届高中数学苏教版 直线与圆锥曲线的位置关系单元测试 Word版 含答案.docx
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届高中数学苏教版直线与圆锥曲线的位置关系单元测试Word版含答案
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考点35直线与圆锥曲线的位置关系
一、解答题
1.（2016·全国卷Ⅱ理科·T20）已知椭圆E:
=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k（k>0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
（1）当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.
（2）当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
【解题指南】
（1）当t=4时,椭圆方程是确定的,又|AM|=|AN|,可利用弦长公式将|AM|,|AN|用k表示出来,从而建立k的方程,解方程可求k,进而可求三角形的面积.
（2）利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,整理可得t和k的关系,利用椭圆的焦点在x轴上这一隐含条件,建立k的不等式,解不等式,可求得取值范围.
【解析】
（1）当t=4时,椭圆E的方程为
=1,A点坐标为（-2,0）,
则直线AM的方程为y=k（x+2）.
联立
并整理得,
（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0,
解得x=-2或x=-
则|AM|=
因为AM⊥AN,
所以|AN|=
=
.
因为|AM|=|AN|,k>0,
所以
整理得（k-1）（4k2+k+4）=0,
4k2+k+4=0无实根,所以k=1.
所以△AMN的面积为
.
（2）直线AM的方程为y=k（x+
）,
联立
并整理得,
（3+tk2）x2+2t
k2x+t2k2-3t=0,
解得x=-
或x=-
所以|AM|=
同理可求|AN|=
因为2|AM|=|AN|,
所以2·
=
整理得,t=
.
因为椭圆E的焦点在x轴,所以t>3,即
>3,
整理得
<0,
解得
2.（2016·全国卷Ⅱ文科·T21）已知A是椭圆E:
=1的左顶点,斜率为k（k>0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
（1）当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.
（2）当2|AM|=|AN|时,证明:
【解题指南】
（1）设出点Μ（x1,y1）的坐标,由已知条件可得点Μ的坐标,进而可得△ΑΜΝ的面积.
（2）利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,得到关于k的方程,利用函数的单调性确定k的取值范围.
【解析】
（1）设Μ（x1,y1）,则由题意知y1>0,
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为
又A（-2,0）,因此直线AM的方程为y=x+2,
将x=y-2代入
=1,得7y2-12y=0.
解得y=0或y=
所以y1=
.
因此△AMN的面积为2×
×
×
=
.
（2）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k>0）,代入
=1,
得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0,
由x1·（-2）=
得x1=-
故|AM|=|x1+2|
=
由题意设直线AN的方程为y=-
（x+2）,
故同理可得|AN|=
由2|AM|=|AN|,得
即4k3-6k2+3k-8=0,
设f（t）=4t3-6t2+3t-8,则k是f（t）的零点,
f'（t）=12t2-12t+3=3（2t-1）2≥0,
所以f（t）在（0,+∞）上单调递增,
又f（
）=15
-26<0,f
（2）=6>0,
因此f（t）在（0,+∞）上有唯一的零点,且零点k在（
2）内,故
3.（2016·山东高考理科·T21）平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
=1
的离心率是
抛物线E:
x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:
点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【解题指南】
（1）由抛物线E:
x2=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b=
再由离心率可求a.
（2）设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,①得以解决;结合三角形相似和基本不等式可解决②.
【解析】
（1）由题意F点的坐标为
所以b=
又e=
所以
易得a2=4b2=1,于是椭圆C的方程为x2+4y2=1.
（2）①设P（2t,2t2）
则直线l的斜率kl=2t,直线l的方程为:
y-2t2=2t（x-2t）,
即y=2tx-2t2,将其与x2+4y2=1联立得,
x2-32t3x+16t4-1=0,
则x1+x2=
y1+y2=2t（x1+x2）-4t2=
.
所以D
所以kOD=-
可得直线OD的方程为:
y=-
由题意,xM=2t,所以yM=
所以点M在定直线y=-
上.
②由图可知,|OG|=2t2,|FG|=2t2+
所以S1=
S△DOG=
.
显然,△DPM与△DGO相似,所以
S2=
.
所以
.
当且仅当8t2+2=16t2+1,即t=
时,取等号.所以
的最大值为
取得最大值时点P的坐标为
.
4.（2016·山东高考文科·T21）
已知椭圆C:
=1（a>b>0）的长轴长为4,焦距为2
.
（1）求椭圆C的方程.
（2）过动点M（0,m）（m>0）的直线交x轴于点N,交C于点A,P（P在第一象限）,且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明
为定值.
②求直线AB的斜率的最小值.
【解题指南】
（1）由长轴长为4,焦距为2
可得a=2,c=
方程易得.
（2）设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k',它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.
【解析】
（1）由题意a=2,c=
所以b2=2,所以椭圆方程为
=1.
（2）①由题意,设P
则Q（p,-2m）,
所以
=-3为定值.
②直线PA的斜率k=
其中0所以k>0.
将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得,
x2+4Kmx+2m2-4=0.
设A
B
直线PA:
y=kx+m,直线QB:
y=-3kx+m,
分别令K=k,K=-3k可得:
x1p=
x2p=
所以,kAB=
（当且仅当k=
时取等号）.
所以,直线AB的斜率的最小值为
.
5.（2016·天津高考理科·T19）（本小题满分14分）
设椭圆
=1（a>
）的右焦点为F,右顶点为A.已知
其中O为原点,e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程.
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
【解题指南】
（1）利用
得出a的值,进而得到椭圆的方程.
（2）设出直线l的点斜式方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系用直线l的斜率k表示出点B的坐标,利用垂直关系设出HM的方程,求出H点的坐标,利用HF⊥FB表示出M点的坐标,由∠MOA≤∠MAO知M点的横坐标大于等于1,解不等式即可.
【解析】
（1）由题意,如图所示:
已知
所以
解得a=2,
所以椭圆方程为:
=1.
（2）由已知,设l斜率为k（k≠0）,方程为y=k（x-2）.
设B（xB,yB）,M（x0,k（x0-2））,x0≥1（∠MOA≤∠MAO）,H（0,yH）,与椭圆的方程联立可得
整理得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0,Δ>0成立
由根与系数的关系得2·xB=
所以xB=
yB=k（xB-2）=
lHM:
y-k（x0-2）=-
（x-x0）,
令x=0,得yH=
x0-2k,
因为HF⊥FB,所以
=（-1,yH）·（xB-1,yB）=0,
即1-xB+yHyB=1-
=0,
所以x0=
≥1,所以8k2≥3,
所以k≥
或k≤-
.
所以直线l的斜率的取值范围为（-∞,
]U[
+∞）
6.（2016·天津高考文科·T19）（本小题满分14分）
设椭圆
=1（a>
）的右焦点为F,右顶点为A,已知
其中O为原点,e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程.
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
【解题指南】
（1）利用
得出a的值,进而得到椭圆的方程.
（2）∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,所以M在OA的中垂线上,所以xM=1,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B点坐标,利用两直线方程组求H,最后根据BF⊥HF,列等量关系解出直线斜率.
【解析】
（1）由题意,如图所示
已知
所以
解得a=2,
所以椭圆方程为:
=1.
（2）设直线l的斜率为k（k≠0）,则直线l的方程为y=k（x-2）,
设B（xB,yB）,由方程组
消去y,
整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=
由题意得xB=
从而yB=
由
（1）知F（1,0）,设H（0,yH）,有
=（-1,yH）,
=
由HF⊥FB,得
=0,所以
=0,
解得yH=
因此直线MH的方程为y=-
设M（xM,yM）,由方程组
消去y,得xM=
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,
即（xM-2）2+
=
+
化简得xM=1,即
=1,
解得k=-
或
所以直线l的斜率为-
或
.
7.（2016·北京高考文科·T19）已知椭圆C:
过A（2,0）,B（0,1）两点.
（1）求椭圆C的方程及离心率.
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:
四边形ABNM的面积为定值.
【解题指南】
（1）把A,B两点代入可求得a,b.
（2）设P（x0,y0）,表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.
【解析】
（1）把A（2,0）,B（0,1）分别代入椭圆方程得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为
+y2=1.
因为c=
=
所以离心率e=
=
.
（2）设P（x0,y0）,其中x0<0,y0<0.
则直线AP方程为y=
（x-2）,直线BP方程为y=
x+1.
所以M
N
.
所以|AN|=2+
|BM|=
+1.
所以四边形ABNM的面积为S=
|AN||BM|
=
=
=
.
因为点P在椭圆C上,所以
=4-4
.代入上式得
S=
=
=2.
因此,四边形ABNM的面积为定值2.
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