高中复数知识点及相关练习.docx
《高中复数知识点及相关练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中复数知识点及相关练习.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中复数知识点及相关练习
复数
复数基础知识
一、复数的基本概念
（1）形如a+bi的数叫做复数（其中
）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即
.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部
实数：
当b=0时复数a+bi为实数
虚数：
当
时的复数a+bi为虚数；
纯虚数：
当a=0且
时的复数a+bi为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
（3）共轭复数：
的共轭记作
；
（4）复平面：
建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
，对应点坐标为
（5）复数的模：
对于复数
，把
叫做复数z的模；
二、复数的基本运算
设
，
（1）加法：
；
（2）减法：
；
（3）乘法：
特别
。
（4）幂运算：
三、复数的化简
（
是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：
对于
，当
时z为实数；当z为纯虚数是z可设为
进一步建立方程求解
一、知识梳理
1、复数的有关概念
（1）复数的概念：
形如
的数叫做复数，其中
分别是它的。
若，则
为实数，若，则
为虚数，若，则
为纯虚数。
（2）复数相等：
。
（3）共轭复数：
与
共轭
。
（4）复平面：
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，
轴叫做，
轴叫做。
实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示。
（5）复数的模：
向量
的模
叫做复数
的模，记作：
，即
。
2、复数的几何意义
（1）复数
复平面上的点
。
（2）复数
复平面上的向量
。
3、复数的运算
（1）复数的四则运算
设
，
，则
①加法：
；
②减法：
；
③乘法：
=；
④除法：
==（
）。
（注：
分母实数化）
（2）复数的运算定律：
；
；
；
；
=；
；
=。
4、几个重要的结论
（1）
；
（2）
；
（3）若z为虚数，则
。
复数最重要的一点就是：
记住
例1：
已知
，求
（1）当
为何值时z为实数
（2）当
为何值时z为纯虚数
（3）当
为何值时z为虚数
（4）当
满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
例2：
已知
；
，求当
为何值时
例3：
已知
，求
，
；
变式：
1
是虚数单位,
等于（）
A．iB．-iC．1D．-1
变式2：
已知
是虚数单位，
（）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ．
变式3：
已知
是虚数单位，复数
=（）
A
B
C
D
变式4：
已知i是虚数单位，复数
（）
（A）1＋i（B）5＋5i（C）-5-5i（D）-1－i
变式5：
已知
是虚数单位，则
（）
（A）
（B）1（C）
（D）
变式6：
已知
=2+i,则复数z=（）
（A）-1+3i（B）1-3i（C）3+i（D）3-i
变式7：
i是虚数单位，若
，则乘积
的值是
（A）－15（B）－3（C）3（D）15
真题实战：
1．（2005）若
，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
=（）
A．0B．2C．
D．5
2．（2005）已知向量
则x=.
3.（2007）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=
A．-2B．
C.
D．2
4．（2008）已知
，复数
（
是虚数单位），则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
5.（2009）下列n的取值中，使
=1（i是虚数单位）的是
A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5
6．（2011）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则
A．-iB．iC．-1D．1
7.（2012）设i为虚数单位，则复数
=（）
A.3B.1C.-5D.-6
8．（2013）若
，
，则复数
的模是
A．2B．3C．4D．5
二、例题分析
类型一：
复数的有关概念及复数的几何意义
【例1】当实数
为何值时，
（1）为纯虚数；
（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。
类型二：
复数相等
【例2】已知集合
，集合
同时满足
，求整数
的值。
【例3】已知
为共轭复数，且
，求
。
练习：
已知复数
的共轭复数为
，且满足
，求
。
类型三：
复数的代数运算
【例4】计算：
（1）
；
（2）
；（3）
；
（4）
。
类型四：
复数加减法的几何意义
【例5】如图，平行四边形
，顶点
分别表示
，试求：
（1）
、
表示的复数；
（2）对角线
所表示的复数。
练习：
若
为复数，且
，求
的最大值。
类型五：
复数综合
【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数
。
（1）
；
（2）
的实部和虚部都是整数。
练习：
已知虚数
使得
和
都为实数，求
。
三、巩固提高
1、
的值是（）
AiB-iC1D–1
2、当
时，
的值是（）
A1B-1CiD–i
3、
等于（）
A0B1C-1Di
4、设
、
、
、
，若
为实数，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5、
（）
（A）
（B）
（C）1（D）
6、
（）
A．
B．－
C．
D．－
7、对于
，下列结论成立的是（）
A
是零B
是纯虚数C
是正实数D
是负实数
8、已知
，那么复数
在复平面内对应的点位于（）
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
9、设非零复数
满足
，则代数式
的值是（）
A
B－1C1D0
10、若
，则|z|的最大值是（）
A3B7C9D5
11、复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转
，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到点B，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为（）
A－1B1CiD－i
12、设复数：
为实数，则
（）A．－2B．－1C．1D．2
13、若复数z满足方程
，则
.
14、设复数
则复数
的虚部等于.
15、已知
.求
的值.
16、已知复数
，复数
满足
，则复数
。
17、知
，求使
的最小正整数
.
18、计算：
19、设
，
，试求满足
的最小正整
的值。
20、是否存在复数
，使其满足
，如果存在，求出
的值，如果不存在，说明理由
21、设等比数列
其中
（
，且
）
（1）求
的值；
（2）试求使
的最小自然数n
（3）对
（2）中的自然数
，求
…
的值。
22、已知
，且复数
的虚部减去它的实部所得的差等于
，求复数
的模；
23、已知复数
当
，求实数
的取值范围。
24、在复数范围内解方程
（i为虚数单位）
升级会员 