阶段性测试题六.docx

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阶段性测试题六

阶段性测试题六（数列）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

满分分．考试时间分钟．

第Ⅰ卷（选择题　共分）

一、选择题（本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

．（·洛阳一模）在等比数列{}中，＝8a，则公比的值为（　　）

．　　　　　　　　　．

．．

[答案]　

[解析]　∵＝8a，

∴＝＝，∴＝.

．（·潍坊月联考）等差数列{}中，是{}的前项和，已知＝，＝，则等于（　　）

．．

．．

[答案]　

[解析]　设数列{}的公差为，则，

解得，

所以＝×（－）＋×＝.

．（·淮南模拟）等比数列{}中，－＝，－＝，且>，则等于（　　）

．

．　　　

[答案]　

[解析]　设公比为，则－＝（－）＝.①

－＝（－）＝.②

两式相除得＝，解得＝或.

∵－>，∴＝代入①式得＝.∴＝.

．（·信阳一模）已知{}是等差数列，＝，＝，则过点（，），（，）的直线斜率为（　　）

．

．－．－

[答案]　

[解析]　∵{}为等差数列，

∴＝＝5a＝，

∴＝，

∴＝＝－＝－＝.

．（·天津理）已知{}为等差数列，其公差为－，且是与的等比中项，为{}的前项和，∈*，则的值为（　　）

．－．－

．．

[答案]　

[解析]　本题主要考查等比中项、等差数列前项和．

由条件：

＝·即（＋）＝（＋）·（＋）

∴＝，＝×＋×（－）＝.故选.

．（·原创题）已知数列{}的前项和是＝－（≠且≠），那么使“数列{}是等比数列”成立的条件是（　　）

．＝．≥

．≤．为任意实数

[答案]　

[解析]　∵＝－－＝（－）－（－－）

＝－（－）（≥）．

∴数列{}是等比数列的充要条件是＝－（－）满足，即＝－＝＝－，

即＝.

．（·合肥一模）等比数列{}的前项和为，且4a2a，成等差数列，若＝，则＝（　　）

．．

．．

[答案]　

[解析]　不妨设数列{}的公比为，

则4a2a，成等差数列可转化为（）＝＋，

得＝.

＝＝.

．（文）（·郑州一模）等差数列{}的通项公式是＝－，其前项和为，则数列{}的前项和为（　　）

．－．－

．－．－

[答案]　

[解析]　由等差数列{}的通项公式得＝－，

所以其前项和

＝＝＝－.

则＝－.所以数列{}是首项为－，公差为－的等差数列，所以其前项的和为×（－）＋×（－）＝－.

（理）（·郑州一模）已知数列{}中，＝，＝，若{}为等差数列，则＝（　　）

．

．

[答案]　

[解析]　由已知可得＝，＝是等差数列{}的第项和第项，其公差＝＝，

由此可得＝＋（－）＝＋×＝.

解之得＝.

．（文）（·四川文）数列{}的前项和为，若＝，＋＝（≥），则＝（　　）

．×．×＋

．．＋

[答案]　

[解析]　该题考查已知一个数列的前项和与＋的关系，求通项公式.注意的问题是用＝－－时（≥）的条件．

＋＝　①

＝－　②

①－②得＋－＝－－＝，

即＋＝，

∴＝（≥）．当＝时，＝3a＝，

∴＝≠＝（≥），

∴为从第项起的等比数列，且公比＝，

∴＝·＝·.

（理）（·四川理）数列{}的首项为，{}为等差数列且＝＋－（∈*），若＝－，＝，则＝（　　）

．．

．．

[答案]　

[解析]　本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由＝－，＝，∴＝，∴＝－＋（－）＝－.

由关系式：

＝－，各式相加：

＋＋…＝－＝－

＝－，

…

＝－，

∴＝－，∴＝，故选.

．若数列{}的通项公式为＝（）－－（）－（∈＋），{}的最大项为第项，最小项为第项，则＋等于（　　）

．．

．．

[答案]　

[解析]　＝·[（）－]－·（）－

＝[（）－－]－，

∴当（）－＝，即＝时，最小，

当（）－＝时，即＝时，最大．

∴＝，＝，∴＋＝.

第Ⅱ卷（非选择题　共分）

二、填空题（本大题共个小题，每小题分，共分，把正确答案填在题中横线上）

．（·许昌月考）已知等差数列{}的前项和为，且满足－＝，则数列{}的公差是．

[答案]　

[解析]　＝，∴＝，

由－＝得－＝，

∴－＝，∴数列{}的公差为.

．（·九江调研）数列{}满足＝，＋＝＋，若数列{＋}恰为等比数列，则的值为．

[答案]　

[解析]　∵＋＝＋，∴＋＋＝（＋），

∴数列{＋}是以首项＋＝，公比为的等比数列，∴＝.

．（·湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为升．

[答案]　

[解析]　本题考查等差数列通项公式、前项和公式的基本运算．

设此等差数列为{}，公差为，则

∴解得

∴＝＋＝＋×＝.

．（·延安模拟）等比数列{}中，＋＝，＋＝，则数列{}的通项公式为．

[答案]　＝－

[解析]　由＝·，＝得

＝＝×＝.

∴＝，又（＋）＝，∴＝.

∴＝·－＝×（）－＝－.

．（文）（·芜湖一模）已知数列{}满足＝，＋－＝，则的最小值为．

[答案]　

[解析]　－－＝（－）

……

－＝，

相加得－＝＋＋…＋（－）

＝[＋＋…＋（－）]＝·＝（－），

∴＝－＋，

∴＝＋－，＝时，＝＋－＝为最小．

（理）（·温州一模）若数列{}是正项数列，且＋＋…＋＝＋（∈＋），则＋＋…＋＝.

[答案]　＋

[解析]　令＝得＝，即＝，

当≥时，＝（＋）－[（－）＋（－）]＝＋，

所以＝（＋），

当＝时，也适合，

所以＝（＋）（∈＋）．

于是＝（＋），

故＋＋…＋＝＋.

三、解答题（本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

．（本小题满分分）（·商丘模拟）已知等差数列{}中，3a＝－，＋＝，求{}的前项和.

[分析]　本题考查等差数列的通项公式及前项和公式．

[解析]　设{}的公差为，则

，

即，

解得或.

因此＝－＋（－）＝（－），

或＝－（－）＝－（－）．

．（本小题满分分）（文）（·重庆文）设{}是公比为正数的等比数列，＝，＝＋.

（）求{}的通项公式；

（）设{}是首项为，公差为的等差数列，求数列{＋}的前项和.

[解析]　（）设等比数列{}的公比为，由＝，＝＋得＝＋，

即－－＝，解得＝或＝－（舍），∴＝，

∴＝·－＝·－＝.

（）数列＝＋（－）＝－，

∴＝＋×＋×

＝＋－＋－＋＝＋＋－.

（理）（·浙江文）已知公差不为的等差数列{}的首项为（∈），且，，成等比数列．

（）求数列{}的通项公式；

（）对∈*，试比较＋＋＋…＋与的大小．

[解析]　（）设等差数列{}的公差为，由题意可知（）＝·，

即（＋）＝（＋），从而＝，

因为≠，所以＝＝，

故通项公式＝.

（）记＝＋＋…＋，因为＝·，

所以＝（＋＋…＋）

＝·＝[－（）]

从而，当>时，<

当<时，>.

．（本小题满分分）（·青岛质检）数列{}中，＝，＋＝＋（是常数，＝，…），且、、成公比不为的等比数列．

（）求的值；

（）求{}的通项公式．

[解析]　（）＝，＝＋，＝＋3c，

因为、、成等比数列，

所以（＋）＝（＋3c），

解得＝或＝.

当＝时，＝＝，不符合题意，故＝.

（）当≥时，由于－＝，－＝2c，

……

－－＝（－），

所以－＝[＋＋…＋（－）]＝.

又＝，＝，故＝＋（－）＝－＋（＝，…）．

当＝时，上式也成立，所以＝－＋.

．（本小题满分分）（·安阳一模）已知数列{}中，其前项和为，且，，成等差数列（∈＋）．

（）求数列{}的通项公式；

（）求>时的取值范围．

[解析]　（）∵，，成等差数列，

∴＝－，－＝－－（－）（≥），

∴＝－－＝－－－（≥），

∴＝－＋（≥），

两边加得＋＝（－＋）（≥），

∴＝（≥）．

又由＝－得＝.

∴数列{＋}是首项为，公比为的等比数列，

∴＋＝·－，

即数列{}的通项公式为＝－.

（）由（）知，＝－＝＋－－，

∴＋－＝＋－－（＋）－（＋－－）

＝＋－>，

∴＋>，{}为递增数列．

由题设，>，即＋－>.

又当＝时，－＝，∴>.

∴当>时，的取值范围为≥（∈＋）．

．（本小题满分分）（·潍坊调研）设数列{}是公差大于的等差数列，，分别是方程－＋＝的两个实根．

（）求数列{}的通项公式；

（）设＝，求数列{}的前项和.

[解析]　（）因为方程－＋＝的两个根分别为、，所以由题意可知＝，＝，所以＝，

所以＝＋（－）＝－.

（）由（）可知，＝＝·，

∴＝×＋×＋×＋…＋（－）×＋·，①

∴＝×＋×＋…＋（－）×＋·②

①－②得，＝＋＋＋…＋＋－·＝－，所以＝－.

．（本小题满分分）（·苏州一模）已知数列{}满足：

＝，＝（>）．数列{}满足＝＋（∈*）．

（）若{}是等差数列，且＝，求的值及{}的通项公式；

（）若{}是等比数列，求{}的前项和；

（）当{}是公比为－的等比数列时，{}能否为等比数列？

若能，求出的值；若不能，请说明理由．

[解析]　（）∵{}是等差数列，＝，＝，

∴＝＋（－）（－）．

又∵＝，∴3a＝，即（2a－）（3a－）＝，

解得＝或＝－.

∵>，∴＝.∴＝.

（）∵数列{}是等比数列，＝，＝（>），

＝－，∴＝＋＝－.

∵＝，

∴数列{}是首项为，公比为的等比数列．

当＝时，＝；

当≠时，＝＝.

（）数列{}不能为等比数列．

∵＝＋，∴＝＝，

则＝－.

∴＝－.

假设数列{}能为等比数列．

由＝，＝，得＝.

∴＝－，

∵此方程无解，∴数列{}一定不能为等比数列．