三角函数.docx
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三角函数
常见三角函数
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x,y）。
在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：
基本函数
英文
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sinθ=y/r
角α的对边比斜边
余弦函数
Cosine
cosθ=x/r
角α的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tanθ=y/x
角α的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cotθ=x/y
角α的邻边比对边
正割函数
Secant
secθ=r/x
角α的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
cscθ=r/y
角α的斜边比对边
注：
tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
非常见三角函数
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
余矢函数
coversθ=1-sinθ
半正矢函数
haversθ=（1-cosθ）/2
半余矢函数
hacoversθ=（1-sinθ）/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，
三角函数
单位圆的方程是：
x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：
对于任何角度θ和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角（k+1/2）π的时候变化迅速。
正切函数的图像在θ=（k+1/2）π有垂直渐近线。
这是因为在θ从左侧接进（k+1/2）π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近（k+1/2）π的时候函数接近负无穷。
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。
特别
三角函数
是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。
cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。
tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。
cotθ是另一个切线段AF。
secθ=OE和cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE是exsecθ=secθ-1（正割在圆外的部分）。
通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。
三角函数线
依据单位圆定义，
三角函数线
我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。
如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。
那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。
OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。
向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负
特殊角的三角函数
角度
sin
cos
tan
cot
0°
0
1
0
无意义
30°
1/2
√3/2
√3/3
√3
45°
√2/2
√2/2
1
1
60°
√3/2
1/2
√3
√3/3
90°
1
0
无意义
0
180°
0
-1
0
无意义
270°
-1
0
无意义
0
同角三角函数关系式
平方关系
sin^2（α）+cos^2（α）=1
cos（2a）=cos^2（a）-sin^2（a）=1-2sin^2（a）=2cos^2（a）-1
sin（2a）=2sin（a）cos（a）
tan^2（α）+1=1/cos^2（α）
2sin^2（a）=1-cos（2a）
cot^2（α）+1=1/sin^2（a）
积的关系
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
倒数关系
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
商的关系
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
三角函数
直角三角
三角函数
形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。
诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
k是整数
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360°k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
-tanα
-cotα
-secα
cscα
180°+α
-sinα
-cosα
tanα
cotα
-secα
-cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
-secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
-secα
360°-α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
﹣α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”
2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。
）
比如:
90°+α。
定名：
90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：
将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：
sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin（90°+α）=cosα
两角和与差的三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
积化和差公式
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
倍角公式
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=（cosα）^2-（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1-2（sinα）^2
tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）
cot（2α）=（cot^2α-1）/（2cotα）
sec（2α）=sec^2α/（1-tan^2α）
csc（2α）=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin（3α）=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（60°+α）sin（60°-α）
cos（3α）=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（60°+α）cos（60°-α）
tan（3α）=（3tanα-tan^3α）/（1-3tan^2α）=tanαtan（π/3+α）tan（π/3-α）
cot（3α）=（cot^3α-3cotα）/（3cot^2α-1）
n倍角公式
sin（nα）=ncos^（n-1）α·sinα-C（n,3）cos^（n-3）α·sin^3α+C（n,5）cos^（n-5）α·sin^5α-…
cos（nα）=cos^nα-C（n,2）cos^（n-2）α·sin^2α+C（n,4）cos^（n-4）α·sin^4α-…
半角公式
sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
cot（α/2）=±√（（1+cosα）/（1-cosα））=（1+cosα）/sinα=sinα/（1-cosα）
sec（α/2）=±√（（2secα/（secα+1））
csc（α/2）=±√（（2secα/（secα-1））
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2）sin（α+φ）（tanφ=B/A）
Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2）cos（α-φ）（tanφ=A/B）
万能公式
sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））
cos（a）=（1-tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））
tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan^2（a/2））
降幂公式
sin^2α=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2
cos^2α=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2
tan^2α=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））
三角和的三角函数
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）
其它公式
1+sin（a）=（sin（a/2）+cos（a/2））^21-sin（a）=（sin（a/2）-cos（a/2））^2
csc（a）=1/sin（a）sec（a）=1/cos（a）
cos30=sin60
sin30=cos60
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin（α/2）+cos（α/2）]^2
其他及证明
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0
以及
sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
cosx+cos2x+...+cosnx=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx（cosx+cos2x+...+cosnx）/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化和差）
=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/（-2sinx）
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x-cos（n-1）x]/（-2sinx）
=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
三倍角公式推导
sin3a
=sin（2a+a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a）
=4sina[（√3/2）^2-sin^2a]
=4sina（sin^260°-sin^2a）
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa（cos^2a-cos^230°）
=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
三角形与三角函数
1、正弦定理：
在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．（其中R为外接圆的半径）
2、第一余弦定理：
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
4、正切定理（napier比拟）：
三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知（A+B）=（π-C）
所以tan（A+B）=tan（π-C）
则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
三角函数图像
三角函数图像：
定义域和值域
sin（x）,cos（x）的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R
cot（x）的定义域为x不等于kπ,值域为R
y=a·sin（x）+b·cos（x）+c的值域为[c-√（a^2+b^2）,c+√（a^2+b^2）]
初等三角函数导数
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1/cos^2x=sec^2x
y=cotx---y'=-1/sin^2x=-csc^2x
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx---y'=-cscxcotx
y=arcsinx---y'=1/√（1-x^2）
y=arccosx---y'=-1/√（1-x^2）
y=arctanx---y'=1/（1+x^2）
y=arccotx---y'=-1/（1+x^2）
倍半角规律
如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2
反三角函数
三角函数的反函数，是多值函数。
它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。
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