小升初几何之等积蝴蝶鸟头.docx
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小升初几何之等积蝴蝶鸟头
小升初几何之等积、蝴蝶、鸟头
小升初几何重点复习
——等积、蝴蝶、鸟头
小升初考试中几何题目一般都较难，而三角形中常见的三大几何模型——等积模型，蝶形模型，鸟头模型就是三角形计算的重要部分，近几年成都各大名校的选拔考试的面积题目，也有逐步增加难度的趋势。
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
；
③夹在一组平行线之间的等积变形。
如右图
；
反之，如果
，则可知直线AB平行于CD；
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。
二、蝴蝶模型
任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：
①
或者
②
A
B
S1
O
S2
S4
D
C
S3
a
b
蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
特别的，在梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：
①
；
②
；
③
的对应份数为
。
【例1】如图，有大小两个正方形ABCD和CEFG，其中正方形CEFG的边长为2，求阴影部分的面积。
1、三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。
求图中阴影部分的面积。
【例2】如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2。
求长方形EFGH的面积。
2、如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【例3】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
A
B
F
H
G
E
D
C
3、如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？
A
B
C
D
E
F
【例4】如图，在梯形ABCD中，AD：
BE=4：
3，BE：
EC=2：
3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。
梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
4、已知ABCD是平行四边形，BC：
CE=3：
2，三角形ODE的面积为6平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
【例5】如图，正方形ABCD面积为
平方厘米，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。
5、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为多少平方厘米？
巩固练习
1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：
（1）三角形BGC的面积；
（2）AG：
GC的值
2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？
A
D
O
B
C
3、如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2。
问：
四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
A
F
D
4
6
B
C
E
v4、如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB＝8，AD＝15，四边形EFGO的面积为。
A
B
C
E
F
G
O
D
三、鸟头模型
两个三角形中有一个角重合或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（重合角或互补角）两夹边的乘积之比。
如下图在
中，
分别是直线AB、AC上的点（或D在BA的延长线上，E在AC上），则
【例1】如图，CD＝2BC，AE＝2AC，△ABC的面积为1cm2，求△CDE的面积。
A
B
C
E
D
1、如图，在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:
AD＝5:
2，AE:
EC＝3:
2，△ADE是12平方厘米，求△ABC的面积。
【例2】如图，在△ABC中，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，求乙是甲面积的几倍？
【例3】如右图，将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。
如果三角形ABC的面积等于l，则三角形DEF的面积=。
【例4】如右图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
【例5】已知△DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积。
巩固练习
1、如图，△ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果△ADE的面积等于1，那么△ABC的面积是多少？
2、已知△ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝AC，求△DEF的面积。
3
A
B
C
D
E
、如右图BE＝
BC，CD＝
AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______。
4、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，四边形ABCD的面积。
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