河北省中考数学总复习第一编教材知识《43等腰三角形与直角三角形》精讲与精炼试题含答案.docx
《河北省中考数学总复习第一编教材知识《43等腰三角形与直角三角形》精讲与精炼试题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省中考数学总复习第一编教材知识《43等腰三角形与直角三角形》精讲与精炼试题含答案.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
河北省中考数学总复习第一编教材知识《43等腰三角形与直角三角形》精讲与精炼试题含答案
第三节 等腰三角形与直角三角形
河北五年中考命题规律
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
25
（1）
（2）
直角三角形的性质
以动点、平行四边形为背景
，考查勾股定理
8
8
2016
16
等边三角形的
判定
已知特殊角平分线上一定点，在角两边找两点与定点构成等边三角形
2
2
2015
20
等腰三角形的性质
以等腰三角形为背景，求角度
3
3
2014年未考查
2013
13
等边三角形的性质
以两个等边三角形与正方形结合为背
景，求两角度之和
3
3
命题规律
对于本课时内容，中考中一般设置1道题，分值为2～8分
，题型涉及选择和解答题．纵观近五年河北中考试题，本课时的常考类型有：
（1）等边三角形的相关计算；
（2）直角三角形的相关计算；（3）找符合条件的等边三角形.
河北五年中考真题及模拟
等腰三角形的性质和相关计算
1．（2016河北中考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ D ）
A．1个B．2个
C．3个D．3个以上
（第1题图）
（第2题图）
2．（2013河北中考）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝（ B ）
A．90°B．100°C．130°D．180°
3．（2016秦皇岛二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ C ）
A．4cmB．3cm
C．2cmD．1cm
（第3题图）
（第4题图）
直角三角形的性质、判定及相关计算
4．（2017保定中考模拟）已知：
如图，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中线段DF的长与DB相等．将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转．
甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论．
甲：
线段AF与线段CD的长度总相等；
乙：
直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变；
那么，你认为（ A ）
A．甲、乙都对B．乙对甲不对
C．甲对乙不对D．甲、乙都不对
5．（2016廊坊二模）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ B ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5
C．2，3，4D．1，
，3
6．（2017唐山模拟）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，
且BE⊥AC.若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为（ C ）
A．10B．11
C．12D．13
（第6题图）
（第7题图）
7．（2017石家庄中考模拟）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝
，M是边BC上的一个动点，连接AM，P为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长（ D ）
A．1＋
B．1－
C.
＋
D.
8．（2016保定育德中学二模）一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ D ）
A．5B.
C.
D．5或
9．（2017石家庄中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点M是直角边AC上的一个动点，连接BM，并将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接CN.则在点M运动过程中，线段CN长度的最大值是__4__，最小值是__2__．
中考考点清单
等腰三角形的性质与判定
1．等腰三角形
定义
有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底
性质
（1）等腰三角形两腰相等（即AB＝AC）；
（2）等腰三角形的两底角__相等__（即∠B＝__∠C__）；
（3）等腰（不是等边）三角形是轴对称图形，有一条对称轴；
（4）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；
（5）面积：
S△ABC＝
BC·AD
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等（简称“__等角对等边__”）
2.等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
性质
（1）等边三角形三边相等（即AB＝BC＝AC）；
（2）等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__（即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__）；
（3）等边三角形内、外心重合；
（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
（5）面积：
S△ABC＝
BC·AD
判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
直角三角形的性质与判定
3．直角三角形
定义
有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
性质
（1）直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；
（2）直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半（即BD＝
AC）；
（3）直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半（即AB＝
AC）；
（4）勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；
（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
判定
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（2）一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
（3）有两个角互余的三角形是直角三角形
4.等腰直角三角形
定义
顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
性质
等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°
判定
（1）用定义判定；
（2）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
中考重难点突破
等腰三角形的相关计算
【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝________.
【解析】由垂直平分线可得∠AED＝90°，在Rt△ADE中由两锐角互余可求∠A，在等腰三角形中由两底角相等，即可求得．在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：
【答案】70°或20°
1．（2017天津中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是（ B ）
A．BCB．CEC．ADD．AC
（第1题图）
（第2题图）
2．（2017滨州中
考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ B ）
A．40°B．36°C．80°D．25°
等腰三角形、等边三角形的性质与判定
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝________cm.
【解析】如图，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝
BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，从而求出DN的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN的长，进而求BM，BC的值．
【答案】8
3．（2017台州中考）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ C ）
A．AE＝ECB．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE
（第3题图）
（第4题图）
4．（2017南充中考）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ D ）
A．（1，1）B．（
，1）
C．（
，
）D．（1，
）
5．（2017张家口中考模拟）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，E，M在BC上，则∠EAM等于（ B ）
A．58°B．32°C．36°D．34°
（第5题图）
（第6题图）
6．已知：
如图，在△ABC中，∠BCD＝12°，∠B＝63°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则∠ACD＝__75°__．
【例3】已知：
如图，在△ABC中，AD既是△ABC的中线，又是角平分线，求证：
△ABC是等腰三角形．
【解析】由已知条件入手，添加辅助线，构造全
等三角形，依据三角形全等的判定之一“边角边”证明两个三角形全等，从而得出结论．
【答案】证明：
延长AD到A′，使A′D＝AD，连接A′B.
∵AD是△ABC的中线和角平分线，
∴AD平分∠BAC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ADC和△A′DB中，
∴△ADC≌△A′DB，
∴AC＝A′B，∠DAC＝∠DA′B.
∵∠DAB＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠DA′B，
∴BA＝BA′.
∵AC＝A′B，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与DC不平行，∠C＝90°，E为CD中点，∠FAE＝∠DAE，点F在直线BC上，求∠AEF的度数．
解：
延长AE交BC的延长线于点G.
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
△DAE＝∠G.
∵E为DC中点，
∴DE＝CE，
∴∠ADE≌△GCE，
∴AE＝GE.
∵∠FAE＝∠DAE，
∴∠FAE＝∠G，
∴FA＝FG，
∴∠AEF＝90°.
直角三角形的性质、判定和勾股定理
【例4】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，连接EM，FM，给出以下五个结论：
①AF＝CE；②AE＝BF；③△EFM是等腰直角三角形；④S四边形AEMF＝
S△ABC；⑤EF＝BM＝MC.当点D在BC上运动时（点D不与B，C重合），上述结论中始终正确的有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【解析】连接AM，易证AE＝DF＝BF，AF＝DE＝CE，△AME≌△BMF，∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF，∴△EMF是等腰直角三角形．S四边形AEMF＝S△AFM＋S△AEM＝S△AFM＋S△BFM＝S△ABM＝
S△ABC，但是EF与BM不一定相等，只有四边形AFME为矩形时，EF＝BM.
【答案】C
8．（
株洲中考）如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有（ D ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2017苏州中考）如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在
码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则
＝__
__．（结果保留根号）
10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝5
，
升级会员 