关于山猫问题的数学模型.docx
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关于山猫问题的数学模型
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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B
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海南大学
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1.张勇华
2.郭敏
3.宋国进
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日期：
2010年7月19日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
濒危物种（山猫）的自然演变
摘要
根据所给题目，本文运用差分方程模型，结合数值计算和编程软件，建立了山猫数量的演变模型。
该模型生动形象的刻画了在各种不同的环境条件下，山猫数量的演变过程及最终结果，并根据所得数据在保护山猫种群方面，给出了一些建议。
针对问题一，我们建立一个一阶线性常系数差分方程，然后利用MATLAB软件，得到了所需的数据与图形。
且由图可知，在较好和中等的自然环境下，山猫数量逐年增多（较好环境下增长速度更快）；而在较差的自然环境下，山猫数量逐年减少，趋于灭绝。
针对问题二，根据问题一的方程稍作修改，利用MATLAB软件便得到了数据。
并由数据可知，若每年捕获3只，则山猫数量在每种环境下都将逐年减少，濒临灭绝；若每年捕获1只，其数量则只有在较好自然环境下缓慢的逐年增多，在其它环境下逐年减少，趋于灭绝。
针对问题三，我们利用了C++编程，对其求解，并利用MATLAB软件进行了画图。
最终得到，为使较差环境下山猫数量稳定在60只左右，平均每年需繁殖3只山猫。
再结合前两问的结果可见，在不同的自然环境及人工干预下，山猫的数量变化趋势将大不相同。
我们可以根据不同的自然环境通过计算分析，选择合适的人工干预的程度，从而使生态稳定。
关键字：
差分方程模型MATLAB软件C++编程一阶线性常系数差分方程
一、问题的重述
一般人都认为，只有老虎才是真正濒临灭绝的猫科动物，但实际上，真正危险的是不大引人注意的伊比利亚山猫。
山猫随着生存环境的破坏和它们的主要食物———野兔数量的大量减少而濒临灭绝。
此外，汽车在高速公路上急驶时，也
经常会在无意中撞死无辜的山猫。
其它一些山猫还被那些用来捕获野兔和狐狸的陷阱中的铁棍扎伤或杀死。
猎人每年都捕杀大量山猫，其实他们并不知道这是一种濒临灭绝的珍稀动物。
据调查某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%，0.55%和-4.50%，假设开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势。
（1）3种自然环境下25年的变化过程（作图）
（2）如果每年捕获3只，会发生什么情况?
山猫会灭绝吗?
如果每年只捕获1只呢?
（3）在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只?
二、模型的假设
1．假设本题只考虑不同自然环境对山猫数量的影响，不考虑其他任何随机因素的影响（如自然灾害等）。
2．在本题中暂不考虑环境所能容纳的山猫的最大数量，假设其没有上限。
3．对本题第三问的条件“想要山猫的数量稳定在60只左右”理解为“想要山猫的数量稳定在56只到64只之间”。
三、模型的建立和求解
分析：
本题所需考察的山猫数量，其时间变量是以1年为单位的，它已经离散化了，因此可用差分方程建立动态离散模型。
第一问的求解：
模型的建立及其求解：
据题意，可建立一个一阶线性常系数差分方程。
记第k年山猫的数量为X（k）,自然环境下的年平均增长率为r,且a=1+r,则第k+1年山猫的数量为
X（k+1）=a*X（k）+b,a=1+r,k=0,1,2,…（3）
在较好、中等和较差的自然环境下，以r=0.0168,0.0055和-0.045以及X（0）=100,b=0代入，我们利用MALAB计算并作图，递推25年后观察山猫的数量变化情况.其程序如下所示：
首先建立一个关于变量n，r的函数
functionx=fun（n,r）
a=1+r;
x=100;
fork=1:
n
x（k+1）=a*x（k）;
end
在command窗口里调用fun函数
k=（0:
25）';
y1=fun（25,0.0168）;
y2=fun（25,0.0055）;
y3=fun（25,-0.045）;
round（[k,y1',y2',y3']）
plot（k,y1,'-',k,y2,':
',k,y3,'-.'）
axis（[02520200]）
xlabel（'年数'）;
ylabel（'山猫的数量'）;
title（'3种自然环境下25年的变化过程'）;
legend（'较好自然环境下','中等自然环境下','较差自然环境下'）;
这样就得到了山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程的数据（表1）和图像（图1），如下所示：
表1:
山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程（b=0）
年份
较好自然环境下
（r=0.0168）
中等自然环境下
（r=0.0055）
较差自然环境下
（r=-0.045）
0
100
100
100
1
102
101
96
2
103
101
91
3
105
102
87
4
107
102
83
5
109
103
79
6
111
103
76
7
112
104
72
8
114
104
69
9
116
105
66
10
118
106
63
11
120
106
60
12
122
107
58
13
124
107
55
14
126
108
52
15
128
109
50
16
131
109
48
17
133
110
46
18
135
110
44
19
137
111
42
20
140
112
40
21
142
112
38
22
144
113
36
23
147
113
35
24
149
114
33
25
152
115
32
图1:
山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程（b=0）
结果分析：
由所得数据与图像可知，在无任何人工干预时，在较好和中等的自然环境下，山猫数量逐年增多（且在较好环境下增长速度更快）；而在较差的自然环境下，山猫数量逐年减少，趋于灭绝。
第二问的求解：
（1）在第一问模型的基础上，如果每年捕获3只，故代入b=-3,利用MATLAB软件，便可得到山猫数量的变化数据与图形,且程序如下：
首先建立一个关于变量n，r，b的函数：
functionx=fun1（n,r,b）
a=1+r;
x=100;
fork=1:
n
x（k+1）=a*x（k）+b;
end
在command窗口里调用fun1函数
k=（0:
50）';
y1=fun1（50,0.0168,-3）;
y2=fun1（50,0.0055,-3）;
y3=fun1（50,-0.045,-3）;
round（[k,y1',y2',y3']）
plot（k,y1,'-',k,y2,':
',k,y3,'-.'）
axis（[050-50100]）
xlabel（'年数'）;
ylabel（'山猫的数量'）;
title（'3种自然环境下50年的变化过程'）;
legend（'较好自然环境下','中等自然环境下','较差自然环境下'）;
其数据（表2）和图形（图2）如下：
表2：
山猫数量在3种自然环境下50年的变化过程（b=-3）
年数
较好自然环境下
（r=0.0168）
中等自然环境下
（r=0.0055）
较差自然环境下
（r=-0.045）
0
100
100
100
1
99
98
93
2
97
95
85
3
96
93
78
4
95
90
72
5
93
88
66
6
92
85
60
7
90
83
54
8
89
80
49
9
87
77
43
...
...
...
...
46
9
-28
-47
47
7
-31
-48
48
4
-34
-48
49
1
-37
-49
50
-2
-41
-50
图2：
山猫数量在3种自然环境下50年的变化过程（b=-3）
结果分析：
由表2和图2我们可以看到，若每年捕获3只，则山猫数量在每种环境下都将逐年减少，濒临灭绝。
且随着时间的增长，照此发展，不到50年山猫终将灭绝。
（2）如果每年捕获1只，故代入b=-1,利用MATLAB软件，便可得到山猫数量的变化数据与图形,且程序如下：
可以直接利用刚才所建立的关于变量n，r，b的函数
在command窗口里调用fun1函数
k=（0:
25）';
y1=fun1（25,0.0168,-1）;
y2=fun1（25,0.0055,-1）;
y3=fun1（25,-0.045,-1）;
round（[k,y1',y2',y3']）
plot（k,y1,'-',k,y2,':
',k,y3,'-.'）
axis（[0250150]）
xlabel（'年数'）;
ylabel（'山猫的数量'）;
title（'3种自然环境下25年的变化过程'）;
legend（'较好自然环境下','中等自然环境下','较差自然环境下'）;xlabel（'年数'）;
ylabel（'山猫的数量'）;
title（'3种自然环境下25年的变化过程'）;
legend（'较好自然环境下','中等自然环境下','较差自然环境下'）;
这样就可以得到数据（表3）和图形（图3）如下：
表3：
山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程（b=-1）
年数
较好自然环境下
（r=0.0168）
中等自然环境下
（r=0.0055）
较差自然环境下
（r=-0.045）
0
100
100
100
1
101
100
95
2
101
99
89
3
102
99
84
4
103
98
79
5
104
98
75
6
104
97
70
7
105
97
66
8
106
96
62
9
107
96
59
10
107
95
55
11
108
95
51
12
109
94
48
13
110
94
45
14
111
93
42
15
111
93
39
16
112
92
36
17
113
92
34
18
114
92
31
19
115
91
29
20
116
91
26
21
117
90
24
22
118
90
22
23
119
89
20
24
120
88
18
25
121
88
16
图3：
山猫数量在3种自然环境下25年的变化过程（b=-1）
结果分析：
由表3和图3我们可以看到，若每年捕获1只山猫，其数量仅在较好的自然环境下，是逐年增多的（但其增长速度相比同等自然环境下不捕获山猫的增长速度要小很多）；而在中等的自然环境和较差环境下都是逐年递减的，且随着时间的增长，照此发展，山猫终会灭绝。
第三问的求解：
据题意，可编写C++程序来进行求解.根据假设，要在较差的自然环境下，想要山猫的数量稳定在56只到64只之间，我们做了以下的C++程序：
#include
usingnamespacestd;
voidmain（）
{
longi,j;
floatsum;
for（i=0;i<6;i++）
{
sum=100;
for（j=0;j<100000;j++）
{
sum+=i;
sum=sum*0.955;
}
cout<<"sum="<if（（sum-60）<4&&（sum-60）>-4）
{
cout<cout<<"thenumberis:
"<break;
}
}
}
调试结果为：
每年要人工繁殖3只。
用Matlab计算较差环境中b=3条件下的山猫数量变化趋势，并使年数充分大（我们取200），可得上述条件下的山猫变化趋势如图：
可见，理论计算结果与Matlab计算结果是一致的。
取k=200代入，可得
，也与变化趋势图一致。
这样我们就得到在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，则每年需要人工繁殖3只山猫。
再结合前两问的结果可见，在不同的自然环境及人工干预下，山猫的数量变化趋势将大不相同。
我们可以根据不同的自然环境通过计算分析，选择合适的人工干预的程度，从而使生态稳定。
四、模型的评价及推广
模型的评价：
本题所涉及的时间变量为离散点，故所建立的模型为典型的差分方程模型，此模型简单直观的将山猫数量的演变过程刻画出来，并能预测其发展的最终趋势。
利用MATLAB软件，计算数据与描绘图形方便快捷，且图形形象生动。
但影响山猫数量的因素过于理想化，所得数据与图形，与实际结果还是有一些误差。
模型的推广：
此题所建的差分方程模型模型，运用广泛。
不仅可以运用在对其它各种物种的数量演变过程的预测，而且还可以运用在经济生活的各个方面。
如：
商品销售量的预测，减肥计划的制定等。
参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）.北京：
高等教育出版社，2003
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