课时作业十九 223 第2课时 二次函数与最大利润问题.docx

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课时作业十九223第2课时二次函数与最大利润问题

课时作业（十九）

[22.3　第2课时　二次函数与最大利润问题]　　　

一、选择题

1．某种服装的销售利润y（万元）与销售数量x（万件）之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的（　　）

A．最大值为5万元B．最大值为7万元

C．最小值为5万元D．最小值为7万元

2．某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为（　　）

A．1月和11月B．1月、11月和12月

C．1月D．1月至11月

3．某产品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每件每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（　　）

A．130元/个B．120元/个

C．110元/个D．100元/个

二、填空题

4．2018·贺州某种商品每件的进价为20元，经调查表明：

在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．

5．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出（350－10a）件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的定价应为________元．

6．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：

（1）月销量y（件）与售价x（元/件）的关系满足y＝－2x＋400；

（2）工商部门限制售价x满足70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：

①这种文化衫的月销量最小为100件；

②这种文化衫的月销量最大为260件；

③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；

④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．

其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都填上）

三、解答题

7．2017·十堰某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．经市场调查发现：

若这种牛奶每箱的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．

（1）写出y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；

（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶所获得的利润最大？

最大利润是多少元？

8．2017·潍坊工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度忽略不计）．

（1）在图19－K－1中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体的底面积为12dm2时，裁掉的正方形的边长是多少．

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，则当裁掉的正方形的边长为多少时，总费用最低？

最低费用为多少？

图19－K－1

9．2018·扬州改编“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在一次函数关系y＝－10x＋700.

（1）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，那么当销售单价为多少时，每天获取的利润w（元）最大？

最大利润是多少？

（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

10．2017·泰州怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，每份售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品每份的售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品每份的售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

数学建模宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：

y＝

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图19－K－2.工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x之间的函数解析式，并求出第几天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是多少.

图19－K－2

详解详析

[课堂达标]

1．B

2．B　[解析]由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，

∴y＝－（n－6）2＋25，

当n＝1时，y＝0；

当n＝11时，y＝0；

当n＝12时，y＜0.

故停产的月份是1月、11月和12月．

故选B.

3．B　[解析]设利润为y元，涨价x元，则有y＝（100＋x－90）（500－10x）＝－10（x－20）2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．

4．[答案]25

[解析]设利润为w元，则w＝（x－20）（30－x）＝－（x－25）2＋25.

∵20≤x≤30，

∴当x＝25时，二次函数有最大值25.

5．[答案]28

[解析]设商店所获利润为y元．根据题意，得

y＝（a－21）（350－10a）＝－10a2＋560a－7350＝－10（a－28）2＋490，

即当a＝28时，可获得最大利润．

又21×（1＋40%）＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a＝28符合要求．

故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．

6．[答案]①②③

[解析]由题意知，当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，

∵－2＜0，y随x的增大而减小，

∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；

当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；

设销售这种文化衫的月利润为W元，

则W＝（x－60）（－2x＋400）＝－2（x－130）2＋9800，

∵70≤x≤150，

∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2（70－130）2＋9800＝2600，故③正确；

当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误．

故答案为①②③.

7．解：

（1）根据题意，得y＝10x＋60.

由36－x≥24，得x≤12，

∴1≤x≤12，且x为整数，

即y＝10x＋60（1≤x≤12，且x为整数）．

（2）设每月所获得的利润为W元，

则W＝（36－x－24）（10x＋60）

＝－10x2＋60x＋720

＝－10（x－3）2＋810，

∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.

答：

每箱牛奶的定价为33元时，才能使每月销售牛奶所获得的利润最大，最大利润是810元．

8．解：

（1）如图所示．

设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得

（10－2x）（6－2x）＝12，即x2－8x＋12＝0，

解得x1＝2，x2＝6（舍去）．

所以当长方体的底面积为12dm2时，裁掉的正方形的边长为2dm.

（2）因为长方体的底面长不大于底面宽的5倍，所以10－2x≤5（6－2x），

所以0＜x≤2.5.

设总费用为w元，由题意可知：

w＝0.5×2x（16－4x）＋2（10－2x）（6－2x）

＝4x2－48x＋120＝4（x－6）2－24.

因为对称轴为直线x＝6，开口向上，所以当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，

所以当x＝2.5时，w最小值＝25.

所以当裁掉的正方形的边长为2.5dm时，总费用最低，最低费用为25元．

9．解：

（1）w＝（x－30）y＝（x－30）（－10x＋700）＝－10（x－50）2＋4000.

∵每天漆器笔筒的销售量不低于240件，

∴y＝－10x＋700≥240，解得x≤46.

∵当x＜50时，w随x的增大而增大，

∴当x＝46时，w有最大值，最大值＝－10×（46－50）2＋4000＝3840.

即当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．

（2）依题意，列方程

－10（x－50）2＋4000－150＝3600，

即（x－50）2＝25.

解得x1＝45，x2＝55.

由二次函数的图象可知不等式－10（x－50）2＋4000－150≥3600的解集为45≤x≤55.

∴该漆器笔筒销售单价x的范围为45≤x≤55.

10．解：

（1）设该店每天卖出A，B两种菜品分别为x份、y份，

根据题意，得

解得

20＋40＝60（份）．

答：

该店每天卖出这两种菜品共60份．

（2）设A种菜品每份的售价降0.5a元，即每天卖（20＋a）份，总利润为w元．因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品每天卖（40－a）份，每份售价提高0.5a元．

则w＝（20－14－0.5a）（20＋a）＋（18－14＋0.5a）（40－a）

＝（6－0.5a）（20＋a）＋（4＋0.5a）（40－a）

＝（－0.5a2－4a＋120）＋（－0.5a2＋16a＋160）

＝－a2＋12a＋280＝－（a－6）2＋316.

当a＝6时，w最大，w最大值＝316.

答：

这两种菜品一天的总利润最多是316元．

[素养提升]

解：

（1）令7.5x＝70，则x＝

＞4，不符合题意，

∴5x＋10＝70，解得x＝12.

答：

工人甲第12天生产的产品数量为70件．

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P＝40；

当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，

将（4，40），（14，50）代入，得

解得

∴P＝x＋36.

①当0≤x≤4时，W＝（60－40）·7.5x＝150x，

∵W随x的增大而增大，

∴当x＝4时，W最大＝600；

②当4＜x≤14时，W＝（60－x－36）（5x＋10）＝－5x2＋110x＋240＝－5（x－11）2＋845，

∴当x＝11时，W最大＝845.

∵845＞600，

∴当x＝11时，W取得最大值，最大值为845.

综上，W与x之间的函数解析式为W＝

第11天时，工人甲所创造的利润最大，最大利润是845元．