全国普通高等学校招生统一考试文科数学天津卷解析版详细答案.docx
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全国普通高等学校招生统一考试文科数学天津卷解析版详细答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）．
·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·棱锥的体积公式
，其中
表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.
一．选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：
由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：
由并集的定义可得：
，
结合交集的定义可知：
.
本题选择C选项.
点睛：
本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
2.设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
A.6B.19
C.21D.45
【答案】C
【解析】分析：
由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.
详解：
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：
，可得点A的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
.
本题选择C选项.
点睛：
求线性目标函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
3.设
，则“
”是“
”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：
求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：
求解不等式
可得
，
求解绝对值不等式
可得
或
，
据此可知：
“
”是“
”的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：
本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为20，则输出
的值为
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】分析：
由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解：
结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：
，
，结果为整数，执行
，
，此时不满足
；
，结果不为整数，执行
，此时不满足
；
，结果为整数，执行
，
，此时满足
；
跳出循环，输出
.
本题选择B选项.
点睛：
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
（1）要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
（2）要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
（3）按照题目的要求完成解答并验证．
5.已知
，则
的大小关系为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：
由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：
由题意可知：
，即
，
，即
，
，即
，
综上可得：
.
本题选择D选项.
点睛：
对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6.将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数
A.在区间
上单调递增B.在区间
上单调递减
C.在区间
上单调递增D.在区间
上单调递减
【答案】A
【解析】分析：
首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解：
由函数
图象平移变换的性质可知：
将
的图象向右平移
个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：
，
即
，
令
可得函数的一个单调递增区间为
，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：
，
即
，
令
可得函数的一个单调递减区间为
，选项C，D错误；
本题选择A选项.
点睛：
本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于
轴的直线与双曲线交于
两点.设
到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
和
，且
则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：
由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：
设双曲线的右焦点坐标为
（c>0），则
，
由
可得：
，
不妨设：
，双曲线的一条渐近线方程为
，
据此可得：
，
，
则
，则
，
双曲线的离心率：
，
据此可得：
，则双曲线的方程为
.
本题选择A选项.
点睛：
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
，再由条件求出λ的值即可.
8.在如图的平面图形中，已知
则
的值为
A.
B.
C.
D.0
【答案】C
【解析】分析：
连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：
如图所示，连结MN，
由
可知点
分别为线段
上靠近点
的三等分点，
则
，
由题意可知：
，
，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：
求两个向量的数量积有三种方法：
利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.i是虚数单位，复数
___________.
【答案】4–i
【解析】分析：
由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：
由复数的运算法则得：
.
点睛：
本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.已知函数f（x）=exlnx，
为f（x）的导函数，则
的值为__________．
【答案】e
【解析】分析：
首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：
由函数的解析式可得：
，
则：
.即
的值为e.
点睛：
本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
【答案】
【解析】分析：
由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.
详解：
如图所示，连结
，交
于点
，很明显
平面
，
则
是四棱锥的高，且
，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为：
.
点睛：
本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】分析：
由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：
设圆的方程为
，
圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：
，
则圆的方程为
.
点睛：
求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：
具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）待定系数法：
根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
13.已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+
的最小值为__________．
【答案】
【解析】分析：
由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.
详解：
由
可知
，
且：
，因为对于任意x，
恒成立，
结合均值不等式的结论可得：
.
当且仅当
，即
时等号成立.
综上可得
的最小值为
.
点睛：
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14.已知a∈R，函数
若对任意x∈［–3，+
），f（x）≤
恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】［
，2］
【解析】分析：
由题意分类讨论
和
两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
详解：
分类讨论：
①当
时，
即：
，
整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
时，
，则
；
②当
时，
即：
，整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
或
时，
，则
；
综合①②可得
的取值范围是
.
学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...
三．解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）
．
【解析】分析：
（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii
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