运筹学第3章运输问题数学模型及其解法.docx

运筹学第3章运输问题数学模型及其解法.docx

《运筹学第3章运输问题数学模型及其解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运筹学第3章运输问题数学模型及其解法.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

运筹学第3章运输问题数学模型及其解法

幻灯片1

第三章运输问题

—数学模型及其解法

顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。

假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。

君子生非异也，善假于物也。

荀子《劝学》

幻灯片2

运输问题的一般数学模型

●有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资

●令a1,a2,…,am表示各产地产量，b1,b2,…,bn表示各销地的销量，ai=bj称为产销平衡

●设xij表示产地i运往销地j的物资量，wij表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：

运输问题有m´n个决策变量，m+n个约束条件。

由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问题的基变量只有m+n–1个

幻灯片3

运输问题的求解方法

●约束条件非常有规律，技术系数非0即1

●基变量的个数远小于决策变量的个数

●采用表上作业法，称为位势法和踏石法

●运算中涉及两个表：

运费表和产销平衡表（分配表）

幻灯片4

寻找初始可行解的方法

●1、西北角法

●从x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配

xij的分配公式

例

幻灯片5

例西北角法

幻灯片6

2、最低费用法

●采用最小费用优先分配的原则，看一步

f（x）=121，比

西北角法低

84

幻灯片7

3、运费差额法

●采用最大差额费用（即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大）优先分配的原则，看两步

f（x）=98，比

最低费用法

又低了23

幻灯片8

利用位势法检验分配方案是否最优

●不采用单纯型法，如何获得xij的检验数

●找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原问题的解不是最优解；否则，达到最优解

幻灯片9

幻灯片10

位势法的原理

●为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij³0，则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0

●共有m+n-1个基变量xij，因此可得m+n-1个等式ui+vj=wij

●m+n-1个等式只能解出m+n-1个ui和vj，而一共有m+n个ui和vj，但可令任一个ui或vj=0，从而解出其它m+n-1个的值；这就是位势法

●令zij=ui+vj，其相当原问题xij的机会费用

●若对所有非基变量有zij-wij£0，即ui+vj£wij，表明当前ui和vj是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前m+n-1个基变量xij是最优解，否则

●从zij-wij>0中找最大者，对应xij就是入变量

幻灯片11

踏石法

●1、找入变量

●从zij-wij>0中找最大者，对应xij就是入变量

●2、以xij为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路

●该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量（包括xij），且回路中每行每列只有两个变量

●3、求入变量xij的最大值及新基变量的解

●从xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“-”和“+”，表示“-”和“+”xij，从而迭代后仍满足分配的平衡

●标有“-”的变量中最小者就是出变量xij*，对应xij*的值就是所求入变量xij的最大值

●标有“-”的变量减去xij*，标有“+”的变量加上xij*

●4、用位势法求新基变量的检验数

若所有zij-wij£0，则达到最优，算法停止；否则返回1

幻灯片12

例踏石法，以最低费用法所得初始解开始

OBJ=121

OBJ=101

答：

最优解如上分配表，OBJ=98

幻灯片13

运输问题迭代中的一些具体问题

●闭合回路的画法

●从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法

●闭合回路不一定是矩形

●产销不平衡

●供过于求，即åai>åbj，增加一个虚收点Dn+1，bn+1=åai-åbj,令wi,n+1=0,i=1,2,…,m

●供小于求，即åai<åbj，增加一个虚发点Wm+1，am+1=åbj-åai,令wm+1,j=0,j=1,2,…,n

●关于退化问题

●1、初始解退化。

即所求初始基变量的个数少于m+n-1。

必须补足基变量的个数，否则不能正常解出m+n个ui和vj

所补基变量的值为0，补充的原则：

（1）尽量先选运费小的实变量；

（2）补充后不能有某个基变量独占一行一列

幻灯片14

关于退化问题

●2、迭代过程中出现退化

●闭合回路中标有“-”的基变量同时有多个达到最小

●变换后，有多个原基变量变为0，选运费最大者为出变量，其余保留在新的基础解中

退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为0的基变量在转移。

此时，一要耐心，二要正确选择出变量

踏石法迭代中需注意的问题：

1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中

2、不能正确画闭合回路

3、初始解退化，未能补足基变量的个数。

因此在位势法中多次令某个ui或vj为0；

4、在位势法中只能令一个ui或vj为0；若不能求出全部ui和vj，说明基变量未选够数或未选对