运筹学第3章运输问题数学模型及其解法.docx
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运筹学第3章运输问题数学模型及其解法
幻灯片1
第三章运输问题
—数学模型及其解法
顺风而呼,声非加疾也,而闻者彰。
假舆马者,非利足也,而致千里;假舟楫者,非能水也,而绝江河。
君子生非异也,善假于物也。
荀子《劝学》
幻灯片2
运输问题的一般数学模型
●有m个产地生产某种物资,有n个地区需要该类物资
●令a1,a2,…,am表示各产地产量,b1,b2,…,bn表示各销地的销量,ai=bj称为产销平衡
●设xij表示产地i运往销地j的物资量,wij表示对应的单位运费,则我们有运输问题的数学模型如下:
运输问题有m´n个决策变量,m+n个约束条件。
由于产销平衡条件,只有m+n–1个相互独立,因此,运输问题的基变量只有m+n–1个
幻灯片3
运输问题的求解方法
●约束条件非常有规律,技术系数非0即1
●基变量的个数远小于决策变量的个数
●采用表上作业法,称为位势法和踏石法
●运算中涉及两个表:
运费表和产销平衡表(分配表)
幻灯片4
寻找初始可行解的方法
●1、西北角法
●从x11开始分配,从西北向东南方向逐个分配
xij的分配公式
例
幻灯片5
例西北角法
幻灯片6
2、最低费用法
●采用最小费用优先分配的原则,看一步
f(x)=121,比
西北角法低
84
幻灯片7
3、运费差额法
●采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大)优先分配的原则,看两步
f(x)=98,比
最低费用法
又低了23
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利用位势法检验分配方案是否最优
●不采用单纯型法,如何获得xij的检验数
●找到原问题的基础可行解,保持互补松弛条件,求出对应对偶问题的解,若该对偶问题的解非可行,则原问题的解不是最优解;否则,达到最优解
幻灯片9
幻灯片10
位势法的原理
●为满足互补松弛条件,原问题中xij被选为基变量,即xij³0,则要求对偶问题中ui+vj=wij,即该行的松弛变量为0
●共有m+n-1个基变量xij,因此可得m+n-1个等式ui+vj=wij
●m+n-1个等式只能解出m+n-1个ui和vj,而一共有m+n个ui和vj,但可令任一个ui或vj=0,从而解出其它m+n-1个的值;这就是位势法
●令zij=ui+vj,其相当原问题xij的机会费用
●若对所有非基变量有zij-wij£0,即ui+vj£wij,表明当前ui和vj是对偶问题的可行解,由互补松弛定理可知当前m+n-1个基变量xij是最优解,否则
●从zij-wij>0中找最大者,对应xij就是入变量
幻灯片11
踏石法
●1、找入变量
●从zij-wij>0中找最大者,对应xij就是入变量
●2、以xij为起点,寻找由原基变量构成的闭合回路
●该回路只在每个拐角各有一个基变量,中间允许穿越某些基变量;因此,闭合回路中必有偶数个变量(包括xij),且回路中每行每列只有两个变量
●3、求入变量xij的最大值及新基变量的解
●从xij出发,沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“-”和“+”,表示“-”和“+”xij,从而迭代后仍满足分配的平衡
●标有“-”的变量中最小者就是出变量xij*,对应xij*的值就是所求入变量xij的最大值
●标有“-”的变量减去xij*,标有“+”的变量加上xij*
●4、用位势法求新基变量的检验数
若所有zij-wij£0,则达到最优,算法停止;否则返回1
幻灯片12
例踏石法,以最低费用法所得初始解开始
OBJ=121
OBJ=101
答:
最优解如上分配表,OBJ=98
幻灯片13
运输问题迭代中的一些具体问题
●闭合回路的画法
●从入变量xij出发,遇到某个基变量则选一个方向拐角,若不能再遇到其它基变量,则返回上一拐角,换一个方向走,采用深探法
●闭合回路不一定是矩形
●产销不平衡
●供过于求,即åai>åbj,增加一个虚收点Dn+1,bn+1=åai-åbj,令wi,n+1=0,i=1,2,…,m
●供小于求,即åai<åbj,增加一个虚发点Wm+1,am+1=åbj-åai,令wm+1,j=0,j=1,2,…,n
●关于退化问题
●1、初始解退化。
即所求初始基变量的个数少于m+n-1。
必须补足基变量的个数,否则不能正常解出m+n个ui和vj
所补基变量的值为0,补充的原则:
(1)尽量先选运费小的实变量;
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
幻灯片14
关于退化问题
●2、迭代过程中出现退化
●闭合回路中标有“-”的基变量同时有多个达到最小
●变换后,有多个原基变量变为0,选运费最大者为出变量,其余保留在新的基础解中
退化较严重时,可能会出现多次迭代只有值为0的基变量在转移。
此时,一要耐心,二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题:
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中
2、不能正确画闭合回路
3、初始解退化,未能补足基变量的个数。
因此在位势法中多次令某个ui或vj为0;
4、在位势法中只能令一个ui或vj为0;若不能求出全部ui和vj,说明基变量未选够数或未选对