北师大版六年级数学下册单元能力提升例题详解.docx
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北师大版六年级数学下册单元能力提升例题详解
北师大版六年级数学下册单元能力提升例题详解
第一单元圆柱与圆锥
例1如图，一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？
【详解】观察发现：
高增加2厘米，表面积将增加25.12平方厘米，求出圆柱的周长，通过周长计算出圆柱的底面半径，然后再运用圆柱的体积公式求出原来圆柱的体积。
即：
圆柱的底面圆的半径：
25.12÷2÷3.14÷2=2（厘米）；
原来圆柱的体积：
3.14×22×8=100.48（立方厘米）
【答案】25.12÷2÷3.14÷23.14×2²×8
=12.56÷3.14÷2=12.56×8
=4÷2=100.48（立方厘米）
=2（厘米）
答：
原来圆柱的体积是100.48立方厘米。
例2张师傅要把一根圆柱形木料（如下图）削成一个圆锥．削成的圆锥的体积最大是多少立方分米？
【详解】根据题意可知，要使削成的圆锥的体积最大，也就是圆锥和圆柱等底等高，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
，由圆锥的体积公式：
v=
sh，把数据代入公式解答。
【答案】
×3.14×（2÷2）²×3
=
×3.14×1×3
=3.14（立方分米）
答：
削成的圆锥的体积最大是3.14立方分米。
例3求出下面图形的体积。
（单位：
分米）
方法一
【详解】观察发现：
这个图形的体积就等于底面直径为2分米，高为3分米的圆柱的体积，再加上底面直径为2分米高为4-3=1分米的圆柱的体积的一半。
【答案】3.14×（2÷2）²×3+3.14×（2÷2）²×（4-3）÷2
=3.14×1×3+3.14×1×1÷2
=9.42+1.57
=10.99（立方分米）
答：
它的体积是1099立方分米。
方法二
【详解】观察发现：
两个完全这样的立体图形可以拼成一个底面直径是2分米，高是4+3=7（分米）的圆柱，每个图形的体积就是拼成的圆柱体积的一半。
【答案】3.14×（2÷2）²×（4+3）÷2
=3.14×1×7÷2
=21.98÷2
=10.99（立方分米）
答：
它的体积是10.99立方分米。
例4A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求2分钟容器A中的水有多高？
【详解】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1+4=5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）（其余的水流到B容器了）
【答案】A容器的容积是：
3.14×1²=3.14×1=3.14（立方厘米），
B容器的容积是：
3.14×2²=3.14×4=12.56（立方厘米）， 12.56÷3.14=4，
即B容器的容积是A容器容积的4倍，
因为一水龙头单独向A注水，一分钟可注满， 所以要注满B容器需要4分钟，
因此注满A、B两个容器需要1+4=5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通， 2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）。
第二单元比例
例1下面是学校操场的平面图，已知比例尺是1:
4000，请你计算操场的实际面积是多少平方米？
【详解】已知图上的长3厘米，宽2厘米，先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际的长和宽，再利用长方形的面积公式计算。
计算时要先统一单位。
【答案】2÷
=8000（厘米）=80（米）3÷
=12000（厘米）=120（米）
120×80=9600（平方米）
答：
操场的实际面积是9600平方米。
例2变速自行车前齿轮的齿数为36个，后齿轮有2档，其齿数分别为9和12个，如果前轮转了3圈，那么不同档位下的后齿轮分别转了多少圈？
【详解】自行车前齿轮的齿数与后齿轮齿数的比和前轮转动圈数与后齿轮转动圈数的比相反。
即：
前轮齿数：
后轮齿数=后轮转动圈数：
前轮转动圈数。
找出对应量的数，列出比例即可。
【答案】解：
设9齿的后轮转动了
圈。
36:
9=
：
3
9
=36×3
=108÷9
=12
答：
9齿的后轮转动了12圈。
解：
设12齿的后轮转动了
圈。
36:
12=
：
3
12
=36×3
=108÷12
=9
答：
12齿的后轮转动了9圈。
第三单元图形的运动
例1如图，这个图案是由一个什么样的图形经过怎样的变化得到的？
是由这个图案旋转了多少度？
几次呢？
【详解】解答的关键是结合旋转的三要素进行分析。
参考上图，OC和OD之间的夹角是360°÷6=60°，所以整个图形可以看作是由长方形ABOC绕点O旋转60°，再将得到的图形按同样的方式旋转，总共五次以后得到的。
【答案】如下图，可以看作是由一个长方形ABOC通过五次旋转得到的，每次旋转的角度都是60°。
例2请你用图
（1）的四块拼板，在图
（2）中评出图（3），并说一说你的操作过程。
【详解】将图
（1）中左上角的一块绕某一点顺时针旋转90°拼在图
（2）的左上角；将图
（1）中右上角的一块绕某一点按逆时针旋转90°拼在图
（2）的左下角；将图
（1）中左下角的一块绕某一点顺时针（或逆时针）旋转180°拼在图
（2）的右下角；最后将图
（1）中右下角的一块绕某一点逆时针旋转90°拼在图
（2）的右上角。
【答案】
第四单元正比例与反比例
例1哥哥和弟弟周末分别骑车去森林动物园游玩，下面的图象表示他们骑车的路程和时间的关系，请根据哥哥、弟弟行程图填空。
①哥哥骑车行驶的路程和时间成_____比例。
②弟弟骑车每分钟行_____千米。
【详解】此题是行程问题中的数量关系，根据成正比例的意义可知，行驶的路程与时间成正比例关系；通过观察统计图可得出弟弟行驶的路程为30千米，时间为3：
40-2：
00=100分钟，根据速度=路程÷时间即可解决问题。
因为路程=速度×时间，所以哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例
3：
40-2：
00=100（分钟）
30÷100=0.3（千米）
哥哥骑车行驶的路程与时间成正比例，弟弟骑车每分钟行0.3千米。
【答案】正0.3
例2甲、乙两人比赛120米滑雪，乙让甲先滑10秒。
他们两人滑的路程与时间的关系如图。
（1）在滑完全程中，（）滑行的路程和时间成正比例。
（2）甲滑完全程的平均速度是每秒（）米；乙滑完全程的平均速度是每秒（）米。
【详解】
（1）由图可以看出，路程与时间成正比例关系，那么在统计图中就是一条直线，图中虚线是一条直线，实线是折线，虚线表示乙滑的路程与时间的关系，所以乙滑行的路程与时间成正比例关系；
（2）由图可以看出，甲滑行的路程是120米，用的时间是65秒，根据速度=路程÷时间即可求出甲的滑行速度，即平均每秒行的米数；乙滑行的路程是120米，用的时间是45秒，根据速度=路程÷时间即可求出乙的滑行速度，即平均每秒行的米数。
（1）路程与时间成正比例关系，那么在统计图中就是一条直线，图中虚线是一条直线，实线是折线，虚线表示乙滑的路程与时间的关系，所以乙滑行的路程与时间成正比例关系；
（2）甲：
120÷65=1
（米/秒）乙：
120÷45=2
（米/秒）
【答案】乙1
例3如图所示，刻度数和所放的球子个数成（）比例。
【详解】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．
因为刻度数×所放的球子个数=8（一定），是乘积一定，符合反比例的意义，
所以刻度数和所放的球子个数成反比例。
【答案】反
第六单元总复习
例1两个数的最大公因数是30，最小公倍数是180。
其中的一个数是90，另一个数是多少？
【详解】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算，首先180除以90得到另一个数的独有因数，然后用最大公因数30乘另一个数的独有因数，即可得解。
【答案】
180÷90=2
30×2=60
答：
另一个数是60。
例2四个自然数的乘积是11880，求这四个自然数。
【详解】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，首先把11880分解质因数，然后适当的调整计算，即可求出这四个连续的自然数，再求出它们的和。
【答案】把11880分解质因数：
11880=2×2×2×3×3×3×5×11；
3×3=9
2×5=10
2×2×3=12
这四个自然数数是9，10，11，12．
9+10+11+12=42
答：
这四个数的和是42。
例3商场有“长虹”和“海尔“液晶电视机75台，售出“长虹”电视机的
和“海尔”电视机的
后，两种电视机共剩下42台。
原来两种电视机各有多少台？
【详解】此题的两个分数单位“1”不同，我们可假设都卖了
，这样的话一共就卖了75的
，即25台，还剩50台。
其实是剩余42台，差的8台，是把海尔的也假设为售出
造成的。
因此，8台和
对应，也就是海尔的
是那8台，所以，先求出了海尔的台数。
【答案】75×（1-
）
=75×
=50（台）
（50-42）÷（
-
）
=8÷
=30（台）
答：
“海尔”电视机有30台。
例4一个文具盒卖价5元，如果小东买了这个文具盒，小东与小鹏的钱数之比是2：
5，如果小鹏买了这个文具，则小东与小鹏的钱数之比是8：
13，小东原来有多少钱？
【详解】由题意可知：
小东和小鹏剩余的钱数的是不变的，把二人剩余的钱数看作单位“1”，则小东买了这个文具盒后，他剩余的钱数占总剩余钱数的
，当小鹏买了这个文具盒后，小东的钱数，占总剩余钱数的
，增加了（
-
），增加的分率所对应的量是5元，于是用对应量5除以对应分率（
-
），就得到二人剩余钱数的总量，进而根据求一个数的几分之几是多少，用乘法即可求解。
【答案】5÷（
-
）×
=5÷
=5÷
=20（元）
答：
小东原来有20元钱。
例5甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B地时，乙离B还有35米，丙离B还有68米；当乙跑到B时，丙离B还有40米，A、B相距多少米？
【详解】依据题意：
当甲跑到B地时，乙离B还有35米，丙离B还有68米；当乙跑到B时，丙离B还有40米，也就是说当乙跑35米到达B地时，丙跑了68-40=28米，据此先求出乙和丙的速度比，设A、B相距x米，依据路程和速度成正比可列方程：
（x-35）：
（x-68）=4：
5，依据等式的性质即可求解。
【答案】设A、B相距
米。
68-40=28（米）
35：
28=5：
4
（
-35）：
（
-68）=5：
4
5
-340=4
-140
5
-340+340=4
-140+340
5
-4
=4
+200-4
x=200
答：
A、B相距200米。
例6如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AE=EB=CD=3厘米，BC=ED=2厘米。
以CD边为轴将该梯形旋转一周，形成的物体体积是多少？
【详解】将梯形ABCD以CD为轴旋转一周后形成的物体，是一个底面半径是2厘米、高为6厘米的圆柱中挖去一个底面半径是2厘米、高为3厘米的圆锥，分别计算出圆柱的体积和圆锥的体积，然后相减即可。
也可以这样分析：
圆锥的体积是与其等底等高圆柱体积的
，则旋转后上半部
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