热力学统计物理课后习题答案.docx
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热力学统计物理课后习题答案
第一章热力学的基本规律
1．1试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数T。
解：
已知理想气体的物态方程为pVnRT
由此得到
体胀系数
1V
VTp
nR
pV
1
T
，
压强系数
1P
PTV
nR
pV
1
T
等温压缩系数
T
1
V
V
p
1
V
（
nRT
）
2
p
1
p
1．2证明任何一种具有两个独立参量T，P的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数
和等温压缩系数，根据下述积分求得lnVdTTdp，如果
物态方程。
1
T
T
1
P
，试求
解：
体胀系数
1
V
V
T
p
等温压缩系数
1V
Tp
V
T
以T，P为自变量，物质的物态方程为VVT,p
VV
其全微分为dVdTdpVdTVTdp
Tp
p
T
dV
V
dTdp
T
这是以T，P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得
lnVdTTdp
根据题设，若
1
T
T
1
p
lnV
1
T
dT
1
p
dp
T
则有C
lnVln，PV=CT
p
要确定常数C，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力￡，物态方程是（￡,L,T）=0，实验通常
在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
1
L
L
T
F
，等温杨氏模量
定义为
LF
Y，其中A是金属丝的截面。
一般来说，和Y是T的函数，对￡仅有
AL
T
微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，
当温度由T1降至T2时，其张力的增加为￡-YA（T-T）
2。
1
解：
f（￡,L,T）=0，￡=F￡（L,T）
d
￡￡￡
￡（dL=0）
dTdLdT
TLT
LTL
￡
T
L
T
L
F
L
￡
T
1
￡
L
￡
TLTFLT
L
AY
L
YA
d￡YAdT
所以￡-YA（T-T）
21
1．61mol理想气体，在27
oC的恒温下发生膨胀,其压强由20Pn准静态地降到1Pn，求气体
所做的功和所吸收的热量。
VB
WpdV，解：
将气体的膨胀过程近似看做准静态过程。
根据
VA
在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB，外界对气体所做的功为
VBVB
dVVP
BB
WpdVRTRTlnRTln
VAVVP
VAAA
气体所做的功是上式的负值，
W=
P
B
RTln=8.31300ln20J=7.4710
P
A
3J
在等温过程中理想气体的内能不变，即U=0
根据热力学第一定律U=W+Q，
气体在过程中吸收的热量Q为Q=W=7.4710
3J
1.7在25
oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为
V=18.0660.71510
3P+0.046106P2cm3mol1
如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所作的功。
2
解：
将题中给出的体积与压强的关系记为V=A+BP+CP
由此得到dV=（B+2CP）dP
保持温度不变，将1mol的水从1Pn加压至1000Pn，在这个准静态过程中，外界所作的功为
VB
WpdV=
VA
PB
PA
P（B2CP）dp=
12
2CP）
31000
（BP=33.1Jmol
1
23
1
1．11满足PV
n=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明，理想气体在
n-
多方过程中的热容量为CnCV
n-1
解：
UPVdUPdVdV
ClimCP
nVdT
TT
0
dT
nn
n
理想气体多方过程PV=RT
PV
n=C
有
PdVVdPRdT
R
nPdVdT
PV0,0n11ndVVndPnPdVVdP
1ndVVndPnPdVVdP
所以
CnCV
n
R
1
C
p
C
V
R
另一方面，理想气体C
p
C
V
所以得
n-
CnC，证毕
V
n-1
1．12试证明，理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定是多方过程。
多方指数
n
Cn
Cn
Cp
Cv
。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：
根据热力学第一定律，dU=dQ+dW
（1）
对于准静态过程有dW=pdV
对于理想气体有dU=CvdT
气体在过程中吸收的热量为dQ=CndT
则热力学第一定律
（1）可表达为（CnCv）dT=pdV
用理想气体的物态方程RT=pV去除上式，以及代入CpCn=R
得到
dTdV
（CnCv）（CpCv）
（2）
TV
理想气体的物态方程的全微分为
dP
P
dV
V
dT
T
（3）
以上两式联立，消去
dT
T
dPdV
，得（Cn）（Cn）0
CvCp（4）
PV
令
n
Cn
Cn
Cp
Cv
，
dPdV
上式（4）表示为0
n
PV
若Cp,Cv,Cn都是常量，将上式积分得PV
n=C
上式表明，过程是多方过程。
1．16假设理想气体的定压热容量和定容热容量之比是温度的函数，试求在准静态绝热过
程中T和V的关系。
该关系式中要用到一个函数F（T），其表达式为
dT
lnFT。
1T
解：
dVTdsPdV,dVCVdT
对准静绝热过程，dS＝0，
得到CVdTdVsPdV
C
p
C
V
R
另一方面，理想气体C
p
C
V
且PV＝RT
于是，
R
CV，
1
P
RT
V
RRT
即得到dV
dT
1V
dV
V
dT
1T
0
令
dT
lnFT，
1T
dF
F
dT
1
T
有dlnVF0，VFTConst
1.8温度为0
0C的1kg水与温度为1000C的恒温热源接触后，水温达到1000C。
试分别求
水和热源的熵变，以及整个系统的总熵变。
欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如
何使水温从00C升至1000C？
已知水的比热容为4.18Jg1K1
0C的水与温度为1000C的恒温热源接触后，水温达到1000C。
这一过程是不可逆过程。
解：
0
为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可
逆过程中的同样的变化。
通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
00
为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。
其温度分布在0
C与100C
0C升至1000C。
在这可逆过程中，水的熵之间。
令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0
变为
mCdT373373373
P311
SmCPln104.18lnJK1304.6JK
水
（1）
273273
T273
0C升至1000C所吸收的总热量Q为Q=mCPT=1034.18100J=4.18105J
水从0
0C的另一热源放出热量Q。
在这可逆过程中，
为求热源的熵变，可令热源向温度为100
热源的熵变为
5
1.910
11
S热源JK1120.6JK
（2）
373
由于热源的变化相同，式子
（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。
整个系统的总熵变为
1
S总=S水+S热源=184JK
0C升至1000C而参与整个过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分
为使水温从0
00
布在0
C与100C之间的一系列热源吸热。
水的熵变S*水仍由式子
（2）给出。
这一系列热
源的熵变之和为
373mCdT373373
P31
S*mCPln104.18lnJK1304.6JK
热源
273T273
273
1
参与过程的整个系统的总熵变为
S*总=S*水+S*热源=0（5）
1.2210A的电流通过一个25的电阻器，历时1S。
（A）若电阻器保持为室温270C，试求电阻器的熵增加值。
0C，电阻器的质量为10g，比热容CP为（B）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27
11
0.84Jgk
，问电阻器的熵增加值为多少？
解：
（A）以T，P为电阻器的状态参量，设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度
0C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
也保持为室温27
（B）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其
温度由T1升为T2，所以有mCPT=mCP（T2T1）=i
2RT
22
iRT10251
故TT（300）K600K
21
23
mC100.8410
P
电阻器的熵变可以参照1-17节例二的方法求出，为
mCdT
T2
P
SmCP
T1
T
T600
2231
ln（100.8410ln）JK5.8JK
T300
1
1
1.23均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度后的熵增。
解：
0lx
TT
21
第i处的初温为x
TiT
1
l
设单位长度的定压热容量为Cx，CplCx
于是
TTTT
1212
22
dQCdTTTTT
x1212
SxClnClnlnT
xxi
TT2T2
TTi
ii
总熵变
S
l
0
Sxdx
l
0
TT
1ln
2
CxlnTdx
i
2
TTTT
l
12ln21
CxllnCTxdx
x1
20
l
C
TTl
T
12ln
2
lnCydy
pTT
x
2T
1
21
C
C
TT
p
12T
plnylnyy
2
T
2TT
1
21x
Cln
p
T
1
2
T
2
T
2
ln
T
2
T
2
T
1
T
1
ln
T
1
1
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