高中数学数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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高中数学数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
人教A版高中数学选修1-2第三章《3.1.1数系的扩充与复数的引入》
教学设计
1、教学目标：
（1）经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
2、教学重点、难点：
（1）重点：
体会数的概念的发展和数系扩充的过程，从中感受实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，并认识数系扩充的原则；
（2）难点：
认识到实数系向复数系扩充的必要性，并掌握如何将实数系扩充到复数系，从而掌握复数的相关概念.
3、教学方法与教学手段：
创设情境、启发引导
4、教学过程设计：
一、人类对数的认识过程的回顾
先回顾数的发展史（到实数为止），即“为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，不了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线的长的问题产生了无理数，等等”.
紧接着介绍数学史上16世纪意大利数学家卡尔丹在其著作《大术》一书中提出的这样一个问题“将10分为两部分，使得两部分之积为40”.他将其中一部分设为x,另一部分则为10-x，于是得到方程x（10-x）=40，
请学生解一下这个方程（学生：
无解）.为什么无解？
（△<0）
问题1：
什么叫方程无解？
回顾关于方程解的问题：
方程x+1=0,对于一个不知道负数的小学生而言有解吗？
方程2x=3，对于一个不知道分数的小学生而言有解吗？
方程x2=2,对于一个不知道无理数的初一学生而言有解吗？
问题2:
方程是否有解与什么相关?
（通过上述问题的研究,让学生感受方程是否有解与人的认识程度有关,同时与数集有关.随着人的认识程度的深入以及数集的扩充，在原来数集中无解的方程到了新的数集中也可以变得有解.）
方程x（10-x）=40是在什么范围类无解?
（实数集）
问题3：
有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中变得有解？
再回到数学史，1572年意大利工程师邦贝利（RafaelBombelli）的著作《代数学》一书中，邦贝利研究卡尔丹《大术》中另一个方程x3-15x-4=0的时，利用一元三次方程求根公式求得了它的两个根
，而另外一个根写成了这样的形式：
，邦贝利同时发现，这个三次方程显然有一个解x=4，这说明应该有
，由此说明负数开平方应该得到承认，实数集有必要扩充！
问题4：
怎样将实数集进行扩充，使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢？
点明课题
问题5：
怎样进行数系的扩充？
（通过上述过程是为了让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程，数的发展是为了满足人们生产生活的需要，也是为了解决因研究探索而形成的认知冲突.在数学文化背景下设计的问题串，是为了让学生充分地感受到实数集扩充的必要性，并感受在面对用理性思维进行研究探索而形成的认知冲突时，要有科学精神，要以理性精神、发展的观点认识新问题，发展新观念.）
二、数学学科内部数的扩充过程的回顾
再回顾数学学科中数的扩充过程，即教材中“在自然数集中，加法和乘法总可以实施，但是由于小数不能减大数，方程x+4=0无解，为此引入负数，数集扩大到整数集.在整数集中，加法、减法、乘法总可以实施，但由于除法只能解决整除的问题，方程3x-2=0无解，为此引入分数，数集扩大到有理数集.在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施，但是开方的结果可能不是有理数，方程x2-2=0无解，为此引入无理数，数集扩大到实数集.在实数集中.加、减、乘、除（除数不为0）总可以实施，并解决了正数开平方的问题”.
（其中重点以有理数集向实数集扩充为例，让学生感受数集扩充的过程和数集扩充遵循的原则，从而为实数集向复数集扩充做好铺垫.）
三、实数系向复数系扩充
问题6：
按照数集扩充的原则，对实数集进行扩充，并要使得方程x2=-1有解，至少应该在新数集中添加怎样的一个数？
问题7：
有了i，新的数集中还会有什么数？
问题8：
这些数有什么一般形式？
在归纳前有的数系扩充过程的基础上，实现实数系向复数系的扩充，进而掌握复数的概念以及相关的一些概念（如虚数单位、复数的实部与虚部、复数集）.
（同样在问题串的带领下，在有理数集向实数集扩充过程的铺垫下，让学生自然地、自主地实现实数系向复数系的扩充，这是本节课的重点之一）
四、概念的巩固
例：
写出复数①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
的实
部与虚部.
解：
上述复数的实部分别是
虚部分别是
指出：
a+bi（a∈R,b∈R）的虚部是b,而不是bi
五、复数的分类
问题9：
复数集有没有包含所有的实数？
问题10：
复数集比实数集多了哪种类型的数？
引出复数的分类，并用文氏图直观地表示出几个数集之间的关系.
（在例题1几个复数直观展示下，提出问题9、问题10，很容易让学生对复数进行分类，并进一步感知了几个数集之间的关系.用例1进行巩固.）
例1：
指出复数中的实数、虚数及纯虚数.
①
②
③
④
⑤
⑥
解：
4，0是实数；
是虚数，其中
是纯虚数.
例2：
实数m取什么值时，复数
是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
分析：
由m∈R可知（m-1），m（m-1）都是实数，根据复数a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值.
解：
（1）当m-1=0,即m=1时，复数z是实数.
（2）当m-1≠0,即m≠1时，复数z是虚数.
（3）当m（m-1）=0，且m-1≠0，即m=0时，复数z是纯虚数.
变式训练：
（4）
（5）
（由例题2的两个变，自然地过渡到两个复数相等的条件）
六、两个复数相等的条件
由例题2两个变的思考，提出复数相等的充要条件，并用例题3巩固.
例3：
已知
求实数
的值.
解：
根据两个复数相等的充要条件，可得
x+y=2x-5，x-2y=3x+y；
解得：
x=3,y=-2.
七、小结
请学生自我小结后，回到邦贝利求得的三次方程的第三个根
，介绍邦贝利根据一定的运算法则算得
、
，并由此推得
（回到实数集需要扩充的起点，说明了实数集扩充成复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下一结课研究复数的运算埋下了伏笔）
八、作业：
（1）利用网络等资源了解复数的实际应用
（2）P52：
练习：
1、2、3
（利用网络等资源旨在让学生进一步了解复数的历史、价值和意义，并再次感受要以科学的精神、理性的思维以及发展的观点来认识新问题、发展新观念.习题是为了让学生巩固本节课所学）
人教A版高中数学选修1-2第三章《3.1.1数系的扩充与复数的引入》
学情分析
结合本节教学内容，教师通过了解数系的扩充历史以及人类对数的认知过程，虚数单位i的引入是纯理论的创造，就连数学家对i的接受也是一个漫长的过程．如笛卡尔就不想与这些数发生任何关系，并造出了“虚数”这个名称．莱布尼兹的说法最有代表性：
“…，介于存在与不存在之间的两栖物，……”欧拉说：
“…，想象的数，……，它们纯属虚幻．”根据历史相似性原理，结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：
为什么要引入i？
如何引入？
i是什么？
根据教与学的关系，教师的教要符合学生的认知规律和心理特征；反之，学生的学可以促进教师的教与学．教师通过研究学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯画出x轴，y轴，用
表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受．因此，i是人类理性思维的产物，是一种创造，一种创新．
1、知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识的进一步应用提高学生的这些能力；
2、心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学得一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入时要能让学生们能够感兴趣；
3、学生学习本节内容可能存在的知识障碍：
学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
人教A版高中数学选修1-2第三章《3.1.1数系的扩充与复数的引入》
当堂学习效果测评
问题设计及分值
小组展示
小组评价
得分
1.什么叫方程无解？
（5分）
1组
2组
4组
小组成员能较好开展合作学习，成员能基本参与到合作中来。
3
4
5
2.方程是否有解与什么相关?
（10分）
3
5
6
小组成员能完成基本的交流，能基本完成学习任务
8
9
8
3.有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中变得有解？
（5分）
4
2
小组内交流热烈，能通过讨论得到新的方法得到新的启示。
4
4
4.怎样将实数集进行扩充，使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢？
（5分）
3
5
小组在分工和协作下基本完成任务。
能达到预期的目的，证明得出结论
4
5
5.怎样进行数系的扩充？
（10分）
4
6
3
在小组分工协作下出色完成任务，并通过小组的讨论交流得到新的想法
8
9
7
6.按照数集扩充的原则，对实数集进行扩充，并要使得方程x2=-1有解，至少应该在新数集中添加怎样的一个数？
（10分）
2
1
小组分工协作下出色完成任务，并通过小组的讨论,大胆尝表达本组的讨论结果
8
9
7、有了i，新的数集中还会有什么数？
这些数有什么一般形式？
（15分）
6
5
1
小组成员能完成基本的协作，能在老师引导下帮助本组同学完成任务
12
14
13
学习小组学习效果评价表
学校：
班级：
高二、七班总分：
82.3分
评价
项目
优秀
（14—20分）
合格
（7—13分）
差
（0—6分）
自我
评价
小组
评价
教师
评价
学习
态度
（20分）
上课认真听讲，作业认真，参与讨论态度认真
上课能认真听讲，作业依时完成，有参与讨论
上课无心听讲，经常欠交作业，极少参与讨论
16分
18分
18分
主动
发言
（20分）
积极主动发言或爬黑板，积极参与讨论与交流，大量掌握课内外知识
能主动发言或爬黑板，有参与讨论与交流，掌握内课外知识。
很少举手或爬黑板，极少参与讨论与交流，对课内外知识没兴趣
17分
16分
17分
敢于
发问
（20分）
大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法
有提出自己的不同看法，能做出尝试
不敢提出和别人不同的问题，不敢尝试和表达自己的想法
17分
16分
16分
合作
效果
（20分）
在小组分工协作下出色完成任务，并通过小组的讨论交流得到新的想法。
善于与人合作，虚心听取别人的意见
小组在分工和协作下基本完成任务。
能与人合作，能接受别人的意见。
能达到预期的目的，证明得出结论
小组学习任务完成比较差，缺乏与人合作的精神，难以听进别人的意见。
没有体现小组分工和协作的合作精神。
17分
18分
16分
思维
能力
（20分）
能有条理表达自己的意见，解决问题的过程清楚，做事有计划，具有创造性思维，能用不同的方法解决问题，独立思考
能表达自己的意见，有解决问题的能力，但条理性差些，能用老师提供的方法解决问题，有一定的思考能力和创造性
不能准确表达自己的意思，做事缺乏计划性，条理性，不能独立解决问题，思考能力差，缺乏创造性，不能独立解决问题
15分
14分
16分
【注】1.本评价量表对学生课堂表现情况的评价分为优良、合格、不合格三个等级，每个等级得分范围如表所示，可给出具体分数；总分为五项分数的累计；
2.可根据课堂表现自我评价、小组评价、老师评价，最后取三者的平均分。
3.分数每节统计一次，每两周公布一次，选出优秀小组成员和优秀小组。
【评测分析】
自己对学生形成性评价的认识结合班里的学生情况，我设计了课堂评价表，对学生自学和交流的学习过程以小组的形式进行评价。
以往的教学中，教师总是根据以往的教学经验以及自己对教材的理解，直接将所谓的教学中的要点灌输给学生，并没有真正做到以学生为中心，根据学生的实际需要，实际的认知水平来设计自己的教学。
同时我们对学生的评价不能只看一张考卷，不能只关注某一结果。
也就是说我们对学生的评价既要关注结果，又要关注过程。
同时对学生的评价也不能只靠老师一张嘴，要采取一种多元化的评价形式。
《数系的扩充和复数的概念》整节课的教学设计以我校提倡的“三段四步”课堂模式开展，并结合我校学生实际情况对教学模式有所变动。
侧重通过教师的问题，引导学生积极参与课堂，发挥学生在学习中的主体性作用，体现新课标中所倡导的自主、合作和探究的精神。
我们总共七个小组，每个小组大约七人，在课下已经下发导学案，所以对于每个题目的分数都很明确，另外，由于平时就使用小组教学，所以对小组的表现的课堂评价同学们都能熟练地使用。
每组的组长、记录员在课下都已经安排好，所以课堂上并没有再体现。
我们一直都是课下汇总，下节课之前公布结果，四周一大总结，评选出优秀小组，优秀个人。
由于下发导学案，学生在自学环节，课堂表现优秀，因此能踊跃参与，准备充分，例如陈文腾、陈鑫、田磊、延红卫、王晓琳、母玲玲、宋港、张倩倩等同学；在小组合作中，由于各组资源的均衡，组长能发挥积极的带头作用，各抒己见，表达观点。
最后但是仍存在小发展组不均衡、个别小组讨论不够深入等问题，因此综合各小组本课地表现得出82.3分的成绩。
今后在课堂中应加强小组合作和教师的课堂点拨，使小组更加合理、学习氛围更浓厚，对学生现状进行研究、探索，帮助学生正确认识自己、评价自己，拥有自信，实现个人价值。
通过在数学教学中评价能力的培养，全面提高学生数学素养，以便及时对教与学的行为做出调节，提高学习的有效性。
人教A版高中数学选修1-2第三章《3.1.1数系的扩充与复数的引入》
教材分析
1教材内容分析
1.1本质、地位及作用
复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数的进化是数学史中比较奇特的一章，那就是它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．数学与测量或实用计算之间的关系使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样．谁也不知道复数会带来怎样的实际用途，这是在崭新的方向上走出的一步，提出了纯理论的创造．
新课程中复数内容突出复数的代数表示与代数运算，同时也强调了复数的几何表示与几何意义．它的内容是分层设计的：
先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点，或把复数看成是从直角坐标系原点出发到平面上一点的向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想．
本节课的学习，一方面让学生回忆、归纳数的概念的发展和数系扩充的过程，感悟数的概念产生于实际需求与数学内部的矛盾，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会学习新知的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容．
1.2教学重点难点
根据教学内容分析及学生已有的认知基础，本节课的教学重点、难点确定为：
重点：
感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件．
难点：
数系扩充的过程与原则．
2教学目标分析
遵循新课标，本节课的教学目标确定如下：
2.1知识与技能
理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件．
2.2过程与方法
让学生回忆、归纳数系扩充的过程，感悟数系扩充的基本方法，领悟复数的有关理论．
2.3情感、态度与价值观
通过问题情境感受虚数引入的必要性，体会人类理性思维的作用，形成学习数学知识的积极态度．
3教学问题诊断分析
结合本节教学内容，教师通过了解数系的扩充历史以及人类对数的认知过程，虚数单位i的引入是纯理论的创造，就连数学家对i的接受也是一个漫长的过程．如笛卡尔就不想与这些数发生任何关系，并造出了“虚数”这个名称．莱布尼兹的说法最有代表性：
“…，介于存在与不存在之间的两栖物，……”欧拉说：
“…，想象的数，……，它们纯属虚幻．”根据历史相似性原理，结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：
为什么要引入i？
如何引入？
i是什么？
根据教与学的关系，教师的教要符合学生的认知规律和心理特征；反之，学生的学可以促进教师的教与学．教师通过研究学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯画出x轴，y轴，用
表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受．因此，i是人类理性思维的产物，是一种创造，一种创新．
4教法特点
结合以上教学问题诊断分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，
让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用．
5课堂预期效果分析
5.1体现数学的文化内涵
本节课教者从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家卡当的问题，让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程，感受到数学家就在自己的身边，数学大师并不神秘，他们也曾有解不开的难题，小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受；数学发现并不神秘，大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍；数学并不神秘，只要我们“更新观念”，跳出原有的旧框框，一片更为广阔的数学天地便尽收眼底……数学的文化内涵在历史的脉络中体现的淋漓至尽，学生感受的是浓浓的数学文化气息．
5.2加深对数学思想方法的理解
学生在理解、把握数学知识中，不仅仅是记忆形式上的数学知识，更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法等．通过对数的发展历史的研究，可以把握数学知识、思想、方法的来龙去脉．从实数系到复数系，如何扩充的？
扩充的原则是什么？
教者通过设计问题串，引领学生追溯数的发展历史，类比前几次数系的扩充，让学生在知识发生过程中进行“火热的思考”，实现“再创造”，抽象概括出数系扩充的原则．
5.3架起感性认识到理性认识的桥梁
从虚数的“生长”过程来看，即使是数学家的认识也是逐步深入的．这是数学家几代人共同努力的产物：
是一个从无到有、从疑惑到接受、从模糊到清晰、从片面到完善的过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能体验到数学家的创造过程；才能感知到数学家的认知过程；才能感悟到数学家的思维过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能消除学生对虚数的疑惑：
“虚数是什么？
为什么要引入？
怎么引入？
引入后有什么用？
”．只有学生亲身“经历”这一历史过程，才能感受到虚数不是神秘莫测、绝对权威的，是一种创造．
5.4培养学生科学品质和创新精神
复数的产生和发展是数学家们辛勤耕耘的结果，是思想观念的突破．它体现了数学家的科学品质和创新精神．象这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，既然没有实数解，为什么还要讨论它？
既然负数不能开平方，又为什么要承认是有意义的？
这是一种心理上的矛盾、认知上的冲突，更是观念上的碰撞．历史的再现对学生的影响作用是巨大的，他们体会到了虚数的引入是一种创造，一种发明，一种思维上突破，一种观念上的更新．他们从数学家不懈努力的历程看到了一种精神、一种力量、一种思维方法．
人教A版高中数学选修1-2第三章《3.1.1数系的扩充与复数的引入》
评测练习
1、教学目标：
（1）经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
2、教学重点、难点：
（1）重点：
体会数的概念的发展和数系扩充的过程，从中感受实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，并认识数系扩充的原则；
（2）难点：
认识到实数系向复数系扩充的必要性，并掌握如何将实数系扩充到复数系，从而掌握复数的相关概念.
一、自主学习
1．
分别代表什么？
2．若给方程
一个解
则这个解
要满足什么条件？
是否在实数集中？
3．复数的概念：
（1）我们把形如
的数叫做复数，其中
叫
做，
全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母表示.
（2）复数的代数形式：
复数通常用小写字母表示，即
，这一表示形
式叫做复数的代数形式，其中叫做复数
的实部，叫做复数
的虚部.
（3）规定：
，强调：
两复数不能比较大小，只有等与不等.
（4）定义虚数：
叫做虚数，
叫做纯虚数.
数集的关系：
二、练一练
写出下列复数的实部与虚部.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
三、例题解析巩固概念
例1：
请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
①
②
③
④
⑤
⑥
例2：
实数m取什么值时，复数
是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）
（5）
变式训练：
1．判断下列命题的真假：
（1）一个数是实数，则这个数一定是复数；
（2）一个数是虚数，则这个数一定是复数；
（3）一个数是虚数，则这个数一定是纯虚数；
（4）一个数有可能既是虚数，又是实数.
2．实数m取什么值时，复数
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
例3：
已知
求实数
的值.
变式训练：
1．已知
求实数
的值.
2．若
为实数，且
求
.
双基达标
1．“复数a＋bi（a，b∈R）是纯虚数”是“a＝0”的什么条件（ ）．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．以2i－
的虚部为实部，以
i＋2i2的实部为虚部的新复数是（ ）．
A．2－2iB．2＋i
C．－
＋
D.
＋
i
3．下列命题中，假命题是（ ）．
A．两个复数可以比较大小
B．两个实数可以比较大小
C．两个虚数不可以比较大小
D．虚数和实数不可以比较大小
4．已知a，b∈R，且a－1＋2ai＝－4＋bi，则b＝________.
5．如果复数a＋bi是虚数，则下列式子成立的个数为________．
（1）a＝0；
（2）b＝0；（3）a≠0；（4）b≠0.
6．实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋（m－1）i是：
（1）实数；
（2）虚数；（3）纯虚数．
综合提高
7．复数1＋i＋i2等于（ ）．
A．1B．i
C．－iD．0
8．复数（3m－2）＋（m－1）i是虚数，则m满足（ ）．
A．m≠1B．m≠
C．m＝1D．m＝
9．方程x2＋4＝0的根为________．
10．复数z＝（x2－1）＋（
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