八年级上册数学同步培优第1讲 三角形尖子班.docx

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八年级上册数学同步培优第1讲三角形尖子班

第1讲三角形

知识点1三角形的三边关系

1、三角形三条边之间的关系：

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．

2、解题技巧：

“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”

【典例】

1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：

|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．

【方法总结】

本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：

1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：

①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|=a+b﹣c

②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）

2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。

a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。

【随堂练习】

1．（2018春•宽城区期末）已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c．

（1）第三边c的取值范围是______．

（2）若第三边c的长为偶数，则c的值为______．

（3）若a＜b＜c，则c的取值范围是_______．

2．（2018春•沈丘县期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：

分米）的不同规格的三角形木框．

（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有_____种．

（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？

（忽略接头）

知识点2三角形的中线

三角形的中线：

在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．

三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。

【典例】

1.如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若

的面积是14，求△ABC的面积？

【方法总结】

本题已知：

A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，所以我们连接AB1，BC1，CA1，使A1B、B1C、C1A成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到

与△ABC面积的关系。

【随堂练习】

1．（2018春•抚宁区期末）如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为（　　）

A．2B．3C．4D．6

2．（2017秋•武清区期末）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=_____cm．

知识点3三角形的高线

1、三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．

2、三角形的面积：

（1）三角形的面积：

底与高乘积的一半

（2）等底等高的两个三角形面积相等

（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比

【典例】

1.如图，△ABC中，AB=AC，CG⊥AB于G，P为线段BC上的一动点，PK⊥AB于K，PM⊥AC于M，探究线段PK、PM与CG之间的数量关系．

【方法总结】

　本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：

连接AP，可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积，根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系．

【随堂练习】

1．（2018•周村区二模）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2018春•九台区期末）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是_____．

知识点4三角形的角平分线

1、三角形的角平分线：

在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．

2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。

3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。

【典例】

1.已知△ABC，如图，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别在三角形的角平分线上，则∠D、∠A的关系为_________

【方法总结】

角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角之间的关系。

此题可记住结论：

当BD、CD是三角形ABC的角平分线时，

【随堂练习】

1．（2016春•盐城校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=42°，∠C=70°，求∠AEC和∠DAE的度数．

2．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：

∠CFE=∠CEF．

知识点5三角形的内角和定理

三角形内角和定理：

三角形三个内角和等于180°

【典例】

1.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，∠DAE=

∠BAC，求∠BAC的度数.

【方法总结】

题目中没有给出角的度数，但是给了角度之间的关系，可以设未知数，用未知数来表示三角形中的角，利用三角形内角和为180°建立等量关系，求得未知数和所要求的角。

【随堂练习】

1．（2017秋•宁城县期末）当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为25°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为_____．

2．（2018春•宝应县期末）如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为_____°．

3．（2018春•江都区期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2=100°，则∠A的度数是____度．

知识点6三角形的外角性质

1、三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．

2、三角形外角的性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

3、燕尾形

结论：

【典例】

1.已知△ABC，若D点是△ABC外一点，位置如图所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，则∠D、∠A的关系为________

【方法总结】

本题要求∠D与∠A的关系，可以从两个三角形的外角入手，由三角形外角性质可得：

∠ACE=∠A+∠ABC①，∠DCE=∠D+∠DBE②，由①-2×②，可得

2.如图，求证：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．

【方法总结】

本题求七角形各角的度数和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把这七个角凑到一个三角形里，再根据三角形的内角和等于180°求解

【随堂练习】

1．（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（　　）

A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β

2.（2018春•沙河市期末）探究与发现：

有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．请写出∠BDC与∠A+∠ABD+∠ACD之间的数量关系，并说明理由．

应用：

某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

3．（2018春•内江期末）如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E

（1）填空：

①如图1，若∠B=60°，则∠E=____；

②如图2，若∠B=90°，则∠E=_____；

（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；

（3）如图4，仿照

（2）中的方法，在

（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．

4．（2018春•灌云县期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

【习题回顾】已知：

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：

∠CFE=∠CEF；

【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？

说明理由；

【探究廷伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．

综合运用

1.如图，有一块三角形试验地，现引进四种良种进行比较实验，要将这块地分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案．

2.如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长度.

3.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC=8cm2，求△CEF的面积．

4.已知：

如图，△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=180°

5.如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数.

6.如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=

∠3，BE平分∠ABC,求∠4的度数．

7.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．

（1）若∠A=76°，求∠BOC的度数；

（2）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．