正方体长方体知识点 易错题小升初难题.docx

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正方体长方体知识点易错题小升初难题

第三单元

正方体和长方体

知识点

长方体.正方体概念.特征：

长方体和正方体都是立体图形。

正方体是特殊的长方体。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长.宽.高。

正方体都叫做棱。

（长.宽.高都各有4条，分别平行并且相等，正方体的棱都相等。

）

各部分特征：

长方体:

面:

有6个面，都是长方形（特殊情况下最多有两个相对的面是正方形）。

相对的面完全相同。

棱:

有12条棱。

相对的棱长度相等。

顶点:

有8个顶点。

正方体:

面:

有6个面都是正方形，6个面完全相同。

棱:

有12条棱。

12条棱的长度相等。

顶点:

有8个顶点。

棱长总和公式：

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4L长=4（a+b+h）

正方体的棱长总和=棱长×12L正=12a

表面积：

长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

基本公式：

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2S表长=2（ab+ah+bh）

正方体的表面积=棱长×棱长×6S表正=a×a×6

公式延伸：

①无底（或无盖）：

（少一个长×宽）

长方体表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2

S=2（ab+ah+bh）-abS=2（ah+bh）+ab

②无底又无盖：

（一般烟囱）

长方体表面积=（长×高+宽×高）×2S=2（ah+bh）

体积：

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

符号：

V

单位：

常用：

立方米m3立方分米dm3立方厘米cm3

不常用：

立方千米km3（描述天体星球）立方毫米mm3（微星科技）

基本公式：

长方体的体积=长×宽×高V=abh

正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a3

公式延伸：

长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

底面积=长×宽V=sh（长.正方体的体积都=底面积×高）

容积：

箱子.油桶.仓库等容器所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

符号：

V

长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长.宽.高。

（所以物体的体积大于它的容积）。

单位：

常用：

升和毫升L和mL1升=1000毫升

和体积单位之间的关系：

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米

浸没问题：

①原容器充满液体：

溢出液体的体积=放入物体的体积V溢水=V物

②原容器始终未充满液体（放入.拿出都可以）：

液面变化的高度差×容器底面积=放入（拿出）物体浸没部分的体积

S×h差=V物

③放入后有溢出液体：

放入物体的体积+原有液体的体积-容器的最大容积=溢出液体的体积

V物＋V原有液体-V最大容积=V溢出

浸没问题的关键：

水面上升（下降）的体积=物体浸没部分的体积 

完全浸没：

容器底面积×水面上升（下降）的高度=物体体积

如何判断是否浸没的方法：

原有的液面高度≥物体的高度，肯定浸没。

复杂性暂时不考虑。

习题框架

基本概念和计算——展开图问题——计算不足六个面——延伸、推导计算

探索规律——小方块、骰子问题

（一）切割、拼接中块数、棱长的变化

锻造、熔铸——切割拼接

（二）切割、拼接中表面积、体积的变化

（三）切割之后正方体和长方体的变化

（四）挖洞题型

（一）纯浸没问题

容积和体积——浸没问题

（二）溢水问题

（三）考虑是否未完全浸没问题

综合计算

小升初

易错题

【基本概念和计算】

一.判断

1.表面积相等的两个正方体,它们的体积一定相等。

（）

2.一般来说，一个物体的体积比它的容积大。

（）

3.一个长方体木箱，竖着放和横着放时所占的空间不一样。

4.体积相等的两个正方体，表面积也相等。

（）

5.冰箱的体积就是冰箱的容积。

（）

6.长方体的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。

（）

7.有6个面、12条棱、8个顶点的物体就是长方体。

（）

8.在长方体中，只有相对的棱长度相等。

（）

9.长方体12条棱可以分成4组，每组3条棱都相等。

（）

10.长方体12条棱可以分成3组，每组4条棱都相等。

（）

11.一块体积为1立方分米的纸箱，它的占地面积一定是1平方分米。

（）

12.体积单位之间的进率是1000。

（）

13.一个水壶装能装下0.5L的水，那么它的容积是0.5L。

（）

二.填空

1.我们在画长方体时一般只画出三个面，是因为。

2.一个长方体的茶叶罐长宽高分别是10cm、8cm、7cm，它的体积是立方厘米，摆在桌上，所占桌面面积最小是立方厘米。

3.一个长方体长、宽、高分别是4分米、3分米、2分米，如果它的长再增加5分米，它的体积就增加立方分米。

三.计算

1.工地上有一个长方体沙堆，底面积18平方米，高8米。

用这些沙子铺在6米长、4米宽的长方体池子里，能铺多厚？

2.教师节时，王芳想送给老师一件礼物，她测量了一下，礼物长18cm、宽12cm、高10cm，她想把它装在一个长20cm，宽15cm，体积为2.34立方米的包装盒里，能否装得下？

3.快递企业在收取快递费采用分段计费：

首重8元，续重4元，其中有一种是按照包装体积计费，不超过8000立方厘米的按8元收费，之后每超过8000立方厘米（不足8000立方厘米，按8000立方厘米计算）收取4元，经过测量某包裹长70cm，宽40cm，高60cm，请你计算需要费多少元快递费。

【展开图问题】

一.填空

1.一个长方体纸箱的底面和侧面展开都是一个正方形，已知底面周长是20dm，它的体积是立方分米。

2.下图是一个长方体纸盒的展开图（单位：

dm），这个纸盒的用料面积是dm2。

3.下图是一个正方体纸盒展开图，请根据图中数据计算它的棱长总和以及底面积。

4.如图是一个正方体的侧面展开图，如果将它折叠成一个正方体后相对的面上的数相等，则2x+3y的值为______。

二.选择

1.如图是一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图的（）

三.计算

1.一个长方形的侧面展开图和上、下底面都是正方形，其中一个面的的面积是36平方厘米，求这个长方体的体积是多少？

2.一个矩形纸板，长8cm，宽,6cm，把它折成底面为正方形的长方体的侧面，则这个长方体的体积为多少立方厘米？

3.一张长16厘米，宽8厘米长方形铁皮，你能把它剪成五块焊接成一个底面是正方形的长方形的容器吗？

（不许浪费材料）试一试画出剪的痕迹，算一算这个容器的容积。

【计算不足六个面】

一.判断

1.在一个无盖的长方体桶内外涂漆，涂漆的面有10个面。

（）

二.填空

1.通风管是个面；无盖的鱼缸是个面；四周贴商标纸是个面；教室四周和顶部粉刷是个面；游泳池抹水泥是个面；火柴盒是个面；火柴外盒是个面；抽屉是个面；邮箱是个面；书套和相册套是个面。

2.一个长50cm，宽30cm，高40cm的无盖玻璃鱼缸，制作它时需要cm2的玻璃，玻璃和玻璃之间.鱼缸上边缘都需要用铁皮做封边处理，需要cm长的铁皮。

3.一个无盖的玻璃鱼缸，长6dm，宽3dm，高4.5dm。

里面装有一些水，水面高3dm。

鱼缸玻璃和水的接触面积是平方分米。

三.选择

1.小明做一个无盖的玻璃鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中的两块长5dm，宽3dm，另两块长4dm，宽3dm，还需配一块_____的玻璃才刚合适。

A.长5分米，宽4分米B.长5分米，宽3分米

C.长4分米，宽3分米D.长3分米，宽3分米

四.计算

1.一个火柴盒，内外盒长是5cm，宽4cm.高1cm．忽略粘贴处．内盒需要多少硬纸盒？

外盒需要多少硬纸盒？

2.一个长方体水池，长50米，宽25米，深2米。

（1）求占地面积是多少平方米？

（2）在他的四周和底面涂上水泥，涂水泥的部分的是多少平方米？

（3）如果把它当作一个游泳池，在其内壁1.3米处用红油漆画一条警戒线，水位线全长多少米？

（4）在

（2）的基础上，如果水泥的厚度是0.05米，那么这个水池的最大蓄水量是多少立方米？

（5）在（3）的基础上注水达到警戒线，共存水多少立方米？

【延伸、推导计算】

一.填空

1.一个正方体的表面积是54cm2，它的体积是立方厘米。

2.一个正方体的底面积周长是24cm，则该正方体的表面积是cm2，体积是cm3。

3.要制作一节长、宽都是12cm，高1m的铁皮烟囱,至少要用铁皮平方米。

4.邮局的工作人员用尼龙绳加固一个长方体（如图），所用的尼龙绳总长是厘米。

（接头处忽略不计，单位：

cm）

三.计算

1.一块长20cm.宽15cm的长方体硬纸板，从四个角各切掉边长为5cm的正方形，在制作一个无盖的长方体盒子，它的表面积和体积各是多少？

2.为烘托气氛，海星超市第85分店开业前给超市四周装上彩灯（地面四边不装），已知超市营业大厅长55米、宽16米、高5米。

这样布置需要多长的彩灯线？

3.一个长方体，不同的三个面的面积分别是35dm2.21dm2.15dm2；且长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积是多少立方分米?

试说明画“”的条件是否必要？

4.一个方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。

5.一个领奖台如下图（单位：

cm），除了底面不刷涂料之外其他都要涂上涂料，一共需要涂多少平方厘米的涂料。

6.张师傅制作了一个零件，如图所示，如果每立方米该材料的价格是500元，这个零件的成本是多少元？

（单位：

dm）

7.一个长方体底面周长是26cm，高是5cm，

（1）当底面积是40cm2时，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

（2）请你求出所有符合已知条件的长方体中，体积最大的长方体的体积是多少平方厘米？

8.一个棱长为4dm的正方形钢块，要在其表面涂一层厚0.5cm的的防火涂料层，每升这种涂料重2.5千克，至少需要多少千克这样涂料？

9.有一个长方形,它的长、宽、高是三个连续的自然数,体积是3360立方厘米,求它的表面积?

【探索规律（倍数递增、成立方组合图形）】

一.判断

1.正方体的棱长乘2，表面积就扩大到原来的4倍。

（）

2.一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高不变，体积扩大6倍。

（）

二.填空

1.大积木的棱长是15cm，小积木的棱长是3cm，那么个小积木可以拼成一个大积木。

2.一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，棱长总和扩大到原来的倍，表面积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的倍。

3.铁道部规定：

旅客随身携带行李的长.宽.高的和不超过16分米。

如果有一位旅客所带的长方体箱子长.宽.高的和是15分米，那么这个箱子的体积最大是立方分米。

4.一个长方体底面是一个边长为a厘米的正方形，高为h厘米，如果把它的高增加5厘米，那么表面积增加，体积增加。

三.选择

1.棱长之和相等的正方体和长方体中（　　）。

A.长方体体积大　　　B.正方体体积大　　C.一样大D.无法判断

2.体积相等的正方体和长方体中（）。

A.长方体表面积小　　B.正方体表面积小　　C.一样大D.无法判断

3.大正方体的表面积是小正方体表面积的64倍，那么大正方体的棱长是小正方体棱长的（）倍。

A.8倍　　　B.64倍　　C.4倍D.无法判断

4.大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体的体积比小正方体体积多21dm3，小正方体体积是（）dm3。

A.3　　　B.1　　C.9D.27

四.计算

1.有120米长的铁丝，要给狗狗做了小笼子，怎样才能使内部的空间最大？

有多大？

2.把12个棱长1厘米的小正方体拼成一个长方体,你能想出几种拼法?

拼成的长方体表面积最大是多少?

最小是多少？

3.数一数，下图中有多少个长方体？

（包括正方体）

【小正方体.骰子问题】

一.判断

1.把一个小长方体紧靠墙角摆放，露在外面的面有4个。

（）

二.选择

1.用8个体积为1立方厘米的小方块拼成一个大正方体，如果拿去一个小方块，剩余的表面积与原来的面积相比（）。

用27个体积为1立方厘米的小方块拼成一个大正方体，如果拿去一个小方块，剩余的表面积与原来的面积相比（）。

A.变大了B.变小了C.不变D.无法确定

2.一个棱长是3dm的正方体，在表面挖去一个棱长是1dm的小正方体，剩余的表面积和原来相比（）。

A.变大了B.变小了C.不变D.无法确定

3.一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，最多能放（　　）个棱长是2dm的正方体木块。

A.15B.12C.6D.无法确定

三、填空

1.一个的正方体是由216个小正方体组成的，那么你从一个个固定角度最多可以看到多

个小正方体？

四.计算

1.如果一个小正方体的表面积是6平方厘米，由27个这样的小正方体组成一个大正方体，大正方体的表面积是多少平方厘米？

2.一个边长为2cm的正方体，如果使其体积增加208立方厘米之后仍是一个正方体，则这个正方体的边长增加了多少厘米？

3.用210个棱长为1cm小正方体拼成一个长方体，高为5cm，长和宽都大于高，（长.宽都为整数）求这个长方体的表面积是多少？

4.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成如图的形式，然后把露出的表面涂成红色，求被涂成红色的表面积。

2.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有3块。

原来长方体的体积是多少立方厘米。

【锻造、熔铸（体积不变）】

一.选择

1.将一块正方体橡皮泥捏成长方体,正方体和长方体相比（）。

A.体积相等,表面积不一定相等；

B.体积和表面积都不相等；

C.表面积相等,体积不相等；

二.填空

1.把一个棱长为8分米的正方体铁块，锻造成一个长16分米，宽2分米的长方体，它的高是分米。

2.把一个长120cm，宽10cm，高15cm的长方体铁块切割成最大的正方体，最多可以锯成

个。

如果给它锻造成同样大小的正方体铁块能锻造出个。

3.一个密封玻璃缸,从里面量长9分米、宽5分米、高6分米,现在缸里的水深5分米。

如果将缸竖起来放（如图）,那么缸里水深分米。

三、计算

1.有三个正方体铁块，他们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。

现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。

2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，求它的高。

【切割、拼接】

（一）切割、拼接中块数、棱长的变化

一.填空

1.把一个长6cm，宽4cm，高5cm的长方体切成棱长2cm的正方体，能切成个。

2.一个长方体正好可以切成两个棱长是3cm的正方体，这个长方体的表面积是厘米。

3.把1立方米的正方体木料，全锯成1dm2的小木块（损耗不在计算之内），把这些小木块一个紧挨一个地排成一行，这一行总共有米。

4.把一个棱长为3cm的正方体，切成棱长为1cm的小正方体，可以切成个，至少再加上个这样的小正方体可以拼成一个比原正方体略大的正方体。

5.将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长总和是48cm，则这个长方体的体积是。

二.选择

1.如图，立方体的每个角都被切下去（图中仅画了两个），所得到的几何体有（）棱。

A.24B.30C.36D.42

（二）切割、拼接中表面积、体积的变化

一.填空

1.两个完全相同的长方体，长6cm，宽4cm，高2cm，拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积之和减少平方厘米。

2.把一个表面积是54dm2的正方体木料锯成两个长方体，每个长方体的表面积是平方分米。

3.把一个棱长是a米的正方体木材，任意截成两个小长方体后，表面积比原来多。

4.两个表面积是42cm2的正方体组合成一个长方体，它的表面积是平方厘米。

5.一个棱长为6cm的正方体木块，如果把它锯成棱长是2cm的正方体若干块，可以锯成块，表面积增加平方厘米。

6.把一根2米长的方木锯成5段，表面积增加288平方厘米，原来这根方木的体积是

平方厘米。

7.把一个长方体按平行于底面、前面、侧面分别分成两个同样的长方体，它们表面积的总和分别比原长方体的表面积的总和多24平方厘米.48平方厘米.32平方厘米，原长方体的表面积是平方厘米。

8.把4个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体表面积是平方分米。

9.一个长方体的表面积是420平方厘米，这个长方体正好可以截成3个相同的小正方体，则每个小正方体的表面积是平方厘米。

10、将一个棱长4分米的正方体截成4个同样大的长方体后，表面积至少增加平方分米。

11.用6个棱长为3cm的正方体搭成一个长方体，可以搭成种长方体，表面积最小是平方厘米，体积是立方厘米。

二.选择

1.如图中的两个物体是用相同数量的小正方体摆成的，比较它们的表面积，正确的说法是（　　）

A.体积相等,正方体的表面积大；B.体积相等,长方体的表面积大；

C.表面积相等,正方体的体积大；D.表面积相等,长方体的体积大。

2.把一个表面积是210平方厘米的长方体平均锯成两个小长方体，每个长方体表面积不可能是（）平方里米。

A.110B.209C.105D.以上都不对

3.由27个体积为a3的小正方体，堆成一个大正方体，现将其中一个小正方体取出堆成第四层（如图），表面积增加了（      ）。

A.6a2    B.5a2     C.4a2      D.a2  

4.两块大小相同的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长总和是48cm，那么，每块正方体的木块体积是（）立方厘米。

A.8    B.27   C.64      D.48  

5.把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（）。

A.等于大正方体的表面积B.等于大正方体表面积的2倍

C.等于大正方体表面积的3倍

6.将表面积为acm2的正方体等分成两个长方体，再将两个长方体如图方式平成一个大长方体，则大长方体的面积是（）cm2。

A、aB、

aC、2aD、

a

三.计算

1.把1米长的长方体木料锯成3段，表面积比原来增加了60cm2，原来木料的体积是多少立方厘米？

2.把一个长.宽.高分别是7cm.6cm.5cm的长方体截成两个长方体,使这两个长方体的表面积之和最大,这时表面积之和是多少平方厘米?

3.有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平形于底面的平面将它截成俩个长方体，则俩个长方体的表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积？

4.把一个表面积为400平方厘米的长方体按下图切3刀，切成后表面积比原来增加了多少平方厘米？

5.下面物体是由一个正方体和一个长方体组合而成的，求这个物体的表面积和体积．

6.用12个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，一共有多少种拼法，拼成的长方体的表面积最小和最大分别是多少？

7.用12个长4、宽3、高2的长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体表面积最小是多少？

8.一个正方体被切成24个小长方体（包括正方体），这些长方体的表面积总和为162平方厘米，则原正方体的体积是多少？

（三）切割之后正方体和长方体的变化

1.把一个长方体截去一个高为8cm的长方形后，剩下的部分是一个正方体。

正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。

求原来长方体的体积。

2.一个长方体，如果高增加2cm，就变成了一个正方体，这时表面积比原来增加了48平方厘米，原长方体的表面积是多少平方厘米？

（四）挖洞题型

一.填空

1.如图是一个边长为4cm的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1cm的正方体，做成一种玩具，它的表面积是平方厘米。

2.在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为为1cm的正方体。

求挖洞后的正方体的体积？

【容积和体积】

一.判断

1.一个长方体的容器装水5L，可以说这个长方体的容器的容积为5L。

（）

2.因为物体的容积和体积的计算方法相同，所以物体的容积和体积的意义也一样。

（）

3.两个长方体的体积相等，那么它们的容积也一定相同。

（）

二.填入合适单位

一瓶白酒有500一桶矿泉水有18

一台冰箱的容积有214妈妈的一瓶粉底液有100

学校挖沙坑，挖出土0.8一个水塔大约能容纳55

三.计算

1.一个游泳池长为50米宽为21米，高为2米，有三根进水管，每分共进水10立方米，要将空池住满，需要多长时间？

2.一种油桶,底面是边长为2分米的正方形,高36cm,把这样的一桶油注入容积是720毫升的瓶子里，可以装满多少瓶？

3.游泳馆向一个厂50米，宽25米，深1.6米的长方体空游泳池里注水。

经过0.6小时水深达0.2米。

照这样计算，几小时能把游泳池注满？

4.爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽，从外面量，水槽长15分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。

这个水槽的容积是多少升？

浇筑这样一个水槽需要多少升混凝土？

【浸没问题】

（一）纯浸没问题

一.填空

1.在一个棱长是40cm的盛满水的正方体容积中，垂直放入一根底面边长是20cm，高是45cm的长方体铁棒，会溢出升的水。

二.计算

1.一个无盖观赏鱼缸，里面放有一块高为21cm，体积4200立方厘米的假山石，如果水管已每分钟12立方分米的流水量，向鱼缸内注水，至少要多长时间才能是假山是完全淹没？

3.在一个高30cm的长方形容器中，放有一个棱长10cm的正方体铁块。

现在打开一个水龙头往容器中放水，3分钟时水面恰好与正方体铁块顶面水平，14分钟时恰好灌满容器。

求容器的容积。

（二）溢水问题

1.有一个高8cm、容积64ml的圆柱形容器中装满了水，把一个长40cm的圆柱形小棒垂直插入水中，直至容器底部，这时有一部分水溢出。

当把小棒取出后，容器中只有6cm高的水，求小棒的体积。

2．用一个底面是边长8厘米的正方形，高为16厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米．当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求球形铁块的体积．

（三）考虑是否未完全浸没问题（如果没有明显语句，必须有判断过程）

1.有一个长方体容器，从里面量长.宽.高分别是40cm、30cm、35cm；里面注入水，水深10cm，如果把一个棱长为20cm的正方体铁块放入中，铁块顶面仍高于水面，这时水面高是多少厘米？

2.一个长方体容器的底面是一个边长60cm的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长15cm的长方体铁块。

这时容器里的水深0.5米。

如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？

3.有大.中.小三个长方体水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6