定积分典型例题20例答案.docx
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定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案
例1求lim丄（3孑+返孑+lll+3n3）-
n?
-n
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限•若对题目中被积
函数难以想到，可采取如下方法：
先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限•
1iiii
解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为=丄,然后把爲=丄-的一个因子丄
nnnnn
乘入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分•即
lim丄（3『+111+7^）=nm-（^-+3-^1+^-）=I殛x£•
n?
-nJnn,n\n04
例2fJ2x—X2dx=
2，一_
解法1由定积分的几何意义知，°.2x_x2dx等于上半圆周（x-1）2・y2=1（y_0）
分析
X
由于在被积函数中
x不是积分变量，故可提到积分号外即f（x）=xJ0f（t）dt,则
可得
X
f（x）=0f（t）dtxf（x）•
X3
例4设f（x）连续，且]f（t）dt=x,贝Uf（26）=
X3丄
解对等式.0f（t）dt=x两边关于X求导得
32
f（x-1）3x=1,
11
故f（x-1）牙，令X3_1=26得x=3,所以f（26）：
27
例5函数F（x）=1（3—丄）dt（x>0）的单调递减开区间为
1111
解F（x）=3—〒,令F'（x）<0得〒>3,解之得0JxVx99
x
例6求f（x）=0（1-t）arctantdt的极值点•
解由题意先求驻点.于是f（x）=（1-x）arctanx.令f（x）=0,得x=1,x=0.列
表如下：
x
Y,0）
0
（0,1）
1
（1,畑）
f（x）
-
0
+
0
一
故x=1为f（x）的极大值点，x=0为极小值点.
例7已知两曲线y=f（x）与y=g（x）在点（0,0）处的切线相同，其中
arcsinx十2
g（x）h0edt,x[-1,1],
分析两曲线y=f（x）与y=g（x）在点（0,0）处的切线相同，隐含条件f（0）=g（0）,
f（0）=g（0）.
解由已知条件得
0土
f（0）=g（0）h0edt=0,
且由两曲线在（0,0）处切线斜率相同知
故所求切线方程为y=x.而
例8求lim上也；
7[t（t-sint）dt
分析该极限属于0型未定式，可用洛必达法则.
0
=（-2）lim空=0.
x-°sinx
注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则
例9试求正数a与b,使等式lim—1一f-=L^d^1成立.Tx—bsinx0QTF
分析易见该极限属于0型的未定式，可用洛必达法则.
0
由此可知必有|叫（1「bcosx）=0,得b=1.又由
得a=4.即a=4,b=1为所求.
SInx234
例10设f（x）=Lsintdt,g（x）=x+x,则当xt0时，f（x）是g（x）的（）
A.等价无穷小.B.同阶但非等价的无穷小C.高阶无穷小.D.低阶无穷
故f（x）是g（x）同阶但非等价的无穷小.选B.
解法2将sint2展成t的幕级数,再逐项积分，得到
sinx111
f（x）=0[t-—（t）H]dt=-sinx——sinxII1,屯3!
342
2
例11计算」XIdx•
202
解JJxIdx=J'-xjdx+0xdx
被积区间内无界•
所以
1
例13计算”1
2x2xdx•
2
-x
分析
由于积分区间关于原点对称
，因此首先应考虑被积函数的奇偶性
2x2x
2
-x
1
dx=
2x2
‘1，1-x2
1
dx八dx•
丄11-x2
2x2
由于——52是偶函数,
1“1—x2
是奇函数，
有-r.：
dx=0,于是
2—X
12x2x
—十=
/x2（1_x2）
dX=40（X2）
dx=4dx-4\■1-x2dx
12x2x
1：
.2
T1—x
dx
例14计算一tf（x—t）dt,其中f（x）连续.
dx0
分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x,因此不能直接求导，必须先
换元使被积函数中不含x，然后再求导.
解由于
x221x
0tf（x—t）dt=-0f（x—t）dt.
故令x2-t2^u,当t=0时u=x2；当t=x时U=0,而dt2--du,所以
X22101x2
[tf（x-t）dt=?
Lf（u）（-du）=?
[f（u）du,
故
dx22d1x122
0tf（x-t）dt—-H0f（u）du]—f（x）2x=xf（x）.
dx0dx20
错误解答—tf（x2—t2）dt=xf（x2—x2）=xf（0）.
dx0
错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式
dx
"（x）f（t）dt=f（x）
dx站
中要求被积函数f（t）中不含有变限函数的自变量x,而f（x2-t2）含有x,因此不能直接求导，而应先换元.
例15计算q3xsinxdx.
TLH_JTH
解[3xsinxdx=『xd（-cosx）=[x（-co%j]（cosdx
JU
3cosxdx-
0
例16计算f曽dx.
分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法
Un（1x）
0（3-x）2
1
dx=°ln（1x）d（
）=[
1
3—x
1;
ln（1x）]o-0
11
（3—x）（1x）
dx
11
o（r7x
」ln2丄n3.
24
例17计算°2exsinxdx.
分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法
xXXx
解由于o2esinxdx2sinxde=[esinx]2_°2ecosxdx
jiIt
二e2_°2excosxdx，
（1）
而
JtTt
°2excosxdx=°2cosxdex=[excosx]?
-2ex（-sinx）dx
二o2exsinxdx-1，
（2）
将
（2）式代入
（1）式可得
_J[JI
2exsinxdx=e2-[2exsinxdx-1].
7T
.迟1
）2exsinxdx（e21）.
18
1
计算0xarcsinxdx.
分析被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形
，通常用分部积分法.
1x2
0~2d（arcsinx）
22
11xx1
0xarcsixdx二0arcsixd才凯召arcsinx]°
2
（1）
x
2dx.
•1—x
令x=sint,则
1x2
）.1-X2
dx
sin21
■dsint
1-sin21
2sin21
costdtcost
二詐n2tdt
将
（2）式代入
（1）
计dt
sin2t2'
]0
式中得
xarcsinxdx=
08
例19设f（x）[0,二]上具有二阶连续导数
fg=3且貞f（x）+f"（x）]cosxdx=2
f（0）•
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解.
解由于o[f（x）f（x）]cosxdx二of（x）dsinx亠icosxdf（x）
={If（x）sinxo0f（x）sinxd"{[f（x）cosx]0‘亠i0f（x）sinxd冷
--f
（二）-f（0）=2.
故f（0）=「2_f
（二）二-2_3二-5.例20计算0=_巴—.
•x+4x+3
分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算
乂dx_/dx
2=lim厂
'x4x3t门：
0x4x3
lim-七（丄
t_,：
：
20x1
）dx
1
=tlim：
：
2[ln
工^]0=lim1（l门匕一1n〕）
x3t厂：
2t33
=ln3
2
13
从而，所以fa）*：
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