原创高二数学校本课程教材《生活中的数学》校本课程.docx
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原创高二数学校本课程教材《生活中的数学》校本课程
《生活中的数学》校本课程
序言
数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。
创新教学的先行者里斯特伯先生指出：
“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。
”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。
我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。
数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。
选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。
使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。
学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。
第一课：
让数学帮你理财
第二课：
导航的双曲线
第三课：
对称——自然美的基础
第四课：
对数螺线与蜘蛛网
第五课：
斐波那契数列
第六课：
蜂房中的数学
第七课：
龟背上的学问
第八课：
Music与数学
第九课：
几何就在你的身边
第十课：
巧用数学看现实
第一课：
让数学帮你理财
某银行为鼓励小朋友养成储蓄习惯，提供一个颇有心思的储蓄计划。
参加者除可有较高年息优惠外（见附表），更可以特价换取手表一只。
先不论以低价换表是否真的超值，但这种宣传方法颇具心思。
手表与户口连在一起，正好意味着利息随时间递增的关系。
储蓄计划优惠年息一览表
每月存款（港币）＄1，000
存期（月）
每年复息利率
到期存款（港币）
利息（港币）
到期本息金额（港币）
9
12
15
18
24
6.625%
7.125%
7.375%
7.75%
8.00%
9,000
12,000
15,000
18,000
24,000
252
473
759
1,146
2,106
9,252
12,473
15,759
19,146
26,106
银行的宣传小册子更注明十一岁至十七岁小朋友已可开个人户口。
这群“准客户”大致是接受中学教育的适龄儿童。
无论有兴趣参加与否，总希望他们或早或迟懂得储蓄计划背后的数学原理。
这个储蓄计划是以每月存入定额存款来计算利息，而存款期限愈长，利率则愈高。
为了更有效理解表中“到期本息金额”如何计算出来，且让我们设
为每月存款的金额，而
则为月息利率。
月息利率是由“每年复息利率”除以12而来的。
譬如说，存款期限为9个月，从表中得知每年复息利率是6.625%，因此月息利率为6.625%÷12，即约是0.5521%。
存款1个月后，到期本息金额：
存款2个月后，到期本息金额：
存款3个月后，到期本息金额：
余此类推，存款
个月后，到期本息金额
应为：
为了简化这数式，设
。
因此，
括号内的数式在数学上称为等比数列：
首项是x，公比是x。
利用公式，我们便可把
的数式写成：
。
现在就让我们运用这公式找出表中第一行的“到期本息金额”：
，
代入数式
，
（准确至最接近的整数）
表中其余的“到期本息金额”不如留给你算算，看看表中列的数字是否有错误吧。
第二课：
导航的双曲线
我们小时侯都曾梦想，长大以后要当上船长就好了。
在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗?
好，让我们的双曲线来帮助你吧。
它是大海的导航员。
先来看一看原理。
假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：
北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，多么温暖……
我站在广场上，听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后的半秒钟，又听到了第二声“金色的太阳”。
由于两个喇叭离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差。
再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?
实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了。
因此可以找到很多这样的点。
这些点就构成了双曲线的一支。
轮船航行在海上时，它就处于人的位置。
岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。
轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。
若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。
这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗?
船长们就是这样来导航的。
第三课：
对称——自然美的基础
在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。
它们引起人们的注意，令人赏心悦目。
每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。
仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。
花朵具有旋转对称的性征。
花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。
旋转时达到自相重合的最小角称为元角。
不同的花这个角不一样。
例如梅花为72°，水仙花为60°。
“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。
我国最早记载了雪花是六角星形。
其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。
既是中心对称，又是轴对称。
很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。
例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。
这种有趣的现象叫叶序。
向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。
无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。
在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。
第四课：
对数螺线与蜘蛛网
曾看过这样一则谜语:
“小小诸葛亮，稳坐军中帐。
摆下八卦阵，只等飞来将。
”动一动脑筋，这说的是什么呢?
原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。
我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。
而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗?
它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?
你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。
在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。
首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。
然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。
为继续穿针引线搭好了脚手架。
它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。
从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。
一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。
丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。
同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。
现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。
蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。
这是一条辅助的丝。
然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:
从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。
只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。
小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。
对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。
大家可别小看了对数螺线:
在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。
第五课：
斐波那契数列
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：
延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：
紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盏草
21………………………紫宛
34，55，84……………雏菊
（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
（4）斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。
这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。
此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗？
（5）菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。
对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。
斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列：
它们交错地或大于或小于黄金比
的值。
该数列的极限为
。
这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
第六课：
蜂房中的数学
蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分工合作,还会用舞蹈的形式告诉同伴:
哪里有花源,数量怎么样。
实际上,不仅如此,蜜蜂还是出色的建筑师。
它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。
蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的。
达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术,说它是:
天才的工程师。
法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构,在1712年,他写出了一篇关于蜂房结构的论文。
他测量后发现,每个蜂房的体积几乎都是0。
25立方厘米。
底部菱形的锐角是70度32分,钝角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是这样的精细。
物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题,它想推导出:
底部的菱形的两个互补的角是多大时,才能使得蜂房的容量达到最大,他没有把这项工作进行下去。
苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观察完全吻合的数据。
公元4世纪,数学家巴普士就告诉我们:
正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状,在其他条件相同的情况下,这种结构的容积最大,所用的材料最少。
他给出了严格的证明。
看来,我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了。
马克思也高度地评价它:
蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。
现在,许多建筑师开始模仿蜂房的结构,并把它们应用到建筑的实践中去。
第七课：
龟背上的学问
传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着图1所示的一个数字方阵。
这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：
“凡算之法，先识其位。
一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。
六不积算，五不单张。
”可译成现代的数字，如图2所示。
方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。
当时，人们以为是天神相助，治水有望了。
后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”（国外称为“拉丁方”），属于组合数学范畴。
使用整数1—9构成的3×3阶“拉丁方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分配到三行（或列）使得每行（或列）有同样的和，那么，每行（或列）的和应为45／3＝150
组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。
5名待业青年，有7项可供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢?
由于每个人的文化水平、兴趣爱好及性别等原因，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人都有一张志愿表，最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。
组合数学把每一种分配方案叫一种安排。
当然第一个问题是考虑安排的存在性，这就是存在问题；第二个问题是有多少种安排方法，这就是计数问题。
接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方案，这就是所谓的“最优化问题”。
存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。
如果你想了解更多的组合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。
第八课：
Music与数学
动人的音乐常给人以美妙的感受。
古人云：
余音绕梁，三日不绝，这说的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。
同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉却是迥然不同。
其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。
人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。
近代数学已经得出弦振动的频率公式是W
，这里，P是弦的材料的线密度；T是弦的张力，也就是张紧程度；L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。
那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？
人类经过长期的研究，发现它决定于两音的频率之比。
两音频率之比越简单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
首先，最简单之比是２：
１。
例如，一个音的频率是160、7赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹，这就是高八度音。
而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。
这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐的音乐：
260、7，2×260、7，22×260、7……
我们把它简记为C0，C1，C2，……，称为音名。
由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频率），因此又可将音乐简写为：
C0
C1
C2
C3
……
20
21
22
23
……
需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐的。
一般说来这些协和音频率之比是2M。
（其中M是自然数）
第九课：
几何就在你的身边
初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂；有的知识则似乎很“玄”，离我们很远!
其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。
当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢?
因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。
这说明：
物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。
当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗?
图1
图2
图3
何中叫“比较线段的大小；把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”；长方形的长与宽相等时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。
如果把正方形折成相等的两部分，除了图2中所示的四种折法外，你还能想到其他的折法吗?
不妨试试：
过四条折痕相交的那个点“·”，任意地折一条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗?
当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗？
有的是等边三角形的，有的是长方形或正方形的。
其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3。
这又将告诉我们几何中的一个重要结论（四边形的四个角的大小之和恰好等于360度），这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180度°又有着紧密的联系。
如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼合成一个图形，你能拼出6种不同的图形吗？
这里又包含了许许多多的几何知识。
比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：
等腰三角形可以分成两个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常要用到它！
第十课：
巧用数学看现实
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？
在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：
特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。
请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？
哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
面对问题我们并不能一目了然。
于是我们首先作了一个随机调查。
把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。
调查结果表明：
甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。
所以我们认为这个问题应该有几种答案。
一、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。
因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。
假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为280000元（14000÷5％=280000）。
所以由此可得：
（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。
（2）当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是14000元，优惠较大。
（3）当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的实惠大。
像这样的问题，我们在日常生活中随处可见。
例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相同，开始定的价也相同。
为了争取更多的用户，两站分别推出优惠政策。
甲站的办法是实行七五折错售，乙站的办法是对客户自第二次换气以后以7折销售。
两站的优惠期限都是一年。
你作为用户，应该选哪家好？
这个问题与前面的问题有很大相同之处。
只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。
随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩。
买与卖，存款与保险，股票与债券，……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与利率，统计与概率。
运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。
作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题．这样才能更好地适应社会的发展和需要。
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