完整版概率论与数理统计试题及答案doc.docx
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完整版概率论与数理统计试题及答案doc
2008－2009学年第1学期
概率论与数理统计（46学时）A
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
1、A、B为两个随机事件，若P（AB）0，则
（A）A、B一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；
（C）AB不一定是不可能事件；（D）P（A）0或P（B）0.
Y
0
1
2
2、二维离散型随机变量（X,Y）的分布律为X
1
1/6
1/3
0
2
1/4
1/6
1/12
F（x,y）为（X,Y）的联合分布函数，则
F（1.5,1.5）等于
（A）1/6；
（B）1/2；
（C）1/3；
（D）1/4.
3、X、Y是两个随机变量，下列结果正确的是
（A）若E（XY）EXEY,则X、Y独立；
（B）若X、Y不独立,则X、Y一定相关；
（C）若X、Y相关,则X、Y一定不独立；
（D）若D（XY）DXDY,则X、Y独立.
4、总体X~
N（,2）,,2均未知，X1,X2,L,Xn为来自X的一个简单样本，
X为样本
均值，S2
为样本方差。
若
的置信度为0.98的置信区间为（XcSn,X
cSn），
则常数c为
（A）
t0.01
（n1）
；
（）
0.01
（n）
；
Bt
（C）
t0.02
（n
1）
；
（）
（n）.
Dt0.02
5、随机变量X1,X2,L,Xn独立且都服从N（2,4）
__
1
n
分布，则X
Xi服从
ni
1
（A）N（0,1）；
（B）N（2,4n）；
（C）N（2n,4n）；
（D）N（2,4）.
n
二、填空题（本大题共
5小题，每小题
3分，共15分）。
6、已知A、B为两个随机事件，若P（A）
0.6,P（AB）0.1,则P（A|AB）=1.
7、已知随机变量X服从区间（0,2）上的均匀分布，则
E（2X）=（
）.
8、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f（x）
2x,0x1，则概率P（|X|12）=
0,其它
（）.
9、随机变量X:
b（3,
1
）,Y:
b（3,
2
）,且X,Y独立，则D（XY）=（
）.
3
3
10、已知随机变量Xi,i
1,2,3相互独立，且都服从N（0,9）分布，若随机变量
Ya（X12
X22
X32）:
2（3）
，则常数a=（
）.
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、已知一批产品中有95%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率为0.04，一个次品被判为合格品的概率为0.02，从这批产品中任取一个产品，求其被判为合格品的概率。
12、已知离散型随机变量X的分布律为
X
-1
0
1
1
1
P
2a
4
a
4
（1）求常数a；
（2）求X的分布函数F（x）.
13、设连续型随机变量X的分布函数为：
F（x）
1
ex，x
0
2
Aex,x
B
0
（1）求常数A,B；
（2）求X的概率密度函数f（x）.
14、二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度函数为f（x,y）
a,
0x1,|y|x，
0,
其它
（1）求常数a；
（2）求概率P（X2
Y）.
15、某种清漆的干燥时间（单位：
小时）
X:
N（8,2）,0，且由以往观测的
数据可知，此种清漆的干燥时间在
8
至10小时之间的概率为
0.2881，已知
（0.8）
0.7881，
（1）求
的值；
（2）求此种清漆的干燥时间不超过
6
小时的概率。
x
x2
16、总体X的概率密度函数为f（x）
e2,x
0，其中
0是未知参数，
0,其它
X1,X2,L,Xn是来自X的一个简单样本，求
的最大似然估计量.
四、解答题（本大题共
1个小题，5分）。
17、已知连续型随机变量X的概率密度函数为
ex,x
0
f（x）
，若随机变量
0,其它
1,
X
1
Y0,
1X
2
求EY.
1,
X
2
五、证明题（本大题共
1个小题，5分）。
18、随机变量X,Y都服从（0-1）
0
1
分布，即X的分布律为
Y的分布律为
1p1
p1
0
1
p1,p2
1.证明：
X、Y不相关是X、Y独立的充要条件。
1p2
其中0
p2
2009－2010学年第1学期
概率论与数理统计A卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
1、抛两颗均匀骰子，若已知两骰子出现的点数和为5，则其中有一颗骰子出现的点数
是3的概率为
（A）1/9；
（B）1/2；
（C）1/18；
（D）1/4.
2、事件A、B独立，且P（B）
0
，则下列命题不正确的是
__
（B）
__
__
独立；（C）
__
__
__
（A）、独立；
、
P（A|B）P（A）
；（）
AB
AB
D
P（A|B）P（B）.
3、设随机变量X的分布函数为F（x），则P（Xa）等于
（A）
F（a）
；
（B）
_
；
（）；
（）
_
F（a）
C0
DF（a）F（a）.
4、随机变量X、Y相互独立，且X:
N（1,1），Y:
N（3,2），则D（3XY2）等于
（A）3；（B）7；（C）11；（D）14.
5、设总体
X:
N（0,1）
，
，，，
a（X1
X2）
，
X1
X2
X3
X4是来自X
的一个简单样本，若
X32
:
t
（2）
X42
则常数a是
（A）1；
（B）
2
；
（C）1/2
；
（D）12
.
二、填空题（本大题共
5小题，每小题3分，共15分）。
X
1
0
1
2
2X
1）=
6、已知离散型随机变量X的分布律为
0.2
0.3
0.1
，则概率P（
P
0.4
（
）
7、若二维随机变量（X,Y）服从区域{（x,y）:
0
x
1,0
y
2}上的均匀分布，则（X,Y）的
联合密度函数f（x,y）=（
）
8、X、Y为两个随机变量，且3X
Y1，则
XY
（
）
9、一系统由100个独立工作的部件构成，各个部件损坏的概率都为0.1，已知必须有
87个以上的部件完好，才能使整个系统正常工作。
由中心极限定理，整个系统
不能
正常工作的概率近似为（
）.（已知
（1）0.8413）.
10、已知某木材横纹抗压力X:
N（,
2）（单位：
公斤/平方厘米），现随机抽取X的
_
一个容量为9的样本，测得样本均值x457.5，样本标准差s
30.3，则
的置信
度为
0.95的置信区间为（
）（已知t0.025（8）2.31
，t0.025（9）
2.26，
t0.05（8）
1.86）.
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、某工厂有三种机床：
钻床、磨床和刨床，它们的台数之比为5：
3：
2，它们在一定的期限内需要修理的概率分别为0.1，0.2，0.3.期限到后，随机抽检一台机床，发现其需要修理，求这台机床为钻床的概率。
ax2,0x1
12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为f（x）2x,
1x2，
0,
其它
（1）求常数a；
（2）求概率P（12X32）.
0,
x
0
13、已知连续型随机变量
X的分布函数为
F（x）
，
0x
1/9
，
Ax
B,
x
1/9
（1）求常数A,B；
（2）求概率P（0X116）
；（3）求X的概率密度函数f（x）.
14、已知二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为
6xy,0
y1,y2
x1
，
f（x,y）
0,
其它
（1）求概率P（XY）；
（2）求出边缘密度函数fX（x）,fY（y），并判断X,Y是否相互独立。
15、已知二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
Y
-1
0
1
2
X
-1
0.1
0.05
0.05
0.1
0
0.1
0.15
0
0.05
1
0.05
0.05
0.15
0.15
（1）分别求出（X,Y）关于X、Y的边缘分布律；
（2）求Cov（X,Y）.
16、已知总体X的概率密度函数f（x）
e（x5）,
x
5，其中
0是未知参数，
0,
x
5
X1,X2,L,Xn是来自总体X的一个简单样本,求
的最大似然估计量.
n
对数似然函数
ln[L（）]
nln
（xi5）......................................
（5'）
i
1
令dln[L（）]
n
n
0
（xi
5）
0..................................................
（8'）
d
i1
的最大似然估计量
^
n
...................................................
（10'）
n
（Xi
5）
i1
四、解答题（本大题共
1个小题，5分）.
17、过点（0,b）随机作一条直线，Y表示坐标原点到所作直线的距离，求EY.
五、证明题（本大题共1个小题，5分）。
18、X为连续型随机变量，随机变量YeX,0,若EY存在，证明：
对任何实数a，
都有P（Xa）eaE（eX）.
2011－2012学年第1学期
概率论与数理统计A卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.
1.
设A,B为两个随机事件，其中0
P（B）
1，若P（A|B）=P（A|B）,则必有
（A）事件A
B；
（B）事件A,B互不相容；
（C）事件B
A；
（D）事件A,B相互独立.
0,
x
0
2.
设随机变量X的分布函数为F（x）
12,
0
x
1
1）等于
23,
1
x
，则P（X
3
1,
x
3
（A）2/3；
（B）1/2；
（C）1/6；
（D）0.
3.
设X服从区间（0,5）上的均匀分布，则关于t的一元二次方程4t2
4Xt
X20有
实根的概率为
（A）0.6；
（B）0.4；
（C）0；
（D）1.
4.
随机变量X和Y独立同分布，方差存在且不为
0.记UX
Y,
VX
Y,则
（A）
U和V一定不独立；
（B）
U和V一定独立；
（C）
U和V一定不相关；
（D）
以上选项都不对.
5.总体X的分布为N（0,1），X1,L,X5为取自X的简单样本，则下列选项不正确的是
（A）
2X1
~t（4）
；
（B）
2X12
X22
X32
~F（2,3）；
X22
LX52
3X42
X52
（C）
X1L
X5~N（0,1）
；
（D）
X12
（X2
X3）2
~
2
（2）.
5
2
二、填空题（本大题共
5小题，每小题
3分，共15分）.
6．设A,B为随机事件，P（A）0.5,P（A
B）
0.2
，则P（AB）=（
）.
0,
x
1
7.设连续型随机变量X的分布函数为F（x）
k（arcsinx
2）,
1
x
1，则常数k=
1,
x
1
（
）.
8．已知X,Y相互独立,DX
4,DY1,则D（2X
Y）=（
）.
9．随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数，从抽取的样本算得样本均
值x25.5，样本标准差s2.4.设香烟中尼古丁含量的分布是正态的，则总体均值
的置信度为95%的置信区间为（
）．
（已知t0.025（16）2.1199，t0.025（15）
2.1315，t0.05（15）
1.7531）
10．某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险，每辆每年的保费为50元．若
车丢失，则得赔偿车主1000元．假设车的丢失率为125.由中心极限定理，保险公司这年亏损的概率为（）．（已知（1.25）0.8944,（2.5）0.9938）
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）.
11．某商店购进甲厂生产的产品20箱,乙厂生产的同种产品15箱,
有一等品74个，二等品6个；乙厂每箱装有一等品95个，二等品
其中甲厂每箱装
5个.从这35箱中
任取一箱,从中任取一个，
（1）求取到二等品的概率；
（2）若取到二等品，问这个二等品来自甲厂的概率．
12．设随机变量X的概率密度函数为f（x）
axb,0
x1
且P（X
12）18，求：
（1）
0,
其它
常数a,b;
（2）设Ye2X，求Y的概率密度函数fY（y）.
13.二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为：
4x2,0
x1,0yx
f（x,y）
0,
其它
2
求：
（1）P（YX）；
（2）（X,Y）关于X的边缘密度函数fX（x）；
14.设随机变量Y在区间（0,3）上服从均匀分布，随机变量
Xk
0,
Y
k
1,
Y
k1,2.
k
求：
（1）（X1,X2）的联合分布律；
（2）（X1,X2）的相关系数X1X2.
15.据以往经验，某种能力测试的得分服从正态分布N（62,25），随机抽取9个学生参
与这一测试，他们的得分记为
1
9
62|2）；
（2）
X1,L,X9，设X
Xi.
（1）求P（|X
9
i
1
若得分超过70分就能得奖，求至少一个人得奖的概率
.（结果用标准正态分布的分布函
数（）表示）
16．设总体X的概率密度函数为
x
f（x）=
1e,x0
，
其它
0
其中（
0）是未知参数.设
X1,L,Xn
为该总体的一个容量为
n
的简单样本（）求
.1
的最大似然估计量$；
（2）判断$是否为
的无偏估计量.
四、解答题（本大题共1个小题，5分）.
17．设随机变量X在区间[-,]上服从均匀分布，求E[min（|X|,1）].
五、应用题（本大题共1个小题，5分）.
18.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二
次故障所获利润0万元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求这部机器在一
周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）.
2008－2009学年第1学期
概率论与数理统计（46学时）A卷评分标准
一、单项选择题
1（C）2（B）3（C）4（A
）5（D
）
二、填空题（本大题共
5小题，每小题
3分，共15分）。
6、1.7、2.
8、14.
9、4.
10、19.
3
三、解答题（本大题共
6小题，每小题
10分，共60分）。
11、解：
A1:
取到合格品；A2
:
取到次品；B:
被判为合格品。
P（B）P（B|A1）P（A1）
P（B|A2）P（A2）....................................
（5'）
（1
0.04）
95%
0.02
5%........................................................
（9'）
0.913...........................................
...............................................
（10'）
12、解:
（1）由分布律的性质可得
2a
1
（a
1）
1............................................
（4'）
4
4
a
1......................................................................................
（5'）
6
（2）由
（1）知X的分布律为
X
-1
0
1
1
1
5
P
3
4
12
......................................................................
（6'）
由分布函数的定义可得
0,
x
1
1,
1
x
0
F（x）
P（Xx）
3
（10'）
7
...........................................
x
1
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