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大纲内容

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一、复数与复变函数（10学时）

复变函数是建立在复数域上的理论。

本部分内容是对中学学习的复数内容进行复习与补充，关于平面点集的概念与数学分析相应的内容类似。

本部分内容主要是为本课程引入必要的预备基础知识。

1、主要内容

复数及代数运算，共轭复数、复数的几何表示、模、辐角，复数域、复平面；扩充复平面、复球面、无穷远点；复平面上点集的基本概念（邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、开集、闭集、有界集），区域、闭域；复平面上的曲线及有关概念，Jordan定理；复变函数的概念；复变函数的极限，连续性，有界闭集上连续函数的性质。

2、目的和要求

（1）理解复数及复数的模、辐角等相关概念；熟练掌握复数的几何表示、三角表示、指数表示方法；熟练掌握各种形式下复数的运算；

（2）了解扩充复平面、复球面，掌握无穷远点的定义及性质；

（3）了解复平面上点集的基本概念；掌握区域、闭域等相关概念；

（4）了解复平面上曲线的相关概念（连续曲线、简单曲线、逐段光滑曲线及曲线的长度）；了解Jordan定理（定理的证明不做要求）；掌握复平面上曲线的参数方程表示方法；

（5）理解复变函数的定义及相关概念；

（6）掌握复变函数的极限及连续性，了解有界闭集上连续函数的性质。

二、解析函数（8学时）

解析函数是复变函数论研究的主要对象。

本部分内容主要介绍解析函数的概念、基本性质及解析的条件，重点是解析函数的C-R条件，难点是多值函数。

a）1、主要内容

复变函数的导数、微分及其基本性质；解析性的概念，C-R条件，解析的第一个充要条件；初等解析函数（幂函数

、指数函数

、三角函数

）；支点、支割线，初等多值函数（根式函数

、对数函数

、反三角函数、一般幂函数、一般指数函数）简介。

b）2、目的和要求

（1）理解复变函数导数与微分的概念，熟练掌握导数与微分的运算法则及基本性质；

（2）理解解析函数的概念，熟练掌握C-R条件、解析的充要条件，并能用于判定函数的解析性及计算导数；

（3）理解并掌握初等解析函数的定义及其基本性质，尤其要熟悉与实变量中相应函数不同的性质；

（4）了解多值函数及其支点、支割线的概念；了解初等多值函数及其简单性质。

三、复积分（8学时）

复变函数积分是研究解析函数的重要工具。

解析函数的许多重要性质都要用积分来证明，Cauchy积分定理和Cauchy积分公式是复变函数论的基本定理和基本公式。

本部分内容的重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式，难点是Cauchy积分定理的证明。

c）1、主要内容

复变函数积分的定义，与曲线积分的关系，连续函数的可积性；复积分的性质；复积分的计算（参数方程表示的曲线）；Cauchy积分定理及其推广，积分与路径的无关性，原函数与不定积分；Cauchy积分公式，平均值公式；解析函数的无穷次可微性及解析的第二个充要条件；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定理与解析的第三个充要条件。

d）2、目的和要求

（1）正确理解复变函数积分的定义，掌握复积分与曲线积分的关系，熟悉连续函数的可积性；

（2）掌握复积分的性质；熟练掌握参数方程下复积分的计算；

（3）熟练掌握Cauchy积分定理及其推广（此处各定理的证明不做要求）并能应用于积分的计算；

（4）掌握积分与路径的无关性并能用于复积分的计算；

（5）熟练掌握Cauchy积分公式及相关定理和结论，掌握Morera定理及解析函数的充要条件；能应用这些定理证明相关问题。

四、解析函数的幂级数表示（10学时）

级数是解析函数的基本理论之一，是研究解析函数的重要工具。

本部分内容讲述解析函数的幂级数表示法，并由此得出解析函数的一些重要性质，重点是幂级数表示的解析函数的特性、唯一性定理和最大模原理。

对于与数学分析中相平行的结论可只作简单介绍。

e）1、主要内容

复数项级数及基本性质；复函数项级数的一致收敛性及和函数的连续性、解析性（Weierstrass定理）；幂级数的收敛特性，收敛半径与收敛圆，和函数的解析性；Taylor定理，解析的第四个充要条件；一些初等函数的幂级数展开式（

），将解析函数展开为幂级数（间接法）；解析函数零点的级，零点的孤立性，唯一性定理、最大模原理。

f）2、目的和要求

（1）了解复数项级数及其基本性质，掌握复函数项级数的一致收敛性，和函数的连续性、解析性；

（2）会求幂级数的收敛半径和收敛圆，熟练掌握幂级数的收敛特性，和函数的解析性；

（3）掌握Taylor定理，解析的第四个充要条件；

（4）熟练掌握一些初等函数的Taylor展开式，能够求一些解析函数的Taylor展开式；

（5）掌握解析函数在零点的表示及零点的孤立性，熟练掌握唯一性定理和最大模原理，并能够用于证明一些相关问题。

五、解析函数的Laurent展开式（8学时）

孤立奇点是解析函数奇点中最简单最重要的一类，Laurent级数是研究解析函数在孤立奇点附近性质的重要工具。

本部分内容的重点是解析函数的Laurent展式以及解析函数在孤立奇点附近的特性，难点是解析函数在本性奇点及无穷远点的特性。

g）1、主要内容

双边幂级数；Laurent定理，Laurent级数及其与幂级数的关系；解析函数在孤立奇点的Laurent展开式；解析函数在三类孤立奇点（可去奇点、极点、本性奇点）附近的性质，解析函数在无穷远点的性质；整函数与亚纯函数。

h）2、目的和要求

（1）了解双边幂级数及其简单性质；

（2）熟练掌握Laurent定理、Laurent级数及与Taylor级数的关系，会求解析函数的Laurent展开式；

（3）正确理解解析函数奇点、孤立奇点的概念，掌握孤立奇点的分类；

（4）熟练掌握解析函数在可去奇点的特性，掌握Schwarz引理；

（5）熟练掌握解析函数极点的特性；

（6）了解解析函数在本性奇点附近的特性；

（7）熟练掌握解析函数在无穷远点的性质，会求解析函数在无穷远点的Laurent展开式；

（8）了解整函数与亚纯函数。

六、残数（10学时）

残数又称留数，其理论在复变函数论本身及其实际应用中都是很重要的，它和计算围线积分（或归结为围线积分的实积分）的问题有密切联系。

此外，应用残数理论还可以考查区域内解析函数零点的分布状况。

本部分内容的重点是残数定理和辐角原理，难点是残数定理的应用。

i）1、主要内容

残数的定义，残数定理，残数的计算；利用残数计算实积分；对数残数，辐角原理，Rouché定理,解析函数在区域内零点个数的估计。

j）2、目的和要求

（1）正确理解残数的定义，掌握残数定理，熟练掌握残数的计算（包括无穷远点处残数的计算）；

（2）熟练掌握用残数计算实积分（

，

型，

型）的方法；

（3）理解对数残数的定义，掌握对数残数与零点和极点个数的关系；

（4）熟练掌握Rouché定理、辐角原理并能够用于估计解析函数在区域内零点的个数。

七、保形变换（10学时）

保形变换是复变函数论几何理论的基础，是复变函数论的重要内容之一。

用变换的观点考察解析函数（又称解析变换）可以得到解析函数的许多重要性质。

这种方法在流体力学、弹性力学、电学等学科中有许多实际应用。

本部分内容的重点是单叶解析变换的保形性及线性变换，难点是Riemann存在性定理和边界对应定理。

k）1、主要内容

单叶函数、保角变换、保形变换的概念；解析变换的保域性，保角性，单叶解析变换的保形性；线性变换及其应用；某些初等解析函数所构成的变换（幂函数与根式函数、指数函数与对数函数、由圆弧构成的两角形区域）；Riemann存在性定理，边界对应定理。

l）2、目的和要求

（1）正确理解单叶函数、保角变换、保形变换等概念；掌握解析变换的保域性、保角性，单叶变换的保形性。

（2）熟练掌握分式线性变换及其应用；

（3）熟练掌握某些初等解析函数所构成的变换的特性；

（4）能够根据所给变换区域的特征求出所对应的变换；

（5）了解Riemann存在定理及边界对应定理。

*八、解析开拓（6学时）

解析开拓是研究解析函数的重要方法和工具，它是研究函数解析区域扩大问题。

1、主要内容

解析开拓的概念，解析开拓原理；解析开拓的幂级数方法；透弧直接解析开拓（Painlevé连续开拓原理），Riemann-Schwarz对称原理及在保形变换中的应用，对称原理的一般形式；完全解析函数的概念，单值性定理，Riemann面。

2、目的和要求

（1）了解解析开拓及有关概念；

（2）了解解析开拓原理，掌握解析开拓的幂级数方法；

（3）了解解析开拓的一般原理和方法；

（4）了解完全解析函数概念和单值性定理；

（5）了解Riemann面的概念。

注：

本部分为机动和选讲内容，只作知识性介绍。

*九、调和函数（2学时）

调和函数是一类具有重要特性的函数，由于解析函数的实部和虚部都是调和函数，我们可以借助解析函数研究调和函数。

2.1、主要内容

Laplace方程及调和函数的概念；解析函数与调和函数的关系；平均值定理与极值原理；Poisson积分公式与Dirichlet问题。

3.2、目的和要求

（1）了解Laplace方程及调和函数的概念；掌握解析函数与调和函数的关系；

（2）了解平均值定理与极值原理；

（3）了解Poisson公式与Dirichlet问题；

注：

本部分为机动和选讲内容，只作知识性介绍。

考核要求

本课程为考试课程，考试方式为闭卷。

主要通过期末、期中考试并结合平时作业进行成绩考核。

试题范围以本大纲规定内容为准，其中理解和熟练掌握部分占80%,熟悉和掌握部分占20%，了解部分一般不作考核要求。

《概率论与数理统计》课程教学大纲

大纲内容

一、随机事件与概率（12学时）

1、主要内容

随机事件，古典概型概率的计算方法，概率的性质，条件概率的概念以及乘法定理，全概率公式和贝叶斯公式，独立性，贝努力概型，概率的公理化定义。

重点：

古典概型概率的计算，概率的性质及运用，条件概率和乘法定理，全概率公式，事件的独立性，贝努里定理。

难点：

条件概率和乘法定理，全概率公式。

2、目的和要求

4.

（1）理解随机事件（基本事件、复杂事件）、样本空间等概念。

5.

（2）掌握事件的运算，并能推导出一些事件运算的恒等式。

6.（3）理解概率的实际含义，了解概率与频率之间的关系，概率的统计定义。

7.（4）掌握古典概型的特征，熟练掌握古典概型概率的计算方法。

8.（5）理解概率的公理化定义。

9.（6）熟练掌握概率的性质（概率的加法公式、对立事件概率之间的关系等），掌握几何概率的计算方法。

10.（7）理解条件概率的概念，熟练掌握乘法公式。

11.（8）掌握全概率公式和贝叶斯公式。

12.（9）掌握独立性的概念及利用事件之间的独立性计算事件的概率。

13.（10）掌握贝努里概型及贝努里定理。

二、随机变量及其分布（12学时）

1、主要内容

一维离散型随机变量的概念、分布列，分布函数、密度函数的性质，数学期望的定义及性质，方差的定义及性质。

几种重要的离散型随机变量及其分布：

二点分布、几何分布、超几何分布、二项分布、普阿松分布。

连续型随机变量、分布函数以及密度函数的定义，分布函数和密度函数的性质，几种重要的连续型随机变量及其分布：

正态分布、均匀分布、指数分布。

重点：

一维离散型随机变量概念，分布列的概念及其性质；分布函数的定义和性质，密度函数的定义和性质，随机变量的数字特征，分布的其他特征数。

2、目的和要求

（1）熟练掌握一维离散型随机变量的概念及其分布的概念和性质。

（2）掌握几种重要的离散型随机变量及其分布：

二点分布、几何分布、二项分布、普阿松分布。

（3）了解普阿松定理。

（4）熟练掌握随机变量及分布函数的定义。

（5）熟练掌握分布函数的性质。

（6）熟练掌握连续型随机变量及密度函数的定义，密度函数的性质。

（7）掌握三个重要的连续型随机变量及其分布：

均匀分布、指数分布、正态分布。

（8）掌握K阶矩、K阶中心矩的定义及求解方法。

（9）了解分布的其他特征数（变异系数、分位数、中位数、偏位系数、峰位系数）。

三、多维随机变量及其分布（12学时）

1、主要内容

多维随机变量，联合分布函数及其性质，联合分布列，联合密度函数，常用多维分布；边际分布函数，边际密度函数，边际分布列，随机变量独立的定义以及判别方法，数学期望的定义及性质，方差的定义及性质；多维随机变量函数的分布，多维随机变量的数字特征：

数学期望与方差及其性质，协方差、相关系数、随机向量的数学期望与协方阵。

重点：

联合分布函数的定义和性质，联合密度函数的定义和性质，随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数及性质。

难点：

二维离散型随机变量的联合分布列、边际分布列的概念及其性质；联合分布函数的定义和性质，联合密度函数的定义和性质，随机变量独立的概念及其判别方法。

2、目的和要求

（1）熟练掌握多维离散型随机变量（主要是二维）、联合分布列、边际分布列的概念及其性质。

（2）掌握随机变量独立的概念，掌握判断离散型随机变量独立的方法。

（3）掌握求离散型随机变量函数的分布列的方法。

（4）熟练掌握数学期望的定义及性质。

（5）熟练掌握方差的定义及性质。

（6）熟练掌握多维连续型随机变量及联合分布函数和联合密度函数的定义，联合密度函数、联合分布函数的性质，边际分布函数和边际密度函数的定义。

（7）掌握判断连续型随机变量独立的方法。

（8）掌握求随机变量函数的分布的方法。

（9）掌握数学期望、方差、协方差、相关系数、理解独立与相关系数之间的关系。

（10）了解随机向量的数学期望与协方阵。

四、大数定理与中心极限定理（4学时）

1、主要内容

契贝晓夫不等式，契贝晓夫大数定理，贝努力大数定理，辛钦大数定理，随机变量的两种收敛性，中心极限定理。

重点：

契贝晓夫不等式，随机变量的两种收敛性。

难点：

随机变量的两种收敛性。

2、目的和要求

14.

（1）掌握契贝晓夫不等式。

15.

（2）理解契贝晓夫大数定理，贝努力大数定理，辛钦大数定理。

16.（3）理解随机变量的两种收敛性（依概率收敛和分布函数列的弱收敛）的定义和它们之间的关系。

17.（4）理解中心极限定理：

德莫佛—拉普拉斯极限定理、林德贝尔格—勒维定理、林德贝尔格定理。

五、统计量及其分布的基本概念（6学时）

1、主要内容

总体、个体、样本、经验分布函数、频数频率分布表、统计量等有关概念，样本均值及抽样分布、样本方差及抽样分布、样本方差与样本标准差、样本的k阶矩、样本的k阶中心矩。

统计量及其分布，常用统计量的分布（t—分布，χ2—分布，F—分布）。

重点：

统计量的概念，样本均值及抽样分布、样本方差及抽样分布，常用统计量的分布。

难点：

常用的统计量的分布。

2、目的和要求

18.

（1）掌握总体、个体、样本、统计量等有关概念。

19.

（2）熟练掌握几个常用的统计量：

样本均值及抽样分布、样本方差及抽样分布、样本方差与样本标准差、样本的k阶矩、样本的k阶中心矩。

20.（3）熟练掌握常用的统计量的分布（t—分布，χ2—分布，F—分布）。

六、参数估计（10学时）

1、主要内容

点估计，矩法估计，极大似然估计，点估计评价估计量的标准；区间估计的概念，单个正态总体参数的置信区间，大样本置信区间，两个正态总体下的置信区间。

重点：

矩法估计和极大似然估计法，评价估计量好坏的三条标准；单个正态总体参数的置信区间，两个正态总体下的置信区间。

难点：

极大似然估计法；正态总体的置信区间。

2、目的和要求

（1）熟练掌握矩法估计的方法。

（2）熟练掌握极大似然估计法。

（3）掌握点估计评价量标准：

无偏性，有效性，一致性。

（4）熟练掌握区间估计的概念。

（5）熟练掌握单个正态总体参数的置信区间的求法。

（6）掌握大样本置信区间，两个正态总体下的置信区间的求法。

七、假设检验（10学时）

1、主要内容

假设检验的基本思想和概念，一个正态总体均值的假设检验，两个正态总体均值的假设检验，正态总体方差的假设检验，非参数假设检验。

重点：

一个正态总体参数的假设检验，难点：

正态总体参数的假设检验。

2、目的和要求

（1）掌握假设检验的基本思想和概念。

（2）熟练掌握一个正态总体参数的假设检验：

U—检验，t—检验，χ2—检验。

（3）掌握两个正态总体的假设检验：

U—检验，T—检验，χ2—检验，F—检验。

（4）了解非参数假设检验。

八、方差分析及一元回归分析（6学时）

1、主要内容

单因子方差分析统计模型，平方和分解，检验方法，参数估计；一元线性回归模型，回归系数的最小二乘估计，回归方程的显著性检验，估计与预测，一元非线性回归分析方程。

重点：

方差分析平方和分解及检验方法；一元线性回归分析模型，回归方程的显著性检验。

难点：

方差分析的平方和分解；回归系数的最小二乘估计，回归方程的显著性检验

2、目的和要求

21.

（1）理解单因素方差分析的方法及检验方法。

22.

（2）了解参数估计。

23.（3）理解一元线性回归模型求法。

24.（4）理解一元线性回归系数的最小二乘估计。

25.（5）了解回归方程的显著性检验。

26.（6）了解回归方程估计与预测。

27.（7）了解一元非线性回归分析方程。

考核要求

考核上要以基本理论、基本技能为主，考察学生对基本概念、基本理论和基本技能的掌握程度，利用所学基本知识解决问题的能力。

熟练掌握、掌握层次的内容约占80%左右，理解层次的内容占20%，了解层次一般不作考核要求。

以上数据仅供参考，可根据实际情况作适当调整。

《常微分方程》课程教学大纲

大纲内容

一、基本概念（2学时）

本部分内容主要介绍微分方程及其相关的基本概念，引入一些应用微分方程的实际问题的数学模型。

a）1、主要内容

微分方程、常微分方程、偏微分方程以及微分方程阶的概念；解、通解和特解的概念；初值问题和初始条件；解的几何解释；一些微分方程的应用实例。

2、目的和要求

（1）理解微分方程的有关概念，掌握微分方程的分类；

（2）正确理解并熟悉解、通解、特解及相关概念；熟悉初值问题、初始条件；

（3）了解解的几何解释；

（4）掌握微分方程的一些实际应用背景。

二、一阶微分方程的初等积分法（12学时）

本部分内容介绍若干能用初等积分法求解的方程类型及求解的一般方法，掌握这些方法与技巧是学好本课程和其它数学分支课程的基本训练之一。

本部分内容的重点是变量分离方程、一阶线性方程和恰当方程的解法，难点是变量代换的技巧、常数变易法及积分因子法。

1、主要内容

变量分离方程与变量分离法，可化为变量分离方程的方程（齐次方程、分式线性方程）；一阶线性方程与常数变易法，贝努利方程；恰当方程（全微分方程）与积分因子；一阶隐方程；Riccati方程。

2、目的和要求

（1）熟悉变量分离方程及分离变量法，熟练掌握变量分离方程及可化为变量分离方程的方程的解法；

（2）熟练掌握一阶线性方程的性质及解法，掌握常数变易法，掌握贝努利方程的特征及解法；

（3）熟悉恰当方程的特征，熟练掌握可用积分因子求解的方程的特征及解法；

（4）熟练掌握几类一阶隐方程的解法；

（5）了解Ricaati方程；

（6）能够解决一些相关的应用问题。

三、一阶微分方程解的存在唯一性定理（8学时）

解的存在唯一性问题是微分方程的基本问题。

本部分内容重点介绍和证明一阶方程解的存在唯一性定理，并叙述解的一般性质。

另外，还引进包络和奇解的概念。

本部分内容理论性较强，具有一定难度，教学时应根据学生实际作适当处理。

1、主要内容

一阶方程初值问题解的存在唯一性定理及其证明（Picard逐步逼近法）；解的近似计算；解的延拓，解对初值的连续依赖性、可微性；包络和奇解的概念及求法，克莱洛方程。

2、目的和要求

（1）熟练掌握解的存在唯一性定理，掌握其证明方法；了解用Picard逐步逼近法求方程近似解的方法；

（2）了解解的延拓及延拓定理（证明不作要求）；

（3）理解解对初值的连续依赖性和可微性的意义，掌握解对初值的连续性、可微性定理（证明不作要求）；

（4）了解包络和奇解的概念，掌握求包络和奇解的方法；熟悉克莱洛方程及其解法。

四、高阶微分方程（20学时）

本部分内容讲述高阶方程，以线性方程为主。

线性微分方程是微分方程理论中最简单、最完善的一类，是常微分方程课程中最基本的重点内容之一。

本部分内容的重点是线性方程的一般理论和常系数线性方程的解法，难点是常数变易法及拉普拉斯变换法。

1、主要内容

几类可降阶的高阶方程；函数组的线性相关性，朗斯基行列式，齐次线性方程解的性质与通解结构定理，基础解系（基本解组），用降阶法解齐次线性方程；非齐次线性方程解的性质及通解结构定理，求解非齐次线性方程的常数变易法；常系数齐次线性方程，欧拉方程的解法；常系数非齐次线性方程的解法（比较系数法和拉普拉斯变换法）；幂级数解法；应用问题（振动问题等）。

2、目的和要求

（1）掌握几类可降阶的高阶方程的解法；

（2）掌握函数组的线性相关性，熟悉并掌握朗斯基行列式及其性质；

（3）熟练掌握齐次线性方程解的性质、通解结构与基础解系；掌握由已知解用降阶法求解的方法；

（4）熟练掌握非齐次线性方程解的性质与通解结构；掌握常数变易法；

（5）熟练掌握常系数线性方程的解法，会解欧拉方程；

（6）了解常微分方程的幂级数解法，会用于求解某些二阶线性方程；

（7）能够熟练地用二阶线性方程解决振动问题，了解其它相关的应用。

五、微分方程组（18学时）

本部分内容讲述微分方程组的理论，以线性方程组为主。

它是常微分方程的主要内容之一。

教学时应注意应用线性代数和矩阵函数处理问题，线性方程组可以与高阶线性方程在统一观点下理解。

本部分内容的重点是线性方程组解的结构和常系数线性方程组的解法，难点是解的存在唯一性定理和矩阵函数的运算。

1、主要内容

微分方程组及解的有关概念，一阶微分方程组与高阶微分方程（组）的关系；一阶微分方程组解的存在唯一性定理，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；矩阵（向量）函数的连续性、导数、积分，矩阵（向量）函数列的一致收敛性；向量函数组的线性相关性，朗斯基行列式及其性质；齐次线性方程组解的性质、通解结构，基础解系及基解矩阵的性质；非齐次线性方程组解的性质、通解结构，常数变易法；矩阵指数

的定义及性质；常系数齐次线性方程组的解法（求基解矩阵

），常系数非齐次线性方程组的解法（常数变易法）；一些实际应用问题。

2、目的和要求

（1）了解微分方程组及其解的有关概念，会将高阶微分方程（组）化为一阶微分方程组；

（2）了解一阶微分方程组解的存在唯一性定理（证明不做要求），一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理（证明不做要求）；

（3）熟悉矩阵（向量）函数，了解向量函数范数的定义；掌握矩阵函数的连续性、导数及积分；了解矩阵函数列的一致收敛性；

（4）掌握向量函数组的线性相关性，朗斯基行列式及其性质；

（5）熟练掌握齐次线性微分方程组解及基解矩阵的性质、通解结构；掌握非齐次线性微分方程组解的性质、通解结构，常数变易法；

（6）熟练掌握常系数齐次线性方程组的解法（Jordan标准型的方法不做要求）；

（7）了解相关的应用问题。

*六、定性理论与稳定性初步（6学时）

本部分内容讨论非线性微分方程（组），介绍定性与稳定性理论的初步知识。

通过教学使学生了解定性与稳定性的概念及初步知识。

1、主要内容

稳定、渐近稳定及相关概念；相平面、结点及相关概念，相关的稳定性；按线性近似决定微分方