立体几何点线面复习.docx

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立体几何点线面复习

题型一　几何中共点、共线、共面问题

1．证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：

一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；

二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

2．证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

3．证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

例1　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F

分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，

且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：

（1）E、F、G、H四点共面；

（2）GE与HF的交点在直线AC上．

证明　

（1）∵BG∶GC＝DH∶HC，

∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，

（2）∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.

又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.

⇒M∈面ABC且M∈面ACD⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.

∴GE与HF的交点在直线AC上．

跟踪训练1　如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：

O、M、A1三点共线

证明　∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，

∴O∈平面ACC1A1.

∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1.

∴M∈平面ACC1A1.

又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，

又O、M、A1三点都在平面AB1D上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，

所以O、M、A1三点共线．

题型二　空间中的平行问题

1．判断或证明线面平行的常用方法：

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

2．证明面面平行的方法：

（1）利用面面平行的定义；

（2）利用面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

例2　如图，E、F、G、H分别是正方体

ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，

求证：

（1）GE∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

证明　

（1）取B1D1中点O，连接GO，OB，

易证OG

B1C1，BE

B1C1，

∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．

∴OB∥GE.

∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，

∴GE∥平面BDD1B1.

（2）由正方体性质得B1D1∥BD，

∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF.

连接HB，D1F，

易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.

∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，

∴HD1∥平面BDF.

∵B1D1∩HD1＝D1，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点.

求证：

平面DMN∥平面ABC.

证明　∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，

又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，

∴MN∥平面ABC，

∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，

∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，

∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，

∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，

又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N

∴平面DMN∥平面ABC.

题型三　空间中的垂直关系

空间垂直关系的判定方法：

（1）判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°（包括平面角和异面直线所成的角）；

②线面垂直的性质（若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）．

（2）判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；

②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）；

③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）；

⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．

（3）面面垂直的判定方法：

①根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°）；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，

D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），

且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

证明　

（1）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.

又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2）因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由

（1）知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

跟踪训练3　如图，A，B，C，D为空间四点．

在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝

，等边△ADB

以AB为轴运动．

（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？

证明你的结论．

解　

（1）取AB的中点E，连接DE，CE，

因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时，

因为平面ADB∩平面ABC＝AB，

所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，

由已知可得DE＝

，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝

＝2.

（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.

证明如下：

①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，

所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.

②当D不在平面ABC内时，由

（1）知AB⊥DE.

又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.

综上所述，总有AB⊥CD.

题型四　空间角问题

1．求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）．

2．求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）．

3．二面角的平面角的作法常有三种：

（1）定义法；

（2）垂线法；（3）垂面法．

例4　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等

腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，

AE⊥BD，CB＝CD＝CF.

（1）求证：

BD⊥平面AED；

（2）求二面角F－BD－C的余弦值．

（1）证明:

　因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，

所以∠ADC＝∠BCD＝120°.

又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，

因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，

所以BD⊥平面AED.

（2）解:

如图，

取BD的中点G，连接CG，FG，

由于CB＝CD，因此CG⊥BD.

又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以FC⊥BD.

由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，

所以BD⊥平面FCG

故BD⊥FG，

所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．

在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，

因此CG＝

CB.又CB＝CF，

所以GF＝

＝

CG，

故cos∠FGC＝

，

因此二面角F－BD－C的余弦值为

.

跟踪训练4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

（1）AO与A′C′所成角的度数；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；

（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数．

解　

（1）∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，

∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.

∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝

，AC＝

，sin∠OAC＝

＝

，

∴∠OAC＝30°.

即AO与A′C′所成角的度数为30°.

（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝

，AE＝

＝

，

∴tan∠OAE＝

＝

.

（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，

∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，

∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.

1．平行问题的转化关系

2．直线与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）面与面平行的性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.