中考数学找规律题型汇总及解析教学内容.docx

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中考数学找规律题型汇总及解析教学内容

中考数学找规律题型扩展及解析

“有比较才有鉴别”。

通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

揭示的规律，常常包含着事物的序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（实为等差数列）：

对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：

a1+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。

然后再简化代数式a+（n-1）b。

例：

4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：

第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：

4+（n-1）6＝6n－2

（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：

1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：

2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.

（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是100

，第n个数是n

。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：

0，3，8，15，24，……。

序列号：

1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是

-1，第100项是

—1

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

例如：

1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（

），

1，2，3，4，5．。

。

。

。

。

。

，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）看例题：

A：

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

答案与3有关且是n的3次幂，即：

n

+1

B：

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：

1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为

。

再看原数列是同时减2得到的新数列，则在

的基础上加2，得到原数列第n项

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：

4，16，36，64，？

，144，196，…？

（第一百个数）

同除以4后可得新数列：

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n

，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n

，则求出第一百个数为4*100

=40000

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法

（一）解题。

2、如不相等，综合运用技巧

（一）、

（二）、（三）找规律

3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧

（一）、

（二）、（三）找出新数列的规律

4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法

（二）解题

四、练习题

例1：

一道初中数学找规律题

0，3，8，15，24，······2，5，10，17，26，·····0，6，16，30，48······

（1）第一组有什么规律？

答：

从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。

（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

答：

第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：

位置数平方减1加2，得位置数平方加1即

。

第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：

（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？

答：

用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=194

2、观察下面两行数

2，4，8，16，32，64，．．．

（1）

5，7，11，19，35，67．．．

（2）

根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。

（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。

）

解：

第一组可以看出是2

，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2

+3，

则第一组第十个数是2

=1024，第二组第十个数是2

+3得1027，两项相加得2051。

3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？

解：

从数列中可以看出规律即：

1，1，1，2，1，3，1，4，1，5

，…….，每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5……，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有1001个是黑色的。

4、

=8

=16

=24……用含有N的代数式表示规律

解：

被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n-1+2,得2n+1，则用含有n的代数式表示为：

=8n。

写出两个连续自然数的平方差为888的等式

解：

通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：

（222+1）

-（222-1）

=888

五、对于数表

1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律

2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

　六、数字推理基本类型

　　按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：

　　1.和差关系。

又分为等差、移动求和或差两种。

（1）等差关系。

　　12，20，30，42，（56）

　　127，112，97，82，（67）

　　3，4，7，12，（19），28

（2）移动求和或差。

从第三项起，每一项都是前两项之和或差。

　　1，2，3，5，（8），13

　　A.9B.11C.8　D.7

　　选C。

1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13

　　0，1，1，2，4，7，13，（24）

　　A.22　B.23　C.24　D.25

　　选C。

注意此题为前三项之和等于下一项。

一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。

　　5，3，2，1，1，（0）

　　A.-3B.-2C.0　D.2

　　选C。

前两项相减得到第三项。

2.乘除关系。

又分为等比、移动求积或商两种

（1）等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。

　　8，12，18，27，（40.5）后项与前项之比为1.5。

　　6，6，9，18，45，（135）后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3

（2）移动求积或商关系。

从第三项起，每一项都是前两项之积或商。

　　2，5，10，50，（500）

　　100，50，2，25，（2/25）

　　3，4，6，12，36，（216）从第三项起，第三项为前两项之积除以2

　　1，7，8，57，（457）第三项为前两项之积加1

3.平方关系

　　1，4，9，16，25，（36），49为位置数的平方。

　　66，83，102，123，（146），看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2

4.立方关系

　　1，8，27，（81），125位置数的立方。

　　3，10，29，（83），127　位置数的立方加2

　　0，1，2，9，（730）　后项为前项的立方加1

　5.分数数列。

关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案

（

）分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：

　　2/31/22/51/3　（1/4）　将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：

2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8…….可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：

，分解后得：

6.、质数数列

　　2，3，5，（7），11质数数列

　　4，6，10，14，22，（26）每项除以2得到质数数列

　　20，22，25，30，37，（48）后项与前项相减得质数数列。

7.、双重数列。

又分为三种：

（1）每两项为一组，如

　　1，3，3，9，5，15，7，（21）　第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3

　　2，5，7，10，9，12，10，（13）每两项中后项减前项之差为3

　　1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，（104）　两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2

（2）两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。

　　22，39，25，38，31，37，40，36，（52）由两个数列，22，25，31，40，（）和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。

　　34，36，35，35，（36），34，37，（33）由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减

　　（3）数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。

　　2.01，　4.03，8.04，16.07，（32.11）整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。

双重数列难题也较少。

能看出是双重数列，题目一般已经解出。

特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。

8.、组合数列。

最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。

需要熟