专题 天体运动的四个热点问题.docx

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专题天体运动的四个热点问题

专题　天体运动的“四个热点”问题

　双星或多星模型

1.双星模型

（1）定义：

绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图1所示。

图1

（2）特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

＝m1ω

r1，

＝m2ω

r2

②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L

（3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即

＝

。

2.多星模型

模型

三星模型（正三角形排列）

三星模型（直线等间距排列）

四星模型

图示

向心力的来源

另外两星球对其万有引力的合力

另外两星球对其万有引力的合力

另外三星球对其万有引力的合力

【例1】（多选）（2018·全国Ⅰ卷，20）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（　　）

A.质量之积B.质量之和

C.速率之和D.各自的自转角速度

解析　由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝

s，两中子星的角速度均为ω＝

，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有G

＝m1ω2r1、G

＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400km，解得m1＋m2＝

，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω（r1＋r2）＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。

答案　BC

1.（2019·吉林模拟）我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位。

宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心匀速转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且

＝k（k＞1）。

因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质。

假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质（已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用），两星球的质量均为m。

那么暗物质的质量为（　　）

A.

mB.

m

C.（k2－1）mD.（2k2－1）m

解析　双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，令它们之间的距离为L，由万有引力提供向心力得G

＝m

·

，解得T理论＝πL

。

根据观测结果，星体的运动周期

＝k，这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起的，又均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′（位于球心处）的质点对双星系统的作用相同，有G

＋G

＝m

·

，解得T观测＝πL

，所以m′＝

m。

选项B正确。

答案　B

2.（多选）为探测引力波，中山大学领衔的“天琴计划”将向太空发射三颗完全相同的卫星（SC1、SC2、SC3）构成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形的中心，卫星将在以地球为中心、离地面高度约10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行引力波探测。

如图2所示，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”。

已知地球同步卫星距离地面的高度约为3.6万公里，以下说法正确的是（　　）

图2

A.若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T，则可估算出地球的密度

B.三颗卫星具有相同大小的加速度

C.三颗卫星绕地球运动的周期一定大于地球的自转周期

D.从每颗卫星可以观察到地球上大于

的表面

解析　若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T根据万有引力提供向心力G

＝m

r，得到M＝

，因地球的半径未知，也不能计算出轨道半径r，不能计算出地球体积，故不能估算出地球的密度，选项A错误；根据G

＝ma，由于三颗卫星到地球的距离相等，则绕地球运动的轨道半径r相等，则它们的加速度大小相等，选项B正确；根据万有引力等于向心力，G

＝m

r解得T＝2π

，由于三颗卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，故三颗卫星绕地球运动的周期大于地球同步卫星绕地球运动的周期，即大于地球的自转周期，选项C正确；当等边三角形边与地球表面相切的时候，恰好看到地球表面的

，所以本题中，从每颗卫星可以观察到地球上大于

的表面，选项D正确。

答案　BCD

　赤道上的物体、同步卫星和近地卫星

赤道上的物体、近地卫星、同步卫星的对比

比较内容

赤道上的物体

近地卫星

同步卫星

向心力来源

万有引力的分力

万有引力

向心力方向

指向地心

重力与万有引力的关系

重力略小于万有引力

重力等于万有引力

角速度

ω1＝ω自

ω2＝

ω3＝ω自

＝

ω1＝ω3＜ω2

线速度

v1＝ω1R

v2＝

v3＝ω3（R＋h）＝

v1＜v3＜v2（v2为第一宇宙速度）

向心加速度

a1＝ω

R

a2＝ω

R＝

a3＝ω

（R＋h）＝

a1＜a3＜a2

【例2】（2019·青海西宁三校联考）如图3所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。

下列关于a、b、c的说法中正确的是（　　）

图3

A.b卫星转动线速度大于7.9km/s

B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac

C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc＞Tb＞Ta

D.在b、c中，b的速度大

解析　b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G

＝m

，解得v＝

，代入数据得v＝7.9km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝

得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π

得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝

，可知b的速度比c的速度大，故D正确。

答案　D

1.有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图4所示，则下列关于卫星的说法中正确的是（　　）

图4

A.a的向心加速度等于重力加速度g

B.c在4h内转过的圆心角为

C.b在相同的时间内转过的弧长最长

D.d的运动周期可能是23h

解析　同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大，由

＝ma知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24h，因此4h内转过的圆心角为θ＝

，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d的运行周期比c要长，所以其周期应大于24h，选项D错误。

答案　C

2.如图5所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T。

则（　　）

图5

A.卫星b也是地球同步卫星

B.卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍

C.卫星c的周期为

T

D.a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为va＝vb＝

vc

解析　卫星b相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A错误；根据公式G

＝ma可得a＝

，即

＝

＝

，B错误；根据开普勒第三定律

＝

可得Tc＝

＝

Ta＝

T，C正确；根据公式G

＝m

可得v＝

，故va＝vb＜

，D错误。

答案　C

　卫星（航天器）的变轨及对接问题

考向

　卫星的变轨、对接问题

1.卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图6所示。

图6

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力（G

＜m

），卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2.对接

航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。

3.航天器变轨问题的三点注意事项

（1）航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v＝

判断。

（2）航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

（3）航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

【例3】我国发射的“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。

假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（　　）

图7

A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

解析　若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，所需向心力变小，则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误。

答案　C

考向

　变轨前、后各物理量的比较

1.速度：

如考向

中图6所示（以下均以图6为例），设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。

因在A点加速，则vA＞v1，因在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。

2.加速度：

因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同。

同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同。

3.周期：

设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律

＝k可知T1＜T2＜T3。

4.机械能：

在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。

若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。

【例4】（2019·河南郑州模拟）2018年12月8日2时23分，“嫦娥四号”探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅。

12月12日16时45分，探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了距月球100km的环月圆轨道