．21D．22
4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（ ）
A．15B．16C．17D．19
5．如图是一容量为100的样本的重量的
频率分布直方图，则由图可估计样本重量
的中位数为（ ）
A．11B．C．12D．
6．某公司在2014年上半年的收入x（单位：
万元）与月支出y（单位：
万元）的统计资料如下表所示：
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
收入x
支出Y
根据统计资料，则（ ）
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
7．下列事件是随机事件的是（ ）
（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．
（2）异性电荷相互吸引
（3）在标准大气压下，水在1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．
A．
（1）
（2）B．
（2）（3）C．（3）（4）D．
（1）（4）
8．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球
9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2011次，那么第2010次出现正面朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．B．C．D．1
12．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题）
13．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率 ．
14．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为。
15．已知盒子中有5个白球、3个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从盒子中随机地取出2个球，则其中至少有1个黑球的概率是 ．
16．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为
，则a的值为 ．
x
2
3
4
5
6
y
251
254
257
262
266
三．解答题（共6小题）
17．一个单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法写出抽取样本的过程．
18．已知向量
=（2，1），
=（x，y）
（Ⅰ）若x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}，求向量
⊥
的概率；
（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域Ω：
，求二元数组（x，y）满足x2+y2≥1的概率．
19．农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：
克）数据如下：
甲种作物的产量数据：
111，111，122，107，113，114
乙种作物的产量数据：
109，110，124，108，112，115
（1）计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定；
（2）作出两组数据的茎叶图．
20．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小
21．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定请给出你的理由；
（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少
（已知88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497，882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994）
（参考公式：
=
=
，
=
﹣
）
22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：
度），以[160，180），[180，200），[200，200），[），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[）的用户中应抽取多少户
2015年12月31日期末复习题
（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015陕西校级模拟）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：
3：
5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（ ）
A．40B．80C．160D．320
【考点】分层抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】根据分层抽样的定义和方法可得
=
，解方程求得n的值，即为所求．
【解答】解：
根据分层抽样的定义和方法可得
=
，解得n=80，
故选B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．
2．（2015春白山期末）某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（ ）
A．5000名学生是总体
B．250名学生是总体的一个样本
C．样本容量是250
D．每一名学生是个体
【考点】简单随机抽样．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，考查对象是某地区初中毕业生参加中考的数学成绩，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：
总体指的是5000名参加今年大联考的学的成绩，所以A错；
样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以B对；
样本容量指的是抽取的250，所以C对；
个体指的是5000名学生中的每一个学生的成绩，所以D错；
故选：
C．
【点评】考查统计知识的总体，样本，个体，等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：
学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．
3．（2015抚顺模拟）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（ ）
A．15B．18C．21D．22
【考点】系统抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．
【解答】解：
抽取样本间隔为24÷6=6，
若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为3+3×6=21，
故选：
C
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
4．（2015陕西二模）一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（ ）
A．15B．16C．17D．19
【考点】频率分布表．
【专题】概率与统计．
【分析】根据样本数据在[20，60）上的频率求出对应的频数，再计算样本在[40，50），[50，60）内的数据个数和即可．
【解答】解：
∵样本数据在[20，60）上的频率为，
∴样本数据在[20，60）上的频数是30×，
∴估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为24﹣4﹣5=15．
故选：
A．
【点评】本题考查了频率=
的应用问题，是基础题目．
5．（2015烟台二模）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A．11B．C．12D．
【考点】众数、中位数、平均数．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意，×5+x×=，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．
【解答】解：
由题意，×5+x×=，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．
故选：
C．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．
6．（2015湖南一模）某公司在2014年上半年的收入x（单位：
万元）与月支出y（单位：
万元）的统计资料如下表所示：
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
收入x
支出Y
根据统计资料，则（ ）
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
【考点】变量间的相关关系．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】月收入的中位数是
=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．
【解答】解：
月收入的中位数是
=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，
故选：
C．
【点评】本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（2015春重庆期末）下列事件是随机事件的是（ ）
（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．
（2）异性电荷相互吸引
（3）在标准大气压下，水在1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．
A．
（1）
（2）B．
（2）（3）C．（3）（4）D．
（1）（4）
【考点】随机事件．
【专题】概率与统计．
【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断．
【解答】解：
（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．是随机事件；
（2）异性电荷相互吸引，是必然事件；
（3）在标准大气压下，水在1℃时结冰，是不可能事件；
（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．是随机事件；
故是随机事件的是
（1），（4），
故选：
D
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：
必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．
8．（2014春邯郸期末）从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，至少有1个红球
B．至少有1个白球，都是红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是白球
【考点】随机事件．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】对立事件是在互斥的基础之上，在一次试验中两个事件必定有一个要发生．根据这个定义，对各选项依次加以分析，不难得出选项B才是符合题意的答案．
【解答】解：
对于A，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，
比如恰好一个白球和一个红球，故A不对立；
对于B，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，
而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，
这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；
对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生
但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；
对于D，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了
故选B
【点评】本题考查了随机事件当中“互斥”与“对立”的区别与联系，属于基础题．互斥是对立的前提，对立是两个互斥事件当中，必定有一个要发生．
9．（2015龙川县校级模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2011次，那么第2010次出现正面朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】概率的意义．
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】简化模型，只考虑第2010次出现的结果，有两种结果，第2010次出现正面朝上只有一种结果，即可求
【解答】解：
抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第2010次，有两种结果：
正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现，故所求概率为
．
故选：
D．
【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
．
10．（2015张掖一模）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题．
【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1﹣﹣，得到结果．
【解答】解：
∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1﹣﹣=，
故选C．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
11．（2015广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：
这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为
；
∴基本事件总数为10；
设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为
=6；
∴P（A）=
=．
故选：
B．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．
12．（2015芜湖校级模拟）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是
【解答】解：
∵f（x）≤0x2﹣x﹣2≤0﹣1≤x≤2，
∴f（x0）≤0﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，
∴使f（x0）≤0的概率P=
=
故选C
【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键
二．填空题（共4小题）
13．（2015景洪市校级模拟）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率 1﹣
．
【考点】几何概型．
【专题】计算题．
【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：
OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．
【解答】解：
取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：
×13=
，
∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：
v=V正方体﹣
=8﹣
取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：
P=
=1﹣
．
故答案为：
1﹣
．
【点评】本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．
14．（2015?
上海模拟）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为
．
【考点】等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【分析】由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率．
【解答】解：
由题意：
甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：
甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，
因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率．
15．（2015春?
宿迁期末）已知盒子中有5个白球、3个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从盒子中随机地取出2个球，则其中至少有1个黑球的概率是
．
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【专题】概率与统计．
【分析】利用对立事件的概率公式，可得至少有1个黑球的概率．
【解答】解：
由题意，利用对立事件的概率公式，可得至少有1个黑球的概率是1﹣
=
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了概率公式，考查对立事件的概率公式的运用，比较基础．
16．（2015?
锦州二模）已知下列表格所示的数据的回归直线方程为
，则a的值为 ．
x
2
3
4
5
6
y
251
254
257
262
266
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题．
【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程，即可求出a．
【解答】解：
由表格可知，样本中心横坐标为：
=4，
纵坐标为：
=258．
由回归直线经过样本中心点，
所以：
258=×4+a，
a=．
故答案为：
．
【点评】本题考查的知识点是线性回归直线方程，其中样本中心点在回归直线上，满足线性回归方程．是解答此类问题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．（2015春?
兰州期中）一个单位有职工160人，其中业务员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法写出抽取样本的过程．
【考点】分层抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：
∵样本容量与职工总人数的比为20：
160=1：
8，
∴业务员，管理人员，后勤服务人员抽取的个数分别为
，
即分别抽取15人，2人和3人．
每一层抽取时，可以采用简单随机抽样或系统抽样，
再将各层抽取的个体合在一起，就是要抽取的样本．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．
18．（2014?
泉州模拟）已知向量
=（2，1），
=（x，y）
（Ⅰ）若x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}，求向量
⊥
的概率；
（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域Ω：
，求二元数组（x，y）满足x2+y2≥1的概率．
【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）本问为古典概型，需列出所有的基本事件，以及满足向量
⊥
的基本事件，再由古典概型的概率计算公式求出即可；
（Ⅱ）本问是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是Ω={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2}，
满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2，x2+y2≥1}，做出两个集合对应的图形的面积，根据几何概型概率公式得到结果．
【解答】解：
（Ⅰ）从x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，﹣1，2}取两个数x，y的基本事件有
（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，2），
（0，﹣2），（0，﹣1），（0，2），
（1，﹣2），（1，﹣1），（1，2），共9种
设“向量
”为事件A
若向量
，则2x+y=0，
∴事件A包含的基本事件有（﹣1，2），（1，2），共2种
∴所求事件的概率为
；
（Ⅱ）二元数组（x，y）构成区域Ω={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2}，
设“二元数组（x，y）满足x2+y2≥1”为事件B，
则事件B={（x，y）|﹣1＜x＜1，﹣2＜y＜2，x2+y2≥1}，
如图所示，
∴所求事件的概率为
．
【点评】本题主要考查古典概型以及几何概型，对于古典概型的问题，一般要列出所有的事件，以及所求事件包含的事件，再由古典概型计算公式即可得到结果．对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．
19．（2015?
武汉校级模拟）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：
克）数据如下：
甲种作物的产量数据：
111，111，122，107，113，114
乙种作物的产量数据：
109，110，124，108，112，115
（1）计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定；
（2）作出两组数据的茎叶图．
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】概率与统计．
【分析】
（1）计算甲、乙组数据的平均数与方差，比较得出结论；
（2）画出两组数据的茎叶图即可．
【解答】解：
（1）甲组数据的平均数是
=
×（122+111+111+113+114+107）=113，
乙组数据的平均数是
=
×（124
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