全国高中数学联赛试题及详细解析docx.docx
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2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其
他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的
代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式x36xk有解的实数k的最大值是（）
A．63B．3C．63D．6
2．空间四点A、B、C、D满足|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9,则ACBD的取值
（）
A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个
a1
a2
a3
a4
|ai
T,i1,2,3,4},将M中的元素按从大到小的
6.记集合T{0,1,2,3,4,5,6},M{
7
2
7
3
7
4
7
序排列，第2020个数是（）
A．5
5
6
3
B．5
5
6
2
7
72
73
74
7
72
73
74
C．1
1
0
4
D．1
1
0
3
7
72
73
74
7
72
73
74
二、填空（本分
54分，每小
9分）
本共有6小，要求直接将答案写在横上。
7.
将关于x的多式f（x）
1xx2
x3
x19
x20表关于y的多式g（y）
a0a1ya2y2
a19y19
a20y20,其中yx
4.a0
a1
a20
.
8.
已知f（x）是定在（0,
）上的减函数，若f（2a2
a
1）
f（3a2
4a1）成立，a的取范
是
。
12.如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列
a1,a2,a3,,若an
2005,a5n
.
三、解答（本分
60分，每小
20分）
13.数列{an}足：
a0
7an
45an2
36
1,an1
2
nN.
明：
（1）任意n
N,an正整数；
（2）
任意nN,anan1
1完全平方数。
14.将号1,2，⋯，9的九个小球随机放置在周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球
.
周上所有相两球号之差的之和要
S.求使S达到最小的放法的概率.（注：
如果某种放
法，旋或面反射后可与另一种放法重合，是相同的放法）
15.抛物yx2上的一点A（1,1）作抛物的切，分交
x于D，交y于B.点C在抛物
上，点E在线段AC上，满足AE
1
;点F在线段BC上，满足
EC
交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点
P的轨迹方程.
BF
，且
21，线段CD与EF
2
1
FC
2020年全国高中数学联赛试题
（二）及参考答案
二、（本题满分50
分）
设正数、b、c、
、y、z满足
cy
bz
a,azcx
b;bxay
c.
a
x
求函数f（x,y,z）
x2
y2
z2
的最小值.
1x
1y
1z
三、（本题满分50
分）
0
当n为平方数,
对每个正整数
n，定义函数f（n）
[
1]当n不为平方数.
{
n}
（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}x[x]）.
240
试求：
f（k）的值.
k1
2020年全国高中数学联赛解答
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的
代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x的不等式
x3
6xk有解的实数
k的最大值是（
）
A．63
B．3
C．63
D．6
2．空间四点A、B、C、D满足|AB|
3,|BC|
7,|CD
|11,|DA
|9,则AC
BD的取值
（
）
A．只有一个
B
．有二个
C
．有四个
D
．有无穷多个
【答案】A
【解析】注意到
32
112
1130
72
92,由于ABBC
CDDA0,则DA2
DA
2
=
（AB
BC
CD）2
AB2
BC2
CD2
2（ABBC
BCCD
CD
AB）
AB2
BC2
CD2
2（BC
2
ABBC
BCCD
CDAB）
AB2
BC2
CD2
2（AB
BC）（BC
CD）,即
2AC
BD
AD2
BC2
AB2
CD2
0,
AC
BD只有一个值得0，故选A。
3．ABC内接于单位圆，三个内角
A、B、C的平分线延长后分别交此圆于
A1、B1、C1。
则
AA1
cosA
BB1cosB
CC1
cosC
2
sinB
2
2
的值为（
）
sinA
sinC
A．2
B
．4
C
．6
D
．8
【答案】A
【解析】如图，连
BA1，则AA12sin（B
A）
2sin（ABC
B
C）
2cos（B
C）.
2
2
2
2
22
AAcosA
2cos（B
C）cosA
cosAB
C
cosAC
B
cos（
C）cos（
B）
1
2
2
2
2
2
2
2
2
sinC
sinB,同理BB1cos
B
C
A
BB1
sinAsinC,CC1cos
sinAsinB,
AA1cos
2
2
2
B
CC1
cos
C
sinB
sinC）,
原式
2（sinA
sinB
sinC）
cos
2（sinA
sinA
sinB
2.选A.
2
2
sinC
5.方程
x2
y2
1表示的曲线是（
）
sin
2sin
3
cos
2
cos
3
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】C
【解析】
2
3
0
2
2
3
cos（
2）
cos（3）,即
2
2
2
2
sin2
sin
3.
又0
2
2
3
cos
2
0,cos3
0,
cos2
cos3
0,方程表示的曲线是椭
2
圆。
（sin
2
sin
3）
（cos
2cos
3）2
2sin
2
3sin（
2
3
）（）
2
2
4
2
3
0,
sin
2
3
2
3
3
3
2
3
.
2
2
2
0,
2
4
2
2
4
4
sin（2
3
）
0,
（
）式
0.
2
4
即sin
2
sin
3cos
2
cos3.
曲线表示焦点在
y轴上的椭圆，选
C。
二、填空题（本题满分
54分，每小题
9分）
本题共有
6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x的多项式f（x）
1xx2
x3
x19
x20表为关于y的多项式g（y）
a0a1ya2y2
a19y19
a20y20,其中yx
4.则a0
a1
a20
.
【答案】
521
1
6
【解析】由题设知，f（x）和式中的各项构成首项为1，公比为x的等比数列，由等比数列的求和公
式，得：
f（x）
（x）21
1
x21
1.令xy
4,得g（y）
（y4）21
1,取y1,
x
1
x
1
y5
有a0a1a2
a20
g
（1）
521
1.
6
9.设、、满足02，若对于任意xR,cos（x）cos（x）
cos（x
）0,则
。
【答案】4.
3
【解析】设
f（x）
cos（x
）
cos（x
）
cos（x
）,由x
R，f（x）0
知，
f（）
0,f（
）0,f（
）0,
即cos（
）
cos（
）
1,cos（
）
cos（
）
1,cos（
）
cos（
）
1.
cos（
）
cos（
）cos（
）
1.0
2,
,
{2,4},
又
2
2.
4.
3
3
.
只有
3
3
10.如图，四面体
DABC的体积为
1，且满足ACB
45,ADBC
AC
3,则CD.
6
2
【答案】3
【解析】
1AD
（1BC
AC
sin45）
VDABC
1,
3
2
6
即
ADBCAC
1.
又
2
3
ADBC
AC
3
ADBC
AC
3,
2
2
等号当且仅当AD
BC
AC
1时成立，这时
AB
1,AD
面ABC，
DC
3.
2
11.若正方形ABCD的一条边在直线y
2x
17上，另外两个顶点在抛物线
yx2上.则该正方形面积
的最小值为
.
【答案】80
【解析】设正方形的边
AB在直线y
2x
17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C（x1,y1）、
D（x2,y2），则CD所在直线l
的方程y2x
b,将直线l
的方程与抛物线方程联立，得
x2
2xb
x1,2
1
b
1.
令正方形边长为a,则a2
（x1
x2）2
（y1
y2）2
5（x1x2）2
20（b
1）.①
在y2x
17上任取一点（6，,5），它到直线y
2x
b的距离为a,
|17
b|
a
②.
5
①、②联立解得b1
3,b2
63.
a2
80,或a2
1280.
amin2
80.
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列{an}满足：
a0
1,an
7an
45an2
36
1
2
nN.
【解析】证明：
（1）对任意n
N,an为正整数；
（2）对任意n
N,anan
1
1为完全平方数。
证明：
（1）由题设得a1
5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得
2an
1
7an45an2
36,两边
平方整理得an2
1
7
anan1
an2
9
0①
an2
7an1an
an21
90
②
①-②得（an1
an1）（an
1an
1
7an）
0,Qan1
an,an1
an1
7an
0
an1
7an
ab1.③
由③式及a0
1,a15可知，对任意n
N,an为正整数.
14.将号
1,2，⋯，9的九个小球随机放置在周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球
.
周上所有相两球号之差的之和要
S.求使S达到最小的放法的概率.（注：
如果某种放
法，旋或面反射后可与另一种放法重合，是相同的放法）
【解析】九个号不同的小球放在周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在周上
的一个形排列，故共有8！
种放法，考到翻因素，本不同的放法有8!
种.⋯5分
2
下求使
S达到最小的放法数：
在周上，从
1到9
有弧与劣弧两条路径，其中任一条路径，
x1,x2,
xk是依次排列于段弧上的小球号，
|1
x1|
|x1
x2
|
||xk9||（1
x1）（x1
x2）
（xk9）||19|8.上式取等号当
且当
1x1
x2
xk
9，即每一弧段上的小球号都是由
1到9增排列.
因此S最小
28
16.
由上知，当每个弧段上的球号
{1,x1,x2,
xk,9}确定之后，达到最小的排序方案便唯一确定.
在1,2，⋯，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3
，⋯，8，将它分两个子集，元素少的一个
子集共有C70
C71
C72
C73
26
种情况，每种情况着周上使
S达到最小的唯一排法，
即有利事
6
621
件数是2种，故所求概率P.
2
15.抛物
yx
2
1,1
x于
y
B.
C
上的一点
（
）作抛物的切，分交
，交
于
点
在抛物
A
D
上，点E在段AC上，足
AE
1;点F在段BC上，足BF
2，且1
21，段CD与EF
EC
FC
交于点P.当点C在抛物上移，求点P的迹方程.
1
3
1
1
3
1
1
x
1,
当
2
x0
2
时，EF方程为：
2
y
（
42
4
1
3）x
2
42,CD方程为：
x
2
，联立解得
1.
y
12
也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴
x0
1,
x
2.
1
2）.
3
∴所求轨迹方程为
y
（3x
1）2（x
3
3
1）,D（1,0）,故D是AB的中点.
解二：
由解一知，
AB的方程为y
2x
1,B（0,
CD,t1
CA
CB
2
令
1
1,t2
1
2,则t1
t2
3.因为CD为ABC的中线，
CP
CE
CF
SCAB
2SCAD
2SCBD.
而
1
CECF
S
t1t2
CACB
S
CEF
CAB
S
2S
CEP
CAD
S
2S
CFP
1
1
1
t1t2
3
3
P是
2
（
t2
）
2t1t2
2
CBD
t1
2t1t2
ABC的重心.
设P（x,y）,C（x0,x02）,因点C异于A，则
0
1,
故重心P的坐标为
x
x
01x0
1x0,（x
2
）,y
11
x02
x02
消去x0
得y
1
（3x1）2.
3
3
3
3
3
3
故所求轨迹方程为
y
1
（3x
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