线性代数第二章矩阵答案docx.docx

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线性代数练习题

第二章

矩阵

系

专业

班

姓名

学号

第一节

矩阵及其运算

一．选择题

1．有矩阵A32，B2

3

，C33

，下列运算正确的是

[

B

]

（A）AC

（B）ABC

（C）AB－BC

（D）AC+BC

2．设C（1,0,0,1），A

ECTC，B

E2CTC，则AB

[

B]

2

2

（A）ECTC

（B）E

（C）E

（D）0

3．设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是

[B

]

（A）AAT

（B）AAT

（C）AAT

（D）ATA

二、填空题：

1

6

4

2

0

1

1

6

5

1．

2

8

2

3

4

2

1

12

4

1

2

1

2

4

3

2

1

14

13

8

7

2．设A

2121

，B

21

21

，则2A3B

2

5

2

5

1

2

3

4

0

1

0

1

2

1

6

5

4

3

1

7

35

3．1

2

3

2

6

5

7

0

1

49

1

3

1

2

1

4

0

0

1

2

6

7

8

4．

1

3

4

1

3

1

20

5

6

1

4

0

2

三、计算题：

111

设A111，4

111

1

2

3

B

1

2

4

，求3AB

2A及ATB

0

5

1

1

1

1

1

2

3

1

1

1

3AB

2A

31

1

1

1

2

4

21

1

1

1

1

1

0

5

1

1

1

1

0

5

8

2

2

2

30

5

6

2

2

2

2

9

0

2

2

2

2

13

22

2

17

20;

4

29

2

1

1

1

1

2

3

0

5

8

由A对称，AT

A，则ATB

AB

1

1

1

1

2

4

0

5

6.

1

1

1

0

5

1

2

9

0

线性代数练习题

第二章

矩

阵

系

专业

班

姓名

学号

第二节

逆矩阵

一．选择题

1．设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，则

[

B

]

（A）AAA1

（B）A

n1

（C）（A）

nA

（D）（A）

0

A

2．设A，B都是n阶可逆矩阵，则

[

C

]

（A）A+B是n阶可逆矩阵

（B）A+B是n阶不可逆矩阵

（C）AB是n阶可逆矩阵

（D）|A+B|=|A|+|B|

3．设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是

（A）AA（B）AA（C）AnA（D）A

[C]

nA

4．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有[B]

（A）CBA=E（B）BCA=E（C）BAC=E（D）ACB=E

5．设n阶矩阵A，B，C，满足ABAC=E，则[A]

（A）ATBTATCT

E

（B）A2B2A2C2

E

（C）BA2C

E（D）CA2BE

二、填空题：

1

1

2

1

A，其中B

2

1．已知AB

B

，则A

2

1

1

1

2

2．设

2

5

4

6

，则X=

2

13

1

X

2

1

0

4

3

3．设A，B均是n阶矩阵，A

2，B

3，则2AB14n

6

4．设矩阵A满足A2

A

4E

0，则（AE）1

1

（A2E）

2

三、计算与证明题：

1．设方阵A满足A2

A

2E

0，证明A及A

2E都可逆，并求

A1和（A2E）1

A2

A

2E

0

A（A

E）

2E

A（A

2

E）

E

A可逆，且A1

A

E;

2

A2

A

2E

0

A（A

2E）

3A

2E

0

A（A

2E）

3（A

2E）4E

0

（A

3E）（A

2E）

4E

（

A

3E）（A

2E）

E

4

A

可逆，且

（A

2E）

1

A

3E

2E

.

4

1

2

1

2．设A

3

4

2

，求A的逆矩阵A1

5

4

1

解：

设A

（aij

）3

，则

A11

4

2

4,

A12

（

1）

1

23

2

13,A13

（

1）

1

33

4

32,

4

1

5

1

5

4

A21

（

1）1

22

1

2,A22

（

1）2

21

1

6,A23

（

1）2

31

2

14,

4

1

5

1

5

4

A31

（

1）

1

32

1

0,A32

（1）

3

21

1

1,A33

（

1）

3

31

2

2,

4

2

3

2

3

4

4

2

0

从而A*

13

6

1.

32

14

2

又由

1

2

1

2c1

1

0

0

2

1

A

3

4

c2

3

2

1

2

2

5

41

c3

c15

146

146

A*

2

1

0

则A1

13

3

1

A

2

7

2

16

1

0

3

3

3．设A

1

1

0

且满足AB

A

2B，求

B

1

2

3

AB

A

2B

（A

2E）B

A

2

3

3

0

3

3

1

1

0B

1

1

0

1

2

1

1

2

3

2

3

3

0

3

3

1

1

0

1

1

0

1

1

01

10r1

r2

2330

33

1

2

1

1

2

3

1

2

1

1

2

3

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

r2

2r1013253r3

r201

3

2

5

3

r3

r1

0

1

1

0

3

3

0

0

2

2

2

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

r3

（1）013253r2

3r3010

1

23

2

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

3

3

r1

r2

0

1

0

1

2

3

0

0

1

1

1

0

0

3

3

则B（A2E）1A

123

1

1

0

线性代数练习题

第二章

矩阵

系

专业

班

姓名

学号

第三节

（一）

矩阵的初等变换

一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：

1

1

3

4

3

r2

3r1

1

1

3

4

3

r2

4

1

1

3

4

3

3

3

5

4

1

0

0

4

8

8

0

0

1

2

2

2

2

3

2

0

r3

2r1

0

0

3

6

6

r3

3

0

0

1

2

2

3

3

4

2

1r4

3r1

0

0

5

10

10r4

5

0

0

1

2

2

1

1

3

4

3

1

1

0

2

3

r3

r2

0

0

1

2

2

0

0

1

2

2

r4

r20

0

0

0

0

r1

3r20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

二、把下列矩阵化为标准形：

2

3

1

3

7

1

2

0

2

4

r2

2r1

1

2

0

2

4

1

2

0

2

4

2

3

1

3

7

0

1

1

1

1

3

2

8

3

0

r1

r23

2

8

3

0

r3

3r10

8

8

9

12

1

3

7

4

3

1

3

7

4

3

r4

r1

0

5

7

6

7

1

2

0

2

4

1

2

0

2

4

r3

8r2

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

r4

5r20

0

0

1

4

r3

r40

0

2

1

2

0

0

2

1

2

0

0

0

1

4

r3

r4

1

2

0

0

4

1

2

0

0

4

0

1

1

0

3

1r3

0

1

0

0

2

r2

r4

r2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

2

r1

2r4

2

0

0

0

1

4

0

0

0

1

4

1

0

0

0

0

r2

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

2

01

0

02

0

1

0

0

0

r12r20

0

2

0

21r3

0

0

1

0

1c5

2c2c34c40

0

1

0

0

0

0

0

1

4

2

0

0

0

1

4

0

0

0

1

0

三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵

3

2

0

1

0

2

2

1

A

2

3

2

1

0

1

2

1

3

2

0

1

1

0

0

0

1

2

3

2

0

0

1

0

0

2

2

1

0

1

0

0

0

2

2

1

0

1

0

0

1

2

3

2

0

0

1

r1

r3

2

0

1

1

0

0

0

0

3

0

1

2

1

0

0

0

1

0

1

2

1

0

0

0

1

1

2

3

2

0

0

1

0

1

2

3

2

0

0

1

0

0

2

2

1

0

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

r33r10

4

9

5

1

0

3

0

r2

r40

4

9

5

1

0

3

0

0

1

2

1

0

0

0

1

0

2

2

1

0

1

0

0

1

2

3

2

0

0

1

0

1

2

3

2

0

0

1

0

r3

4r2

0

1

2

1

0

0

0

1

0

1

2

1

0

0

0

1

r4

2r200

1

1

10

3

4r42r300

1

1

1

0

3

4

0

0

2

1

0

1

0

2

0

0

0

1

2

1

6

10

1

2

3

0

4

2

11

20

1

2

0

0

1

1

2

2

r1

2r401

20

2

1

6

11r1

3r301

0

00

1

0

1

r2

r4

0

0

10

1

13

6r2

2r3001

0

1

13

6

r3

r4

0

0

0

1

2

1

6

10

0

0

0

1

2

1

6

10

1

0

0

0

1

1

2

4

r1

2r2

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

3

6

0

0

0

1

2

1

6

10

1

1

2

4

A1

0

1

0

1

1

1

3

6

2

1

6

10

1

1

1

1

0

1

四、已知

0

2

2

X

1

1

0

，求X

1

1

0

0

1

4

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1