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完整版专题五功能关系全解

八大功能关系：

1重力做功与重力势能的关系重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增加。

重力所做的功等于重力势能的减少量。

即WG=EPI—EP2=-AEP

2、弹力做功与弹性势能的关系弹力做正功，弹力势能减小；弹力做负功，弹力势能增加。

弹力所做的功

等于弹力势能的减少量。

即W弹=Epi—Ep2=—AEp

3、电场力做功与电势能的关系电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加。

电场力所做的

功等于电势能的减少量。

即W电=Ep—Ep2=—AEp

4、安培力做功与电能的关系安培力做正功，电能减小（转化成其他形式的能）；安培力做负功，电能增加

（其他形式的能转化成电能）。

安培力所做的功等于电能的减少量。

即W安=Ei—E2=—AE

注意：

以上这四个力的做功特点非常相似，可以为一类题目，便于记忆。

5、合外力做功与动能的关系合外力做正功，动能增加；合外力负功，动能减少。

合外力所做的功等于动能

的增加量。

W合=AEk

6、其他力做功与机械能的关系其他力做正功，机械能增加；其他力做负功，机械能减少。

其他力所做的功等

于机械能的增加量。

W其他=AE机

7、摩擦生热：

系统产生的热量等于滑动摩擦力乘以相对位移。

（能量损失

了）

Q热=f滑L相

8机械能守恒定律：

只有重力或只有弹力做功，机械能守恒

EPi+EK1=EP2+EK2

1.[2012山西省四校联考]如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑

斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡？

在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态？

同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，

速度为g.求：

（1）a球离开弹簧时的速度大小va；

（2）b球离开弹簧时的速度大小vb；

⑶释放小球前弹簧的弹性势能EP.

1（）/?

2.一个平板小车置于光滑水平面上，

其右端恰好和一个1光滑圆弧轨道AB的底端

等高对接，如图4

M=3.0kg，长L=2.06m，圆

弧轨道半径R=0.8m.现将一质量m=1.0kg的小滑块，由轨道顶端A点无初速释放，滑块滑到B端后冲上小车.滑块与小车上表面间的动摩擦因数尸03（取g=10m/s2）试求:

（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；

（2）小车运动1.5s时，车右端距轨道B端的距离;

（3）

滑块与车面间由于摩擦而产生的内能.

如图4—4—23所示，为一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L=

0.2m,动摩擦因数卩=0.6,BC、DEN段均可视为光滑，且BC的始、末端均水平，具有h=0.1m的高度差，DEN是半径为r=0.4m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过.在左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现有一可视为质点的小球，小球质量m=0.2

kg,压缩轻质弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿DEN轨道滑下•求：

（1）小球到达N点时速度的大小；

（2）压缩的弹簧所具有的弹性势能.

；!

Inousvo...I

AA«

4、如图所示，传送带与水平面之间的夹角为

离为I=5m传送带在电动机的带动下以v=1m/s的速度匀速运动，现将一质量

为m=10kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带的

带之间的动摩擦因数为卩二仝，在传送带将小物体从

求：

（1）传送带对小物体做的功.

（2）电动机做的功.（g取10m/s2）

、选择题

如图1所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d,

平均阻力为f?

设木块离原点s远时开始匀速前进，下列判断正确的是[]

團1

功fs量度子弹损失的动能

B.f（s+d）量度子弹损失的动能

C.fd量度子弹损失的动能

D.fd量度子弹、木块系统总机械能的损失

如图11所示，质量为m的可看成质点的物块置于粗糙水平面上的M点，水平面的

右端与固定的斜面平滑连接，物块与水平面及斜面之间的动摩擦因数处处相同。

物块与弹簧未连接，

开始时物块挤压弹簧使弹簧处于压缩状态。

现从M点由静止释放物块，物块运

动到N点时恰好静止。

弹簧原长小于MM'。

若在物块从M点运动到N点的过程中，物块

与接触面之间由于摩擦所产生的热量为Q,物块、弹簧与地球组成的系统的机械能为E,物

块通过的路程为X。

不计转折处的能量损失，下列图像所描述的关系中可能正确的是（）

辄

图11

AHC

图12

关于做功和物体动能变化的关系，不正确的是[]

只要动力对物体做功，物体的动能就增加

B.只要物体克服阻力做功，它的动能就减少

外力对物体做功的代数和等于物体的末动能与初动能之差

D.动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化

1m，这时物体的速度2m/s，则下列

4.一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升说法正确的是[]

10.（2013淄博模拟）如图8所示是一皮带传输装载机械示意图，井下挖掘工将矿物无初

速放置于沿图示方向运行的传送带A端，被传输到末端B处，再沿一段圆形轨道到达轨道

的最高点C处，然后水平抛到货台上。

已知半径为R=0.4m的圆形轨道与传送带在B点相

切，O点为半圆的圆心，BO、CO分别为圆形轨道的半径，矿物m可视为质点，传送带与

水平面间的夹角0=37°矿物与传送带间的动摩擦因数尸0.8，传送带匀速运行的速度为

vo=8m/s，传送带AB点间的长度为sab=45m。

若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为scd=2m，竖直距离为hcD=1.25m，矿物质量m=50kg,sin37=0.6,cos37=0.8,g=10m/s2，不计空气阻力。

求：

（1）矿物到达B点时的速度大小；

（2）矿物到达C点时对轨道的压力大小；

⑶矿物由B点到达C点的过程中，克服阻力所做的功

压缩至A点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度Vo=8m/s,AB间的

距离x=1m。

工件可视为质点，g取10m/s2。

（sin37=0.6,cos37=0.8）求：

（1）弹簧的最大弹性势能；

（2）工件沿传送带上滑的时间

2.倾斜传送带与水平方向的夹角

0=30°传送带以恒定的速度v=10m/s沿如图2—2

—5甲所示方向运动。

现将一质量

m=50kg的物块轻轻放在A处，传送带AB长为30m尸Y,且认为物块与传送带之间的最大静摩擦力等于滑动物块与传送带间的动摩擦因数为

摩擦力，g取10m/s2。

则在物块从A至B的过程中:

⑴开始阶段所受的摩擦力为多大？

（2）共经历多长时间？

⑶在图乙中准确作出物块所受摩擦力随位移变化的函数图像；

（4）摩擦力做的总功是多少？

9.（2013日照模拟）如图10所示，从A点以vo=4m/s的水平速度抛出一质量m=1kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC,经圆弧轨道后滑上

与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平。

已

知长木板的质量M=4kg,A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m,圆弧轨道

BC对应圆的半径R=0.75m,物块与长木板之间的动摩擦因数=0.5,长木板与地面间的

动摩擦因数鬼=0.2,g取10m/s2。

求：

^严

图10

（1）小物块运动至B点时的速度大小和方向；

（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力大小；

（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。

10.（2013潍坊模拟）如图11所示，水平轨道MN与竖直光滑半圆轨道相切于N点，轻

弹簧左端固定在轨道的M点，自然状态下右端位于P点，将一质量为1kg的小物块靠在弹

簧右端并压缩至O点，此时弹簧储有弹性势能Ep=18.5J,现将小物块无初速释放，已知

OP=0.25m,PN=2.75m,小物块与水平轨道间的动摩擦因数尸0.2,圆轨道半径R=0.4m,

g取10m/s2°求

图11

（1）物块从P点运动到N点的时间；

⑵分析说明物块能否通过半圆轨道最高点B。

若能，求出物块在水平轨道上的落点到N

点的距离。

若不能，简要说明物块的运动情况。

［例］如图5所示，将一质量为m=0.1kg的小球自水平平台右端0点以初速度V。

水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,

圆轨道ABC的形状为半径R=2.5m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径（sin53

=0.8,cos53

=0.6,巫力加速度gift10m/s2）o求:

i.、

1N1

ifI

1加53：

图5

（1）小球经过C点的速度大小；

（2）小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小;

⑶平台右端O点到A点的竖直高度H。

［例］如图7甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的四分之一圆弧，

中间的BC

段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径），细圆管分别与上、下圆弧轨道相切连接，

BC段的长度L可伸缩调节。

下圆弧轨道与水平面相切，

D、A分别是上、下圆弧轨

道的最高点与最低点，整个轨道固定在同一竖直平面内。

一小球多次以某

一速度从A点水平进入轨道，从D点水平飞出。

在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的压力，计算

出压力差AF。

改变BC间距离L,重复上述实验，最后绘得AF—L

20r/

/Ze

■■4-*Mr

LjT\

■hr

”JJ

甲

）0*51"u

乙

的图线如图乙所示。

（不计一切摩擦阻力，g取10m/s2）

（1）某一次调节后D点离地高度为0.8m。

小球从D点飞出，落地点与

D点的水平距离为2.4

m,求小球过D点时速度大小

（2）求小球的质量和圆弧轨道的半径大小

如图2所示，质量为m=0.1kg的小球置于平台末端A点，平台的右下方有一个表

面光滑的斜面体，在斜面体的右边固定一竖直挡板，轻质弹簧拴接在挡板上，弹簧的自然长

度为X0=0.3m,斜面体底端C点距挡板的水平距离为d2=1m,斜面体的倾角为0=45°,

斜面体的高度h=0.5m。

现给小球一大小为Vo=2m/s的初速度，使之在空中运动一段时间后，恰

好从斜面体的顶端B点无碰撞地进入斜面，并沿斜面运动，经过C点后再沿粗糙水

平面运动，过一段时间开始压缩轻质弹簧。

小球速度减为零时，弹簧被压缩了已知小Ax=0.1m

球与水平面间的动摩擦因数尸0.5,设小球经过C点时无能量损失，重力加速度g

=10m/s2,求：

rz/■fjr

"4,

—皈

黑

八、、

kjf

图2

（1）平台与斜面体间的水平距离di；

（2）小球在斜面上的运动时间ti；

（3）弹簧压缩过程中的最大弹性势能Ep。

D运送到高为

如图4所示，在大型超市的仓库中，要利用皮带运输机将货物由平台

h=2.5m的C平台上，为了便于运输，仓储员在平台D与传送带间放了一个4圆周的光滑轨道ab,轨道半径为R=0.8m,轨道最低端与皮带接触良好。

已知皮带和水平面间的夹角为

0=37°皮带和货物间的动摩擦因数为尸0.75,运输机的皮带以vo=1m/s的速度顺时针匀

速运动（皮带和轮子之间不打滑）。

仓储员将质量m=200kg货物放于轨道的a端（g=10m/s2）,求：

（1）货物到达圆轨道最低点b时对轨道的压力；

（2）货物沿皮带向上滑行多远才能相对皮带静止；

⑶皮带将货物由A运送到B需对货物做多少功。

图4

［典例］（2013泰州模拟）如图1—1—10所示，ace和bdf是间距为L的两根足够长平行导轨，导轨平面与水平面的夹角为0整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直于导轨平面

r卜?

X/?

）。

若不计导轨和金属棒

ef位置由静止推至距ef

），现撤去恒力F，金属棒最后

的电阻，且

向上的匀强磁场中，ab之间连有阻值为R的电阻。

若将一质量为m的金属棒置于ef端，今用大小

端s处的cd位置（此时金属棒已经做匀速运动

又回到ef端（此时金属棒也已经做匀速运动

金属棒与导轨间的动摩擦因数为“求:

为F，方向沿斜面向上的恒力把金属棒从

（1）金属棒上滑过程中的最大速度

图1—1—10

（2）金属棒下滑过程的末速度。

［典例］（2012海南高考）图3-2-6甲所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面（纸

面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T,变化图线如图乙所示。

当B为+Bo时，磁感应强度

方向指向纸外。

在坐标原点O有一带正电的粒子P,其电荷量与质量之

比恰好等于TBo。

不计重力。

设P在某时刻to以某一初速度沿y轴正向自O点开始运动，将

它经过时间T到达的点记为A。

讥一

orr

\2f1

■=」■

■

甲

乙

（1）若to=0,则直线OA与x轴的夹角是多少？

⑵若to=4，则直线OA与x轴的夹角是多少？

2.（2013合肥模拟）如图3-2-10所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B,方向

垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。

O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。

已知该

带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力。

-10

（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动

的轨道半径；

（2）求带电粒子通过磁场空间的最

大偏转角；

（3）沿磁场边界放置绝缘弹性挡

板，使带电粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变。

若从O点沿x轴正方向射入磁

场的粒子速度减小为0.5v,求该粒子第一次回

到O点经历的时间。

三、计算题

9.（2013福建高考）如图9,空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

让质量为m,电

荷量为q（q>0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。

不计重

力和粒子间的影响。

（1）若粒子以初速度V1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的

A（a,0）点，求V1的大小。

图9

（2）已知一粒子的初速度大小为v（v>V1），为使该粒子能经过A（a,0）点，其入射角b（粒子

10.（2013贵州六校联考）如图10所示，在0

垂直xOy平面的匀强磁场，方向垂直xOy平面向里。

y轴上P点有一小

孔，可以向y轴右侧垂直于磁场方向不断发射速率均为V，与y轴正方

向所成夹角B可在0?

180°范围内变化的带负电的粒子。

已知0=45。

时，粒子

恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，不计重力及粒子间

XXX财XX

XXX

图10

的相互作用。

求：

（1）磁场的磁感应强度；

（2）

若0=30°,粒子射出磁场时与磁场边界的夹角（可用三角函数、根

式表示）；

（3）能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积（可用根

式表示）。

［典例］（2013?

东咼考）如图3—3—1所示，在坐标系xOy的第一、

第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；第四象

限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。

一带电量为+q、

质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q..

点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。

已知0P=d,

OQ=2d。

不计粒子重力。

图3—3—

（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。

（2）若磁感应强度的大小为一确定值Bo,粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B。

。

（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度

与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过

Q点所用的时间

2.（2013揭阳模拟）直角坐标系xOy界线0M两侧区域分别有如图3—3—3所示电、磁

场（第三象限除外），匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电

场场强E=vB、方向沿x轴负方向。

一不计重力的带正电的粒子，从坐标原

点O以速度为V、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进

入电场，并最终飞离电、磁场区域。

已知粒子的电荷量为q,质量为m,

（2）粒子在磁场中运动的时间；

（3）粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标。

［典例］（2013淄博模拟）在直角坐标系y轴右侧有相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场方向

垂直纸面向里，电场方向沿y轴负方向，电场强度大小为E。

一质量为m、电荷量为

q的正粒子（重力不计）从坐标原点0沿x轴正方向做直线运动，运动到A点时？

撤去电场，当粒子

在磁场中运动到距离原点0最远处P点（图中未标出）时，

撤去磁场，同时加另一匀强电场，其方向沿y轴负方向，最终粒子垂直于y—一

轴飞出。

已知A点坐标为（a,0），P点坐标为1+孑a,1+扌a。

求：

图3—3-4

（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；

⑵磁场的磁感应强度B和粒子运动到P点时速度v的大小；

（3）整个过程中电场力对粒子做的功；

⑷粒子从原点0开始运动到垂直于y轴飞出过程所用的总时间。

2.（2013苏北四市第二次调研）如图3—3—6所示，带电平行金属板相距为2R,在两板

间半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,两板及其左侧边缘

连线均与磁场边界刚好相切。

一质子（不计重力）沿两板间中心线

O1O2从左侧01点以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰

好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为to。

若仅撤去磁场，质子仍从

01点以相同速度射入，经殳时间打到极板上。

求：

（1）两极板间电压U；

（2）质子从极板间飞出时的速度大小。

10.（2013汕头模拟）如图10所示，在x轴下方的区域内存在方向沿y轴正向的匀强电

场，电场强度为E。

在x轴上方以原点0为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的

方向垂直于x0y平面并指向纸面外，磁感应强度为Boy轴下方的A点与0点的距离为d,—质量为

0点射

m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从

入磁场。

不计粒子的重力作用

（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r

E0,求Eoo

⑶若电场强度E等于第⑵问E0的I，求粒子经过x轴时的位置。

B=kt（k未知，且k>0）,E、F为

［例1］中心均开有小孔的金属板C、D与边长为d的正方形单匝金属线圈连接，正方

形框内有垂直纸面的匀强磁场，大小随时间变化的关系为

磁场边界，且与C、D板平行。

D板正下方分布磁场大小均为Bo,方向如图1所示的匀强

磁场。

区域I的磁场宽度为d，区域n的磁场宽度足够大。

在C板小孔附近有质量为m、电

量为q的正离子由静止开始加速后，经D板小孔垂直进入磁场区域I,不计离子重力。

・XXXxxxXXX＞」

XXXXxx/

（1）判断金属板CD之间的电场强度的方向和正方形线框内的磁场方向;

⑵若离子从C板出发，运动一段时间后又恰能回到

C板出发点，求离子在磁场中运动

的总时间;

［典例1:

（2013枣庄模拟）（20分）如图3-1所示，AB为半径R=0.8m的4光滑圆弧轨

道，下端B恰与小车右端平滑对接。

小车的质量M=3kg、长度L=2.16m,其上表面距地面的高

冲上小车，当小车与滑块达到共同速度时，小车被地面装置锁定。

已知地面光滑，滑块与

小乍上表向T日的动摩擦冈数口=0.3,取g=10m/s2^ijt求:

（1）滑块经过B端时，轨道对它支持力的大小;

小车被锁定时，其右端到轨道B端的距离;

水平距离。

［典例2:

（2013淮安模拟）（18分）如图3-2所示，在xOy平面的y轴左侧存在沿y轴正方向的

强磁场，区域I、区域n的宽度均为L,高度均为3L。

质量为m、电荷量为+q的带电粒

子从坐标为（一2L，-,2L）的A点以速度V沿+x方向射出，恰好经过坐标为［0,-（.2-1）L:

的

C点射入区域I。

粒子重力忽略不计。

求：

LBt

■■■

■

L■

■2/.

-L5A

■JLi

图3-2

（1）匀强电场的电场强度大小E;

（2）粒子离开区域I时的位置坐标；

（3）要使粒子从区域n上边界离开，可在区域n内加垂直纸面向内的匀强磁场。

试确定磁感应强

度B的大小范围，并说明粒子离开区域n时的速度方向。

[典例3]（2013北京市西城区期末）（19分）如图3-4甲所示，两根足够长的平行金属导轨MN、

PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角为a,金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导

轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m。

导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂

直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B。

金属导轨的上端与开关S、定值电阻Ri和电

阻箱R2相连。

不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g。

现在闭合开关

S,将金属棒由静止释放。

（1）判断金属棒ab中电流的方向;

（2）若电阻箱R2接入电路的阻值为0,当金属棒下降高度为h时，速度为v,求此过程

中定值电阻上产生的焦耳热Q;

（3）当B=0.40T,L=0.50m,a=37°寸，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的

变化关系如图乙所示。

取g=10m/s2,sin37

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