初中数学竞赛预赛试题及答案.docx
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初中数学竞赛预赛试题及答案
20XX年河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
20XX年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
（竞赛时间：
20XX年3月2日上午9:
00--11:
00）
一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1.若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，
b?
c2015的值为【】则a2013?
2014
（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D.
解：
最大的负整数是-1，∴a=-1;绝对值最小的有理数是0，∴b=0;倒数等于它本身的自然数是1，∴c=1.
2013
b?
c2015=（?
1）?
2014?
0?
12015=0.∴a2013?
2014
?
x?
y?
z?
5，
2.已知实数x,y,z满足?
则代数式4x?
4z?
1的值是【】
?
4x?
y?
2z?
2.（A）?
3（B）3（C）?
7（D）7【答】A.
解：
两式相减得3x-3z?
-3，则4x?
4z?
1?
?
3.
3.如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1中的线段MN在图2中的对应线段是【】
（A）a（B）b（C）c（D）d
a
N
图1
图2
c
（第3题图）
【答】C.
解：
将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组A合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图
Ba
McBN
图1
图2
2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.
4.已知二次函数y?
ax2?
bx?
c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，
b2?
4ac，a?
b?
c，a?
b?
c，2a?
b中，其值为正的式子的个数为【】
（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上
【答】C.
解：
由图象可得：
a?
0，b?
0，c?
0，∴ab?
0，ac?
0，bc?
0.抛物线与x轴有两个交点，∴b2?
4ac?
0.当x=1时，y?
0，即a?
b?
c?
0.
当x=?
1时，y?
0，即a?
b?
c?
0.从图象可得，抛物线对称轴在直线x=1的左边，即
b
?
1，∴2a?
b?
0.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.2a
5.如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在
1
反比例函数y?
（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】
x
11
（A）y?
?
（x
8x4x11
（C）y?
?
（x
2xx
【答】B.?
解：
如图，分别过点A,B分别做y轴的垂线AN,BM，那么?
ANO∽?
OMB，则
S?
ANOOA2
?
（）?
4.S?
OMBOB
111?
S
?
ANO?
ON?
AN?
?
S?
OMB?
.
228
?
OM?
BM?
11，故y?
?
.44x
6.如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】
（A）1（B）2（C）3（D）
6
【答】B.
解：
设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，
∴G为PS的中点,即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4，∴点G移动的路1
径长为?
4=2.
2
二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7.已知?
32
?
x?
2，化简2x?
3?
（x?
9）得.2
【答】3x-6.解：
∵?
3
?
x?
2，∴2x?
3?
0，x?
9?
0，2
原式=2x?
3?
x?
9?
3x?
6.
8.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为
2
，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为
.5
【答】6.25
x2?
，即x=10，所以P（摸6?
9?
x5解：
设口袋中蓝色玻璃球有x个，依题意，得
出一个红色玻璃球）=66?
.6?
9?
1025
1x2?
x?
1?
4，则x2?
2?
1?
.9.若xx
【答】8.1x2?
x?
1?
4，∴x?
?
3.xx
1112则（x?
）2?
9，即x2?
2?
7.∴x?
2?
1?
8.xxx
10.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.
（第10题图）
【答】?
.
解：
∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，
∴AO=CO=23，BO=DO=4，
∴阴影部分面积=S扇形OBD?
S△AOB?
S扇形OAC?
S△COD=S扇形OBD?
S扇形OAC
90?
?
?
4290?
?
?
（2）2
?
==?
.360360
11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1EDA【答】22?
1.
解：
过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，
则BM=4-x，
在Rt△A1BM中，A1
B（第11题图）
A1M2?
A1B2?
BM2?
9?
（4?
x）2，
∴9?
（4?
x）2=x2，∴x=A1M=2?
2，2
∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=22?
1.
12.已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足
a+b+c+d=5，若m是关于x的方程（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为【答】20.
解：
∵（m-a）（m-b）（m-c）（m-d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m-a）、（m-b）、（m-c）、（m-d）是四个不同的正整数.∵2014=1×2×19×53，
∴（m-a）+（m-b）+（m-c）+（m-d）=1+2+19+53=75.
又∵a+b+c+d=5，∴m=20.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）
13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少?
解：
设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
则有5x?
7y?
10z?
346，y?
2z.
易知0
346?
24z∴5x?
14z?
10z?
346，5x?
24z?
346，即x?
.5
∵x，y，z均为正整数，346?
24z≥0，即0
∴z只能取14，9和4.…………………………………………………8分
346?
24z①当z为14时，x?
=2，y?
2z=28.x?
y?
z?
44.5
346?
24z②当z为9时，x?
=26，y?
2z=18.x?
y?
z?
53.5
346?
24z③当z为4时，x?
=50，y?
2z=8.x?
y?
z?
62.5
综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），PH?
DE于H,设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式;
（2）若AE=2EB.
①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长;②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个?
（直接写出满足条件的圆的个数即可.）
14、解：
（1）在Rt?
AED中，?
AE?
6,AD?
8,?
ED?
10.?
PHD?
?
EAD?
90?
?
PDH?
?
EDA,?
?
PHD?
?
EAD.xDHPH43?
?
?
.?
DH?
x,PH?
x.108655
6?
y?
S?
AED?
S?
PHD?
24?
x2.25
…………………………………………………………5分
（2）①
AD//BC,?
?
EBF∽?
EAD.
?
EF3BF?
?
.1068
?
EF?
5,BF?
4.………………………7分
若⊙O1与直线DE、AB都相切，且圆心O1在AB的左
侧，过点O1作O1G1?
DF于G1，则可设O1G1?
O1B?
r1.
1113S?
EO1F?
S?
EBO1?
S?
EBF,?
r1?
5?
r1?
3?
?
3?
4.解得r1?
.…………………10分2222
若⊙O2与直线DE、AB都相切，且圆心O2在AB的右侧，过点O2作O2G2?
DF于G2，则可设O2G2?
O2B?
r2.
11
?
FO2?
DC?
?
DF?
O2G2.22
11?
（4?
r2（）6?
3）?
10?
5）r2.22?
S?
FO2D?
解得r2?
6.
即满足条件的圆的半径为
②6个.………………………………………………………………………………………16分
3
或6.…………………………………………13分2
15.如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA=AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.
（1）连接PA、PE，求证：
PA=PE;
（2）连接PC，若PC+PE=2，试求AB的最大值;
（3）在
（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，-1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.
解：
（1）证明：
如图1，连接AE.
?
OA?
AB,?
?
AOB?
?
ABO.
?
AB//OC,?
?
ABO?
?
BOC.
?
?
AOC?
60?
?
?
AOB?
?
BOC?
30?
.?
?
OBC?
90?
.
?
E为OC的中点，?
OC?
2BC?
2OA.?
OAE为等边三角形.
?
OB垂直平分线段AE.?
PA?
PE.
…………………………………………………………5分
（2）∵PC+PE=23，∴PC+PA=23.
显然有OB=AC≤PC+PA=2.……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=x，∴3x≤23，∴x≤2.
即AB的最大值为2.…………………………10分
（3）当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.
分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形.
过N作NF⊥x轴，垂足为F，
∵A点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（a，3a），则DF=a-m，NF=3a，
ma?
maODDFNFFC=4-a.∵△OMD∽△FND∽△FCN，?
.?
?
?
?
.14?
aOMNFFC3a
解得，m?
4?
3
43?
1，即当0
②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形;………………15分
③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形.
?
OB?
BC,CN?
MN,?
MN//OB.
?
?
ODM?
?
BOC?
30?
.
?
OM?
1,?
OD?
m?
3.
∴当
综上所述，当0
4?
1或
解：
（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30-x）台，
派往A、B地区的甲型收割机分别为（30-x）台和（x-10）台.
∴y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）
（2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28，
∵28≤x≤30，x是正整数
∴x=28、29、30
∴有3种不同分派方案：
①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区;
②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区;
③当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区;
（3）∵y=200x+74000中y随x的增大而增大，
∴当x=30时，y取得最大值，此时，y=200×30+74000=80000，建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元.
30岁、15岁、22岁应选A
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