根式的运算技巧.docx
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根式的运算技巧
根式的运算
平方根与立方根
一、知识要点
1、平方根:
⑴、定义:
如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“
”(a称为被开方数)。
⑵、性质:
正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“
”。
2、立方根:
⑴、定义:
如果x3=a,则x叫做a的立方根,记作“
”(a称为被开方数)。
⑵、性质:
正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):
求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、
本身为非负数,即
≥0;
有意义的条件是a≥0。
4、公式:
⑴(
)2=a(a≥0);⑵
=
(a取任何数)。
5、非负数的重要性质:
若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
例1求下列各数的平方根和算术平方根
(1)
;
(2)
;(3)
;⑷
例2求下列各式的值
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
.
(5)
,(6)
,(7)
(8)
例3、求下列各数的立方根:
⑴343;⑵
;⑶0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道,当a≥0时,a的平方根是±
,即a是非负数.
例4、若
求yx的立方根.
练习:
已知
求
的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道,当a≥0时,a的平方根是±
,而
例5、已知:
一个正数的平方根是2a-1与2-a,求a的平方的相反数的立方根.
练习:
若
和
是数
的平方根,求
的值.
四、巧解方程
例6、解方程
(1)(x+1)2=36
(2)27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道
即a=0时其值最小,换句话说
的最小值是零.
例4、已知:
y=
当a、b取不同的值时,y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.
练习:
1、若一个数的平方根是
,则这个数的立方根是().
A.2B.
2C.4D.
4
2、144的算术平方根是,
的平方根是;
3、若
的平方根是
和
,则
=.
4、
=,
的立方根是;
5、7的平方根为,
=;
6、一个数的平方是9,则这个数是,一个数的立方根是1,则这个数是;
7、平方数是它本身的数是;平方数是它的相反数的数是;
8、当x=时,
有意义;当x=时,
有意义;
9、若
,则x=;若
,则n=;
10、若
,则x=;若
,则x;
11、
的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____
12、解方程:
(2)
(3)
(4)
13、已知
,求xyz的值。
14、若
,求
的值.
15、已知:
x-2的平方根是±2, 2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.
16、若
,求xy的值。
二次根式
一、知识点
1.二次根式:
式子
(
≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式:
必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质:
(1)(
)2=
(
≥0);
(2)
5.二次根式的运算:
⑴二次根式的加减运算:
先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算:
①
=
(
≥0,b≥0);②
【例题讲解】
一、利用二次根式的双重非负性来解题(
(a≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
)
例1:
x取何值时,下列各式在实数范围内有意义。
(1)
(2)
(3)
(4)
.
例2:
若
,则
=_____________;
若
,则
【基础训练】
1、下列各式中一定是二次根式的是()。
A、
;B、
;C、
;D、
2、若
,则x的取值范围是
3、若
,则x的取值范围是。
4、若
是一个正整数,则正整数m的最小值是________.
5、设m、n满足
,则
=。
6、若三角形的三边a、b、c满足
=0,则第三边c的取值范围是
7、若
,且
时,则()
A、
B、
C、
D、
二、利用二次根式的性质
=|a|=
(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题
【例题讲解】
例1:
已知
=-x
,则( )
A.x≤0 B.x≤-3 C.x≥-3 D.-3≤x≤0
例2:
化简
的结果为()
A、
;B、
;C、
D、
【基础训练】
1、已知a
的正确结果是( )
A.
B.
C.
D.
2、若化简|1-x|-
的结果为2x-5则()
A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4
3、已知a,b,c为三角形的三边,则
=
4、化简
的结果是()
A.
B.
C.
D.
5、已知:
=1,则
的取值范围是()。
A、
;B、
;C、
或1;D、
三、二次根式的化简与计算(主要依据是二次根式的性质:
(
)2=a(a≥0),即
以及混合运算法则)
【例题讲解】
(一)化简与求值
例1:
把下列各式化成最简二次根式:
(1)
(2)
(3)
(4)
例二:
计算:
2
【基础训练】
1、下列哪些是同类二次根式:
(1)
,
,
,
,
,
,
;
(2)
,
,a
2、计算下列各题:
(1)6
(2)
;(3)
(4)
(5)-
3、已知
,则x等于()A.4B.±2C.2D.±4
4、
+
+
+…+
(二)先化简,后求值:
1.直接代入法:
已知
求
(1)
(2)
2.变形代入法:
(1)变条件:
①已知:
,求
的值。
②.已知:
x=
,求3x2-5xy+3y2的值
(2)变结论:
1、设
=a,
=b,则
=。
2、已知
,求
。
3、已知
,
,
(1)求
的值
(2)求
的值
四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算
-2的值在哪两个数之间( )A.1~2B.2~3C.3~4D.4~5
2.若
的整数部分是a,小数部分是b,则
3.已知9+
的小数部分分别是a和b,求ab-3a+4b+8的值
4.若a,b为有理数,且
+
+
=a+b
,则b
=.
五、二次根式的比较大小
(1)
(2)-5
(3)
(4)设a=
则()
A.
B.
C.
D.
六、实数范围内因式分解:
9x2-5y24x4-4x2+1x4+x2-6
练习:
1、若
,则xy的值为()
A.
B.
C.
D.
2、若,则
.
3、计算:
(1)
(2
(3)
.(4)
.
4、先将
÷
化简,然后自选一个合适的x值,代入化简后的式子求值。
5、如图,实数
、
在数轴上的位置,
化简:
6、若
,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7、如图,数轴上
两点表示的数分别为1和
,点
关于点
的对称点为点
,则点
所表示的数是
A.
B.
C.
D.
8、已知:
,求
的值。
9、已知:
为实数,且
,化简:
。
10、已知
11、先阅读下列的解答过程,然后作答:
有这样一类题目:
将
化简,若你能找到两个数
和
,使
且
,
则
可变为
,即变成
开方,从而使得
化简。
例如:
=
=
,
∴
请仿照上例解下列问题:
(1)
;
(2)
二次根式运算的技巧
二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的,但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法,可使问题化繁为简,易于计算。
下面举例说明二次根式的运算技巧:
一、巧移因式法
例1、计算
分析:
将
根号外的因式移到根号内,然后用平方差公式计算比较简便,或先把
化简,然后利用平方差公式计算
解:
原式=
=
=18-48
=-30
二、巧提公因数法
例2、计算
分析:
∵2=
∴
中有公因数
,提出公因数
后,可用平方差公式计算
解:
原式=
=
=
=
(25-6)
=19
三、公式法
例3、计算
分析:
巧分组,出奇制胜,整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用,本题用平方差公式来计算很简便
解:
原式=
=
=
=
四、因式分解法
例4、计算
分析:
本题若直接按乘除法则计算,显然很麻烦,若适当分解因式约去公因式,则运算很简便
解:
原式=
=
=
五、拆项法
例5、化简
分析:
本题若直接计算显然很麻烦,若仔细观察将分子拆项,则计算会很简便
解:
原式=
=
=
=
六、配方法
例6、计算
分析:
此题是双二次根式的加减,必须把复合二次根式化为一般二次根式,可将根号里的式子化成完全平方式,使问题便于计算
解:
原式=
=
=-5
七、整体代入,别开生面
例5.已知
,求下列各式的值。
(1)
(2)
分析:
根据x、y值的特点,可以求得
,如果能将所求的值的式子变形为关于
或xy的式子,再代入求值要比直接代入求值简单得多。
解:
因为
所以
(1)
(2)
(也可以将
变为
来求)
八、巧换元,干净利索
例6.计算
分析:
此算式中的两个公式互为倒数,若设
,
则原式
而
原式
解:
设
则
所以原式
例7.计算
分析:
有两种方法,一种换元,一种配方。
解法1:
设
两边平方
因为
所以
即
解法2:
原式
所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨,能否找到运算技巧,达到事半功倍效果
二次根式的运算测试题
姓名班级学号
一.选择题(本题30分,每小题3分):
1.化简
-
(1-
)的结果是( )
A.3B.-3C.
D.-
2.计算(
-2
+
)×
+
的结果是( )
A.11
B.15
C.21D.24
3.计算(3
+5
)×(3
-5
)的结果是( )
A.-57B.57C.-53D.53
4.计算
-
的结果是( )
A.2B.4C.2
D.4
5.
×(
-
)+
的值是________;
6.化简:
×(
-
)-