中考数学蚂蚁爬行最短路径试题带解析.docx
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中考数学蚂蚁爬行最短路径试题带解析
蚂蚁爬行的最短路径
1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段行程依次为：
+5，-3，+10，-8，-9，+12，
-10．
回答以下问题：
（1）蚂蚁最后可否回到出发点0；
（2）在爬行过程中，若是每爬一个单位长度奖赏2粒芝麻，则蚂蚁一共获取多少粒芝麻．
解：
（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；
（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒
2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从极点A出发沿着正方体的表面面爬到极点B的
最短距离是.
第6题
解：
如图将正方体张开，依照“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
AB=
22
12
5．
3．（2006?
茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从
点A沿其表面爬到点B的最短行程是cm
．
解：
由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短行程是两个棱长的长，即2+2=4．
专心爱心专心1
AB
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短
路线是（）
A．A?
P?
BB．A?
Q?
BC．A?
R?
BD．A?
S?
B
解：
依照两点之间线段最短可知选A．
应选A．
5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点
B是正方体的一个极点，正方体的棱长为
2，一
蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短行程是（
）
解：
如图，AB=1221210．应选C．
12B
1
A
6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）
解：
张开正方体的点M所在的面，
专心爱心专心2
∵BC的中点为M，
1
2
在直角三角形中AM==．
7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两其中心，一只蚂蚁在盒
子表面由A处向B处爬行，所走最短行程是cm。
解：
将盒子张开，以以下列图：
AB=CD=DF+FC=1EF+1GF=1×20+1×20=20cm．
2222
应选C．
8.正方体盒子的棱长为
2，
BC
的中点为
，一只蚂蚁从
A
点爬行到
M
点的最短距离
M
为.
第7题
解：
将正方体张开，连结M、D1，
依照两点之间线段最短，
MD=MC+CD=1+2=3，
MD1=MD2
DD12
32
22
13．
专心爱心专心3
9．以以下列图一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，
假定一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5
秒钟．
解：
由于爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）张开前面右侧由勾股定理得AB==cm；
（2）张开底面右侧由勾股定理得AB==5cm；
所以最短路径长为5cm，用时最少：
5÷2=2.5秒．
10．（2009?
恩施州）如图，长方体的长为
15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为
5，
一只蚂蚁若是要沿着长方体的表面从点
A爬到点B，需要爬行的最短距离是
。
解：
将长方体张开，连结
A、B，
依照两点之间线段最短，
AB=
=25．
11.
如图，一只蚂蚁从实心长方体的极点
A
出发，沿长方体的表面爬到对角极点
1处（三
C
条棱长以以下列图），问怎样走路线最短？
最短路线长为
.
D1
C1
A1
1
D
B1C
2
A
4
B
专心爱心专心4
解：
正面和上面缘A1B1张开如图，连结AC1，△ABC1是直角三角形，
∴AC1=AB2
BC12
42
122
42
32
5
12．以以下列图：
有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B
点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
解：
由题意得，
路径一：
AB=
=
；
路径二：
AB=
=5；
路径三：
AB=
=
；
∵
＞5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为
4cm，底面是长为
5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从极点A
出发沿棱柱的表面爬到极点
B．求：
（1）蚂蚁经过的最短行程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能够重复爬行同一条棱）的最长行程．
解：
（1）AB的长就为最短路线．
尔后依照若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的行程为（cm）；
专心爱心专心5
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的行程为（cm），
或（cm）
所以蚂蚁经过的最短行程是cm．
（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，
最长行程是30cm．
14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的极点A处有一只蚂蚁，它要爬到极点B处去觅食，最短的行程是多少？
解：
图1中，cm．
图2中，cm．
图3中，cm．
∴采用图3的爬法行程最短，为cm
15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A
爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解：
第一种情况：
把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，
专心爱心专心6
则所走的最短线段是
=6
cm；
第二种情况：
把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是
10cm和8cm，
所以走的最短线段是
=
cm；
第三种情况：
把我们所看到的前面和右侧组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是
14cm和4cm，
所以走的最短线段是
=2
cm；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20cm、3cm、2cm．A和B是这个
台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食品，则蚂蚁沿着台阶
面爬行到点B的最短行程为
cm
解：
三级台阶平面张开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短行程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短行程为xcm，
2222
由勾股定理得：
x=20+[（2+3）×3]=25，
故答案为25．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食品.请你想一想，
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。
解：
将台阶张开，以以下列图，
由于AC=3×3+1×3=12，BC=5，
222
所以AB=AC+BC=169，
所以AB=13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：
蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
18．（2011?
荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P
点开始经过4个侧面爬行一圈抵达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm．
专心爱心专心7
解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5
∴PQ=13．
故答案为：
13．
19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
解：
如图1，在砖的侧面张开图2上，连结AB，
则AB的长即为A处到B处的最短行程．
解：
在Rt△ABD中，
由于AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，
222222
所以AB=AD+BD=15+8=289=17．
所以AB=17cm．
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．
20．（2009?
佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有空隙），有
一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快抵达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B1到最短路径的距离．
专心爱心专心8
解：
（1）如图，
木柜的表面张开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．
故蚂蚁能够最快抵达目的地的可能路径如同图的A1C'1和AC1．（2分）
（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，
爬过的路径的长是．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是
．（4分）
l1＞l2，故最短路径的长是
．（5分）
（3）作B1E⊥AC1于E，
则?
?
为所求．（8分）
21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂
蚁爬行的最短距离.
第2题
解：
AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点．
AF=2π?
5=10π．AD=5π．
AC=AD2CD2≈16cm．
故答案为：
16cm．
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角
B处吃食品，它爬行的最短路线长为.
专心爱心专心9
第3题
解：
AB=52
122
13m
12B
5
A
23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A抵达A1，若圆柱底面半径为
6，
高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为
．
解：
由于圆柱底面圆的周长为2π×6=12，高为5，
所以将侧面张开为一长为12，宽为5的矩形，
依照勾股定理，对角线长为=13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．
24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点
A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短行程是
解：
以以下列图：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD=24×1=12cm．
2
专心爱心专心10
又由于CD=AB=9cm，
所以AC==15cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短行程是15cm．
故答案为：
15．
25．（2006?
荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母
线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬
到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子表示）
解：
QA=3，PB1=2，
即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，
依照勾股定理得：
QP=
26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左侧下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，若是蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
问题：
某正方体盒子，如图左侧下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，若是蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
解：
如图，将圆柱的侧面张开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于以以下列图的地址，
连结AB，即是这条最短路线图．
专心爱心专心11
如图，将正方体中面ABCD和面CBFG张开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所
示的地址，连结AM，即是这条最短路线图．
27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，若是点B有一蚂蚁只能沿
圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食品，那么它爬行的最短行程
是.
第5题
解：
∵圆锥的底面周长是4π，则4π=n4，
180
∴n=180°即圆锥侧面张开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面张开图中AP=2，AB=4，∠BAP=90°，
∴在圆锥侧面张开图中BP=2025，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25cm．
故答案是：
25cm．
28．如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，
∠COB=150°，D为VB上一点，VD=．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则
蚂蚁爬行的最短行程是（）
专心爱心专心12
解：
==，
∴设弧BC所对的圆心角的度数为n，
∴=
解得n=90，
∴∠CVD=90°，
∴CD==4，
29．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面张开图以以下列图，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲
从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短行程长
为。
解：
连结AA′，作OC⊥AA′于C，
∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°，
∴AA′=2AC=53．
30．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又
回到A点，它爬行的最短路线长是.
第4题
解：
由题意知，底面圆的直径为2，
故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面张开后的扇形圆心角为n°，
4n
依照底面周长等于张开后扇形的弧长得，2，
180
解得n=90°，
专心爱心专心13
所以张开图中圆心角为90°，
依照勾股定理求获取点A的最短的路线长是：
16163242．
31．（2006?
南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕
侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是。
解：
由题意知底面圆的直径=2，
故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面张开后的扇形圆心角为n°，
依照底面周长等于张开后扇形的弧长得2π=4n，
180
解得n=90°，
所以张开图中的圆心角为90°，
依照勾股定理求得它爬行的最短路线长为42．
32．（2009?
乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只
蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短行程为。
解：
由题意知，底面圆的直径AB=4，
故底面周长等于4π．
设圆锥的侧面张开后的扇形圆心角为n°，
依照底面周长等于张开后扇形的弧长得
4π=2n6，
360
解得n=120°，
所以张开图中∠APD=120°÷2=60°，
依照勾股定理求得AD=33，
专心爱心专心14
所以蚂蚁爬行的最短距离为33．
33．如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发
沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．
解：
把圆锥沿过点A的母线展成以以下列图扇形，
则蚂蚁运动的最短行程为AA′（线段）．
由此知：
OA=OA′=3r，
的长为2πr．
∴2πr=
n
3r，n=120°，
180
即∠AOA′=120°，∠OAC=30°．
1
3
r
∴OC=
OA=
2
2
OC23
∴AC=
OA2
3r
2
∴AA′=2AC=
33r，
即蚂蚁运动的最短行程是
33r．
34．如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的
A点出发，沿侧面绕行一周后抵达母线
SA的中点M．蚂
蚁沿怎样的路径行走最合算？
为认识决这一问题，
爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐张开了研究．
（1）善于表现的银银第一列出了一组数据：
圆锥底面半径
r=10cm，母线SA长为40cm，就
这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短行程；
（2）向来隆重的慧慧只给出一个数据：
圆锥的锥角等于
60°（如图②），请问：
蚂蚁怎样
专心爱心专心15
行走最合算？
（3）经过
（1）、
（2）的计算与概括，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，
①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？
②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．
解：
（1）2π?
10=nπ?
40÷180°
n=90°，
AM=
=20．
（2）∵锥角为60°，∴底面半径的长和母线的长相等，
但缺少母线的长．（3）①由于银银的数据不合理，由于慧慧缺少条件．②
（1）展成平面图形．
（2）知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M是SA的中点，依照三角函数也许结构直角三角形来求解
．
专心爱心专心16
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