平行线的判定及性质.docx
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平行线的判定及性质
平行线的判定及性质
（一）
【知识要点】
一.余角和补角:
1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余.∵
=90º∴
互为余
2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补.∵
=180º∴
互为补角
二.余角和补角的性质:
同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等.
三.对顶角的性质:
对角相等.
四.“三线八角”：
1、同位角2、内错角3、同旁内角
五.平行线的判定:
1、同位角相等,两直线平行.
2、内错角相等,两直线平行.
3、同旁内角互补,两直线平行.
4、同平行于一条条直线平行.
5、同垂直一条直线的两条直线平行.
六.平行线的性质：
1.两直线平行,同位角相等；
2.两直线平行,内错角相等；
3.两直线平行,同旁内角互补.
【典型例题】
一、余角和补角
例1.如图所示，
互余角有_________________________________；
互补角有_________________________________；
变式训练：
1.一个角的余角比它的的
还少20º，则这个角为_____________。
2.如图所示，已知∠AOB与∠COB为补角，OD是∠AOB的角平分线，OE在∠BOC内，∠BO=
∠EOC,∠DOE=72º,求∠EOC的度数。
二、“三线八角”
例2
（1）如图，哪些是同位角？
内错角？
同旁内角？
（2）如图，下列说法错误的是（）
A.∠1和∠3是同位角B.∠1∠5是同角
C.∠1和∠2是内角D.∠5和∠6是内错角
（3）如图，⊿ABC中，DE分别交B、A于D和E,则图中共有
同位角对，内错角对，同旁内角。
三、平行线的判定
例3如右图①∵∠1＝∠2
∴_____∥_____，（）
②∵∠2＝_____
∴____∥____，（同位角相等，两直线平行）
③∵∠3＋∠4＝180º
∴____∥_____，（）
∴AC∥FG，（）
变式训练：
1.如图,∵∠1=∠B
∴∥_____，（）
∵∠1/∠2
∴_____∥_____，（）
∵∠B＋_____＝180º，
∴AB∥EF（）
例4.如图，已知AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD,∠1和∠2互余，求AB∥CD
变式训练：
如图，已知直线a、b、e，且∠1=∠2，
∠3+∠4=180º,则a∥c平行吗？
五、平行线的性质
例5如图所示，AB∥EF，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，
求∠BEC的度数。
变式训练：
1．如图所示，L1L2，则∠1=_____．
（浙江省中考题）
2．（兰州·中考题）如图所示，AB∥CD,MN交CD于点E,F,GE⊥MN于点E，
若∠DEG=60°，求∠AFE的度数。
【名书·名校·竞赛·中考在线】
1.（2009青岛市）如图，已知AB∥CD,∠1=100º，∠2=120º，
则∠
=。
2.（2011山东日照，）如图，已知直线
，
，
，那么
的大小为（）
（A）70
（B）80
（C）90
（D）100
3.如图，∠BED=∠B+∠D则AB与CD有怎样的位置关系？
请说明理由。
（2010·培优）
4.（2010武汉）如图，点P是四边形ABCD的边CD上任意一动点，且∠C=∠1+∠2.
请问AD与BC有怎样的位置关系？
请说明你判断的理由。
A
B
C
D
P
1
2
5.（第18届北京市“迎春杯”竞赛题）已知∠A的两条边和∠B的两条边分别行，且∠A比∠B的3少20°，求∠B的度数。
6.（2008·培优）如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的线，求证：
AE∥BC。
平行线的判定与性质
（二）
（拓展训练）
【知识要点】
一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：
1.由角定角
已知角的关系两直线平行确定其它角的关系
2.由线定线
已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行
二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：
1.由因导果（综合法）：
即——从已知条件出发，推出相应的结论。
2.执果溯因（分析法）：
即——要得到结论需要具备什么条件。
所以：
解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。
三、简单的面积问题：
1.计算图形面积的常用方法：
①和差法②运动法③等积变形法
2.求图形面积的常用技巧：
寻找共用的三角形。
【典型例题】
例1（拐弯行走问题）如图，某人从A点出发，每前进10米，就向右转18°，
再前进10米，又向右转18°，这样下去，他回到
出发地点时，一共走了________米．
变式训练：
1.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路
平行，则∠C=．
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，
这两次拐弯的角度可能是（）．
（A）第一次向左拐70°，第二次向右拐30°
（B）第一次向右拐60°，第二次向左拐130°
（C）第一次向右拐60°，第二次向右拐130°
（D）第一次向左拐70°，第二次向左拐130°
例2（翻折问题）将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，
A
求∠A的度数．
D
变式训练：
1.如图，将长方形ABCD纸片沿BD折叠，使点C落在
处，
交AD于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的
情况下，图中4°的角有（）．（虚线也视为角的边）
（A）6个（B）5个（C）4个（D）3个
2.如图①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图案②，
再沿BF折叠成图案③，则③中的∠CFE的度数是__________。
例3．（平行线的性质和判定的应用）1.如图,已知：
∠1=∠2.∠3=∠4，∠5=∠6.
A
B
C
D
E
F
2
3
1
4
5
6
求证:
AD∥BC.
2．如图，已知CD∥AB于D，EF∥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，
求∠1+∠2的度数．
变式练习：
1.如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，EF交AB于点G，交CA的延长线于点E，且∠1=∠2．∠EAD=∠BAC吗？
说说你的理由．
2.如图，若AB∥CD，∠1=∠2，则∠E=∠F，为什么？
例5.（综合应用）如图，已知M是AB的中点，N是BC上的一点,CN=2BN,连接AN交MC于O点，若四边形OMBN的面积为14cm
.
求：
（1）CO:
OM的值。
（2）⊿ABC的面积
（2008年两岸四地少年数学精英邀请赛试题）
变式训练：
如图,已知⊿ABC的面积是60，BE:
CE=3:
1，AD:
CD=3:
1，
求四边形ECDF的面积。
（“华赛杯”试题）
【名书·名校·竞赛·中考在线】
1．（2007福州、）如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：
线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）
（1）当动点P落在第①部分时，试说明：
∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？
（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠PAC，∠APB，
∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，
选择其中一种结论加以说明．
思考题：
1.已知O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l
、l
、l
、…l
，则可形成对以O为顶点的对顶角。
（山东省竞赛题）
2.若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。
（第17届江苏省竞赛题）
3.在同一平面内有2002条直线a
、a
、…、a
，如果a
⊥a
a
∥a
、
a
⊥a
、a
∥a
，…，那么a
与a
的位置关系是。
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