机械能守恒定律典型题剖析.docx

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机械能守恒定律典型题剖析

机械振动知识点应用

　一、掌握简谐振动的判断；正确理解简谐振动的特征和规律

【例1】物体作简谐振动时，下列叙述正确的是　　　　　　[　　　]

A．平衡位置就是回复力为零的位置

B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态

C．物体到达平衡位置，合力一定为零

D．物体到达平衡位置，回复力一定为零

解析　单摆在摆角小于5°时的摆动是简谐振动，当摆球摆动到悬点正下方（平衡位置）时，摆球受重力mg及细绳拉力T，因摆球在平衡

球在平衡位置不是处于平衡状态（合力不为零）．正确答案为A，D．

【例2】如图7－9所示，弹簧振子的质量为M，在光滑水平面上以振幅A作简谐振动，在振子上放一质量m的砝码，砝码随滑块M一起作简谐振动，已知弹簧的劲度系数为k．①使砝码随滑块一起作简谐振动的回复力是什么力提供的？

其回复系数多大？

（回复力跟位移成正比的比例系数为回复系数．）②砝码与滑块的动摩擦因数为μ，砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅多大？

解　依题意，以砝码与滑块组成系统为研究对象，使它们一起作简谐振动的回复力是弹簧弹力提供，根据判别物体作简谐振动的条件方程为

F=-kx=（M+m）a　　　　　　　　　　①

以砝码为研究对象，滑块对砝码摩擦力提供回复力

f=-k′x=ma′　　　　　　　　　　　　②

砝码所受的摩擦力约束滑块的运动，依题意它们一起振动，即具有相同的加速度，②式改写为

f=-k′x=ma　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

将①式代入③式得

依题意，设砝码所受的最大静摩擦力恰好等于滑动摩擦力．砝码约束滑块的运动．

∵k′A最大=μmg

把④代入⑤式得

为所求．

说明　砝码受滑块作用的摩擦力提供使砝码往复运动的回复力．但这摩擦力（回复力）却限制了滑块的运动状态的变化．

【例3】如图7－10所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长l0的轻质弹簧，弹簧另一端连接着质量为m的滑块，此时弹簧被拉长为l1，现把滑块沿斜板向上推至弹簧恰好为原长，然后突然释放，求证滑块的运动为简谐振动．

解　松手释放，滑块沿斜板往复运动——振动．而振动的平衡位置即滑块开始时静止（合外力为零）的位置．

滑块离开平衡位置受力如图7－11所示，滑块受三个力作用，其合力为

∑F=k（l1-l0-x）-mgsinθ

∑F=-kx

由此可证得滑块的振动为简谐振动．

【例4】木块质量为m，放在水面上静止（平衡），如图7－12所示；今用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判别木块的振动是否为简谐振动．

解　以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块压入水中x后所受力如图7－13所示，则

F回=mg-F浮　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

又　　　　　　　　　　　　∵F浮=ρgs（Δx+x）　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由①式和②式得

F回=mg-ρgs（Δx+x）

=mg-ρgsΔx-ρgsx

∵mg=ρgsΔx

∴F回=-ρgsx

即　　　　　　　　　　　　　　F回=-kx　（k=ρgs）

所以木块的振动为简谐振动．

二、熟练应用简谐振动的周期公式

【例5】通常把振动周期是2s的单摆叫做秒摆．下述说法中正确的是　　[　　　]

A．摆长缩短为原来的四分之一时，频率是1Hz；

B．摆球质量减小到原来的四分之一时，周期是4s；

C．振幅减为原来的四分之一时，周期是2s；

D．如果重力加速度减为原来的四分之一时，频率为0.25赫兹．

正确答案：

A，C，D．

平方根成反比；频率与重力加速度的平方根成正比．单摆的周期与振幅大小无关，这是单摆等时性的特点．

【例6】如图7－14，为一双线摆，它是在一天花板上用两根等长细绳悬挂一小球而构成的．摆线长为l′，摆线与天花板夹角为θ，当小球垂直纸面作简谐振动时，其振动周期应为多大？

解　双线摆可等效视为摆长为l的单摆，利用单摆的周期公式

等效摆长　　　　　　　　　　　　l=l′·sinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

将②式代入①式得

【例7】如图7－15所示，在光滑导轨上有一个滚轮甲，其质量为2m，轴上系一根长为l0的细绳，绳下端挂一质量为m的摆球乙，放手后摆球作小幅度振动，其简谐振动周期T多大？

解　将2m的甲球和m的乙球组成系统为研究对象，系统的重心为O点可视为单摆的悬点，利用单摆的周期公式

说明　依动量守恒条件，2m在A位置时，m在B位置，当2m运动到A′时，m运动到B′．

【例8】单摆摆长为l，置于水平向右作匀加速直线运动的车厢中，其加速度为a，如图7－16所示，求此种单摆的周期．

解法一　以小车为系统，系统以a向右作匀加速直线运动，设单摆的平衡位置偏离竖直方向θ角，当摆球在平衡位置时，受到重力和摆线张力的作用，这两个力的合力∑F产生加速度a，如图7－17（a）所

系统中摆球超重时的视重）记作∑F=T，由于a和g都不变，所以视重不变．

设单摆从平衡位置偏离α角（α＜5°），则单摆回复力如图7－17（b）所示．

F=-T·sinα=-∑F·sinα

根据简谐振动周期公式

解法二　依简谐振动周期公式的变形，有

式中l为摆长，m为摆球质量，∑F为除线张力之外的恒力．它在数值上等于单摆在平衡位置（动态平衡）时的线的张力．

解法三　以小车系统为研究对象，根据运动合成，小球相对小车的加速度如图7－17（c）所示，

说明　此题是加速系统中的单摆问题，虽然难度较大，但对培养同学的分析综合能力有益；加深理解单摆的周期变化的因素，能够从不同的单摆和类似单摆中找出等效摆长和等效的重力加速度g′．

【例9】如图7－18所示BOC为一光滑圆弧形轨道，其半径为R，且R远大于

弧长．若同时从圆O′和轨道B点无初速度释放一小球P和Q，则

A．Q球先到达O点

B．P球先到达O点

C．P、Q同时到达O点

D．无法比较

解　小球P由O′到O为自由落体运动，根据自由落体运动规律

由于R远大于

弧长，所以Q球在BOC的运动是简谐振动（证明从略）其周期可参照单摆来计算．

比较tQ＞tp，P球先到达O点．

本题选B．

【例10】甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲钟指示45分钟时，乙钟已指示1小时，则甲、乙两钟的摆长之比为L甲∶L乙=______．

解　本题两钟所用时间相同，但显示的时间各不相同，无法判断哪只表准确，也可能都不准确．但表是相同的，即设计是一样的，摆每振动一次所显示的时间是一样的．表所显示的时间就是摆的振动次数与标准钟的周期的乘积．

设甲、乙钟经过的时间为t，周期分别为T1、T2，标准钟的周期为T0，则两钟显示的时间为

①式、②式相除得

【例11】如图7－19所示，质量为m的木块放在竖直的弹簧上，m在竖直方向做简谐振动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍，则物体对弹簧压力的最大值为______，欲使物体在振动中不离开弹簧，其振幅不能超过______．

解　物体m放在弹簧上让其缓慢下落，当重力mg与弹力kx相等时，物体处于平衡．在此位置对物体施加向下的压力，使物体下移位移A时，撤去外力F，物体m将在竖直方向做简谐振动．在振动过程中物体受重力和弹力作用，当压缩最小时，物体和弹簧的相互作用最小，应在平衡位置上方；当压缩量最大时，物体和弹簧的相互作用力最大，此位置应在平衡位置下方，且最小作用力和最大作用力的位置关于O点对称，离开平衡位置的距离均为A．

如图7－20所示，物体m在最高点时弹力为N1，最低点时弹力为N2，则

kA=mg-N1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

kA=N2-mg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由①、②式联立解得

N2=2mg-N1=1.5mg

由牛顿第三定律知

N′2=N2=1.5mg

即物体对弹簧的最大压力为1.5mg．

若要m在振动过程中不脱离弹簧，则物体m与弹簧的相互作用力达最小，即N=0，所以最大振幅即为物体m平衡时的压缩量．

设m能达到的最大振幅为A′，则

kA′=mg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

由①、③式联立得

A′=2A

【例12】如图7－21所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自作简谐振动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（1998年高考题）　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧

B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧

C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧

D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧

平衡位置再与B相撞，如此交替下去．

当mA＞mB时，A球摆到平衡位置时与B球相撞，vA＜vB，但vA

同，因此同时摆到各自最高点，同时回到平衡位置，这时vB＞vA，方向都向左，则B球撞A球．但不论撞后A、B球速度怎样变化，由于A、

以只能在平衡位置再次相撞．

当mA＜mB时的情况也如此，只能在平衡位置A、B球相撞，其他位置不可能相撞．

综上所述，选项C、D正确．

【例13】如图7－22所示，AB为半径为R=7.50m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s=0.90m的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切，BC离地高度h=1.80m，一质量m1=0.10kg的小球置于C点，另一质量m2=0.20kg的小球置于B点，现给小球m1一个瞬时冲量使它获得大小为0.90m／s的水平速度，当m1运动到B时与m2发生弹性正碰，g取10m／s2，求

1）两球落地的时间差Δt；

2）两球落地点之间的距离Δs；

解　1）小球m1以v1=0.90m／s匀速运动s后与m2弹性正碰，设m1、m2碰后的速度分别为v1和v2，以v1方向为正方向，由动量守恒和机械能守恒有

m1v1=m1v1+m2v2　　　　　　　　　　　　　　　　　①

由①、②式联立解得

即m1以0.3m／s的速率反弹回．

设m2与圆心O连线最大偏角为θ，由机械能守恒有

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　cosθ=0.9976

θ≈4°（＜5°）

所以m2在圆弧导轨上的运动可等效为摆长为R的单摆，其周期T=2

2）两球落地点之间距离为两球分别以速率v′1与v′2做平抛运动下落h高的水平位移之差，即

=0.3×0.6=0.18（m）

三、深入理解振动图像的物理意义

【例14】图7－23所示为质点P在0～4秒内的振动图象，下列叙述正确的是　　　[　　　]

A．再过1s，该质点的位移是正的最大

B．再过1s，该质点的速度方向向上

C．再过1s，该质点的加速度方向向上

D．再过1s，该质点加速度最大

正确答案：

A，D．

说明　必须掌握，振动图象是描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况．依题意，再经过1秒钟，将振动图象延伸到正y最大处，这时质点的位移为正的最大，因为回复力方向与位移方向相反，且回复力与位移成正比，所以回复力的方向为负向且最大，故振动物体的加速度最大且方向为负向．此时振动物体的速度为零，无方向．所以正确选项为A、D项．

【例15】图7－24（a）为单摆的振动图象，图7－24（b）为单摆作简谐振动的实际振动图象．试在（b）图中标出t时刻摆球所在的实际位置及振动方向．

解　如图7－24（b）中所示C点．

说明　此题形象地揭示了振动图像的物理意义．通过振动图象加深对简谐振动规律的理解，从而提高应用数学工具处理物理问题的能力．同学们可自行思考在t时刻振动物体的回复力的大小、方向及变化．特别注意，振动图象不是质点振动的轨迹．

【例16】如图7－25所示是一单摆的振动图象，在t1、t2时刻相同的物理量为　　[　　　]

A．位移　　　　　　　　　　　　　　　　　B．速度

C．加速度　　　　　　　　　　　　　　　　D．势能

解　由图知，在t1和t2时刻摆球的位移大小均为1厘米，但方向相反，故位移不同．

由于位移大小相等，因此势能相等，由机械能守恒知：

t1和t2时刻的动能相等，所以速率相等，由图象可知t1时刻速度方向为x轴负方向，而t2时刻速度方向也是x轴负方向．所以t1和t2时刻摆球的速度大小和方向都相同．

t1和t2时刻位移大小相等，方向相反，由回复力和位移的关系，知回复力大小相等，但方向相反，都指向平衡位置，根据加速度和回复力的关系，知加速度大小相等，方向相反，所以在t1和t2时刻位移、回复力、加速度都不相同．

综上所述应选B、D．

四、掌握受迫振动与共振现象

【例17】如图7－26所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，下面说法中，正确的是　　[　　　]

A．只有A球、C球振动周期相等

B．A球的振幅比B球小

C．C球的振幅比B球的振幅大

D．A球、B球、C球的振动周期相等

正确答案：

C，D．

使B球、C球作受迫振动，受迫振动的频率等于施加的策动力的频率．所

【例18】火车在铁轨上行驶时，每经铁轨连接处，便迫使车厢在弹簧上发生上下振动．如弹簧受到每吨的压力将压缩20毫米，车厢下每个弹簧的实际负荷为5吨，火车在行驶时，车速的最大值为多少？

（铁轨每段长为12.5m．）

解　根据胡克定律的计算公式，有

F=kx

车厢在弹簧上振动的固有频率为

避免车厢共振，设车轮撞击铁轨连接处的频率为f′，使f′≤f0，而

为使车厢避免共振现象发生，行驶车速不能等于19.9m／s．车速越接近19.9m／s，车厢振动越激烈，车厢的破碎的可能性就越大．

五、正确理解机械波，掌握波长λ，频率（周期）、波速及它们的关系．v=λ·f=λ／T；提高在波传播实际问题中的应用能力，掌握波动图像变化规律

【例19】关于机械波的说法中，下列叙述正确的是　　　　　　　　　　[　　　]

A．要产生机械波，必须同时具有振源和传播振动的媒质

B．波动过程是振源质点由近向远移动的过程

C．波是振动形式的传播，物质（质点）本身没有沿波的传播方向迁移

D．媒质质点每完成一次全振动，波就向前传播一个波长的距离

正确答案：

A，C，D．

【例20】一列横波（简谐波），在t=0时刻的波形图如图7－27所示，自右向左传播，已知在t1=0.7秒时，P点出现第二次波峰，Q点坐标为（-7，0）则以下判断中正确的是　　　[　　　]

A．质点A和质点B在t=0时刻位移是相等的

B．在t=0时刻，质点C向上振动

C．在t=0.9秒末时，Q点第一次出现波峰

D．在t3=1.26秒末时，Q点第一次出现波峰

正确答案：

B，C．

说明：

由波形图可知t=0时，质点A和质点B分别处于波峰和波谷，其质点振动位移的大小虽然都是最大值，但方向相反；由于波向左传播，∴t=0时刻，质点P向y轴负向（下）运动，质点C向y轴正向（上）运动，再依已知条件，t=0.7s时P点出现第二次波峰，根据P点运动方

×0.7=0.4s，当A点的t=0时运动状态（波峰）刚传到Q点时，Q点第

【例21】如图7－28所示，一列简谐横波，已知质点P经0.3秒第一次到达波谷，求波速（Δt＜T内）．

解　若波向右传播，有

由①、②式得

若波向左传播，有

由③、④式得

【例22】图7－29为一列简谐横波上两质点P、Q的振动图象，P、Q相距30m．a）若P质点距振源近，则横波波速多大？

b）若Q质点距振源近，则横波波速多大．

解　a）P质点距振源近，就表明P质点先振，由图7－29所示，

8=8n+2

（n=0，1，2，3，…）

b）若Q质点距振源近，就表明质点Q先振，由图7－29所示，Q质点运动状态在Δt左时间内传到P点，则

∴波速

（n=0，1，2，3，…）

形图像的变化规律，熟练掌握画某时刻的前后若干时刻的波形图，从而提高图像变化的应变能力．应掌握波传播方向与质点振动方向的联系．通过训练，要掌握媒质质点周期性振动和波周期性变化的规律．

【例23】简谐横波某时刻的波形图线如图7－30所示，由此图可知　　　[　　　]

A．若质点a向下运动，则波是从左向右传播的

B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的

C．若波从右向左传播，则质点c向下运动

D．若波从右向左传播，则质点d向上运动

正确答案：

B，D．

该题是1997年高考试题，分值5分，区分度适中．该题主要考查考生对波的形成是否能正确理解．

【例24】一列简谐波，波速为0.5m／s，某一时刻的波形如图7－31中实线所示，经过时间t后的波形图为图中虚线所示，那么所经过的时间t可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

A．1s　　　　　B．3s

C．5s　　　　D．8s

解　由于在题中没有说明波的传播方向，因此波可能向右传播，也可能向左传播．由于周期性变化的原因，向右传播时形成虚线的时间：

和从图象中观察出波长为2米，由T=λ／v得出T=4秒．这样向右传播

1，2，3…时对应的时间为：

3s、7s、11s、15s、…．

综上所述应选A、B、C．

【例25】如图7－32所示为某一时刻横渡的部分波形，该波的频率为2赫，已知此时A点的速度方向向上，那么

1）该波波长为多少？

向什么方向传播？

波速多大？

解　1）在图中找一点C，由A点向上振动，可知C点也向上振动，而A先振，所以波向右传播．

由频率为2Hz，波长为8cm，所以有

v=f·λ=2×8=16（cm／s）

【例26】如图7－33所示，在y轴上的Q、P两点住置上有两个频率相同，振动方向相同的振源，它们激起的机械波的波长为2米，Q、P两点的纵坐标分别为yQ=6米，yP=1米，那么在x轴上从+∞到-∞的位置上，会出现振动减弱区有几个？

解　P、Q两波源具有相同频率，P、Q是相干波源，在空间P、Q波能产生干涉．

P、Q到x轴上任一点M的距离之差Δr满足三角形两边之差小于（等于）第三边的关系，即Δr≤5m．

由相干条件中减弱区的条件得

将λ=2m代入

∴（2k+1）≤5，则k≤2

∴k取值为0、1、2．当k=2即为O点，由x轴正、负方向对称，故x轴减弱区域共5个．