高考数学一轮复习解三角形学案理.docx

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高考数学一轮复习解三角形学案理

2019-2020年高考数学一轮复习解三角形学案理

知识梳理：

1、直角三角形各元素之间的关系:

如图1,在RtABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。

（1）、三边之间的关系：

+=；（勾股定理）

（2）、锐角之间的关系：

A+B=

（3）、边角之间的关系：

（锐角三角函数的定义）：

sinA=cosB=sinB=cosA=,tanA

2、斜三角形各元素之间的关系：

如图2，ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）、三角形内角之间的关系：

A+B+C=；sin（A+B）=sinC,

cos（A+B）=-cosC;tan（A+B）=-tanC

sin；cos；

（2）、三边之间的关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）、正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即

=2R（2R为外接圆的直径）

正弦定理变形：

（4）、余弦定理：

余弦定理变形：

3、三角形的面积公式：

（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）

（2）、=absinC=bcsinA=casinB

（3）、=2=

（4）、=；（高考了解）

（5）、=rs（r为内切圆半径，）

4、解三角形：

由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：

若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。

5、实际问题中的应用。

（1）、仰角和俯角：

（2）、方位角：

（3）、坡度角：

（4）、距离、角度的测量

测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。

二、题型探究

探究一：

利用正余弦定理解三角形

例1:

（xx安徽）（本小题满分12分）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求的值.

探究二:

求三角形的面积

例3：

已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，A，B，C成等差数列，cosA=，b=

（1）、求sinC的值

（2）、求的面积。

例4：

已知三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆的半径为1，且有

sinA-sinC+cos（A-C）=

（1）、求A，B，C大小；

例5：

已知三个内角A，B，C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明为正三角形。

探究三：

判断三角形的形状

例5：

在中，已知asinA=bsinB，试判断三角形的形状；

例6：

在中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状；

例7：

在中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状；

探究四：

正余定理的实际应用

（xx上海）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.

（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？

三、方法提升：

（1）、解斜三角形的常规思维方法：

已知两角和一边，可先用正弦定理解；

已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；

已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况；

已知三边，用余弦定理。

（2）、三角形的内切圆半径R=，特别地，=

（3）、三角形中中射影定理

（4）、两内角与正弦关系：

在中，A

（5）、三角形中的重要结论：

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC（斜三角形）

（6）、锐角三角形中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC;tanAtanBtanC>1

四、反思感悟

五、课时作业

正弦、余弦定理的应用

一、选择题（每小题6分，共60分）

1在△ABC中，“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°，，那么满足条件的△ABC（）

A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定

3在三角形中,如果,那么这个三角形是（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形

4已知中，，，，那么角等于（）

A．B．C．D．

5的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

A．B．C．D．

6在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=,a=,b=1，则c=（）

A1B2C—1D

7在中，AB=3，AC=2，BC=，则（）

A．B．C．D．

8在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为（）

A.B.C.或D.或

9设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（）

A．a≥3B．a＞－1C．－1＜a≤3D．a＞0

10在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A

A．B．C．D．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

11在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则

A＝

12在△ABC中,若B=300，AB=2，AC=2，则△ABC的面积S是

13△ABC的内角的对边分别为，若，则

16在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求.

17在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积

15解：

（

）由题意得，，

两式相减，得．（

）由的面积，得，

，．

16解：

（1）

，又解得．，是锐角．．

（2），，．

又．．

．

17解：

（Ⅰ）由余弦定理得，，又，得．

2019-2020年高考数学一轮复习解三角形教案理

知识梳理：

1、直角三角形各元素之间的关系:

如图1,在RtABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。

（1）、三边之间的关系：

+=；（勾股定理）

（2）、锐角之间的关系：

A+B=

（3）、边角之间的关系：

（锐角三角函数的定义）：

sinA=cosB=sinB=cosA=,tanA

2、斜三角形各元素之间的关系：

如图2，ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）、三角形内角之间的关系：

A+B+C=；sin（A+B）=sinC,

cos（A+B）=-cosC;tan（A+B）=-tanC

sin；cos；

（2）、三边之间的关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）、正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即

=2R（2R为外接圆的直径）

正弦定理变形：

a=2R；；

；；；

a：

b：

c=

（4）、余弦定理：

=-2bccosA;=-2accosB;-2abcosC;

余弦定理变形：

cosA=;cosB=;cosC=

3、三角形的面积公式：

（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）

（2）、=absinC=bcsinA=casinB

（3）、=2=

（4）、=；

（5）、=rs（r为内切圆半径，）

4、解三角形：

由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：

若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。

5、实际问题中的应用。

（1）、仰角和俯角：

（2）、方位角：

指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。

（3）、坡度角：

坡面与水平面所成的二面角的度数。

（4）、距离、角度的测量

测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。

二、题型探究

探究一：

利用正余弦定理解三角形

例1:

（xx安徽）（本小题满分12分）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求的值.

（Ⅰ）因为，所以

．

由正、余弦定理得．

因为，，所以，．

（Ⅱ）由余弦定理得

．

由于，所以

．

故

例2:

在中，已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，已知a，b，c成等比数列，且-=ac-bc，求A及（,）

探究二:

求三角形的面积

例3：

已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，A，B，C成等差数列，cosA=，b=

（1）、求sinC的值

（2）、求的面积。

例4：

已知三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆的半径为1，且有

sinA-sinC+cos（A-C）=

（1）、求A，B，C大小；

因为三个内角A、B、C成等差数列，所以B=sinA-sinC=2cos,所以

=,所以A-C=又A+C=12，所以A=，B=C=，

（2）、求的面积。

=2=

例5：

已知三个内角A，B，C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明为正三角形。

探究三：

判断三角形的形状

例5：

在中，已知asinA=bsinB，试判断三角形的形状；

例6：

在中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状；

例7：

在中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状；

探究四：

正余定理的实际应用

（xx上海）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.

（3）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（4）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？

【解析】

（1）.

三、方法提升：

（1）、解斜三角形的常规思维方法：

已知两角和一边，可先用正弦定理解；

已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；

已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况；

已知三边，用余弦定理。

（2）、三角形的内切圆半径R=，特别地，=

（3）、三角形中中射影定理

（4）、两内角与正弦关系：

在中，A

（5）、三角形中的重要结论：

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC（斜三角形）

（6）、锐角三角形中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC;tanAtanBtanC>1

四、反思感悟

五、课时作业

正弦、余弦定理的应用

一、选择题（每小题6分，共60分）

1在△ABC中，“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°，，那么满足条件的△ABC（）

A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定

3在三角形中,如果,那么这个三角形是（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形

4已知中，，，，那么角等于（）

A．B．C．D．

5的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

A．B．C．D．

6在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=,a=,b=1，则c=（）

A1B2C—1D

7在中，AB=3，AC=2，BC=，则（）

A．B．C．D．

8在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为（）

A.B.C.或D.或

9设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（）

A．a≥3B．a＞－1C．－1＜a≤3D．a＞0

10在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A

A．B．C．D．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

11在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则

A＝

12在△ABC中,若B=300，AB=2，AC=2，则△ABC的面积S是

13△ABC的内角的对边分别为，若，则

14在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B=时，BC的长取得最大值.

三、解答题（15、16、17题每题16分，18题18分，共66分）

15已知的周长为，且．

（

）求边的长；（

）若的面积为，求角的度数．

16在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求.

17在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积

正余弦定理的应用参考答案

15解：

（

）由题意得，，

两式相减，得．（

）由的面积，得，

，．

16解：

（1）

，又解得．，是锐角．．

17解：

（Ⅰ）由余弦定理得，，又，得．

（Ⅱ）已知条件化为，联立方程组解得，．所以的面积．