初二轴对称经典习题附答案.docx
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初二轴对称经典习题附答案
初二轴对称经典习题附答案
轴对称经典练习附答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于
AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）.
A．AD=BDB．BD=CDC．∠A=∠BEDD．∠ECD=∠EDC
2．如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（）.
A．20B．12C．16D．13
3．如图：
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，
），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）
A．4B．5C．6D．8
4．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（）
A．5B．6C．7D．8
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
6．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图∶①分别以B，C为圆心，以大
△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5.
（1）求BC的长；
（2）求证：
BD＝CD.
24．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？
若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
25．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：
DE=DF．
参考答案
1．D.
【解析】
试题分析：
∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．
故选：
D．
考点：
作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
2．C
【解析】
试题分析：
根据AB=AC，AD平分∠BAC，则点D为BC的中点，AD⊥BC，则CD=4，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得：
DE=AE，则△CDE的周长=DE+EC+CD=AE+EC+CD=AC+CD=12+4=16.
考点：
（1）、等腰三角形的性质；
（2）、直角三角形的性质
3．C
【解析】
试题分析：
根据等腰三角形的性质可得：
点M的坐标为（0,2）；（0，-2）；（2,0）；（-2,0）；（0,2
）；（0，
）共6个点.
考点：
等腰三角形的性质
4．A
【解析】
试题分析：
根据角平分线的性质可得：
∠OBD=∠OBC，∠OCB=∠OCE，根据平行线的性质可得：
∠OBD=∠DOB，∠OCE=∠COE，则BD=DO，CE=OE，即DE=DO+OE=BD+CE=5.
考点：
等腰三角形的性质
5．C．
【解析】
试题分析：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．
考点：
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
6．2
或2
或2
【解析】
试题分析：
当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=ABsin60°=4×
=2
；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=
=2
，
在直角三角形ABP中，
AP=
=2
，
情况二：
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为：
2
或2
或2．
考点：
勾股定理．
7．15°或30°或60°或75°或150°
【解析】
试题分析：
根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，找出点P的位置，求得∠APC的度数即可．根据点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：
由图可得：
∠AP1C=15°，∠AP2C=30°，∠AP3C=60°，∠AP4C=75°，∠AP5C=150°．
考点：
（1）、等边三角形的性质；
（2）、等腰三角形的性质
8．105°
【解析】
试题分析：
根据AC=AD可得：
∠CDA=∠A=50°，则∠ACD=80°，根据中垂线的性质以及外角的性质可得：
∠B=∠BCD=25°，则∠ACB=80+25=105°.
考点：
等腰三角形的性质
9．5
【解析】
试题分析：
根据等腰三角形的判定定理可得：
△ADE、△BDE、△BDC、△ABD和△ABC为等腰三角形.
考点：
等腰三角形的判定
10．42°
【解析】
试题分析：
根据AB=AC，∠A=32°，则∠ABC=∠C=74°，根据中垂线的性质可得：
∠ABD=32°，则∠CBD=∠ABC－∠ABD=74°－32°=42°.
考点：
中垂线的性质
11．15°
【解析】
试题分析：
设∠F=x°，根据等腰三角形和外角的性质可得：
∠DEC=2x°，∠ACB=4x°，根据等边三角形的性质可得：
4x=60°，则x=15°，即∠F=15°.
考点：
等腰三角形的性质
12．70°或110°
【解析】
试题分析：
本题需要分两种情况来进行讨论，分别画出图形得出答案.两种情况即为锐角三角形和钝角三角形.
考点：
（1）、等腰三角形的性质；
（2）、分类讨论思想
13．5
【解析】
试题分析：
过点P作PE⊥MN，根据等腰三角形底边上的三线合一定理可得ME=
MN=1，根据∠O=60°可得∠OPE=30°，则OE=
OP=6，则OM=OE－ME=6－1=5.
考点：
勾股定理.
14．10
【解析】
试题分析：
根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．
解：
∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，
∴∠5=∠6，∠1=∠2，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠4=∠6，∠1=∠3．
∴∠4=∠5，∠2=∠3，
即OD=BD，OE=CE．
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．
故答案为：
10．
【点评】此题比较简单，利用的是角平分线的定义，平行线及等腰三角形的性质．
15．
．
【解析】
试题分析：
要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．
解：
连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，
∴BE=
BM．
在直角△BDM中，BD=
BC=3，DM=
AD=
，
∴BM=
=
，
∴BE=
．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为
．
点评：
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
16．
＜x＜5．
【解析】
试题解析：
依题意得：
10-2x-x＜x＜10-2x+x，
解得
＜x＜5．
考点：
1.等腰三角形的性质；2.解一元一次不等式组；3.三角形三边关系．
17．2
【解析】
试题分析：
作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=
PC=
×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
考点：
（1）角平分线的性质；
（2）含30度角的直角三角形．
18．36
【解析】
试题分析：
连接BD，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=72°，
∵BE=BD=BC，
∴∠BDC=72°，
∴∠DBC=36°，
∴∠EBD=36°，
∴∠EDB=72°，
∴∠ADE=180°﹣72°﹣72°=36°，
故答案为：
36
考点：
等腰三角形的性质
19．
【解析】
试题分析：
如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△EBD是等边三角形，
∴BE=BD，∠EBD=60°，
∴∠EBD=∠ABC，
∴∠EBF=∠DBC，
又∵EB=BD，
∴△EBF≌△DBC，
∴BF=BC，EF=CD，
∵∠FBC=60°，
∴△BFC是等边三角形，
∴CF=BF=BC，
∵BC=
AB，
∴BF=
AB，
∴AF=FB，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，
∴在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线为
．
故答案为：
．
考点：
等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
20．10．
【解析】
试题分析：
因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：
4+4+2=10，答：
它的周长是10，故答案为：
10．
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．
21．55.
【解析】
试题解析：
∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°
又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠C=180°-（∠CFD+∠FDC）=55°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°
根据四边形内角和为360°可得：
∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD+∠A）=55°
∴∠EDF为55°．
考点：
1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理．
22．
（1）、10；
（2）、证明过程见解析
【解析】
试题分析：
（1）、根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°，从而得出∠CAD=30°，根据垂直得出AC=BC=10；
（2）、过D作DF⊥BC于F，然后证明Rt△DCE和Rt△DCF全等，从而得出CF=CE=5，根据BC=10得出BF=FC，从而得出答案.
试题解析：
（1）、在△ABC中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°．
∵∠BAD＝15°，∴∠CAD＝30°．∵CE⊥AD，CE＝5，∴AC＝10．∴BC＝10．
（2）、过D作DF⊥BC于F.在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，∴∠ACD＝75°．
∵∠ACB＝90°，∴∠FCD＝15°．在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，∴∠ACE＝60°．
∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝15°．∴∠ECD＝∠FCD.∴DF＝DE.
在Rt△DCE与Rt△DCF中，
∴Rt△DCE≌Rt△DCF.
∴CF＝CE＝5．∵BC＝10，∴BF＝FC．∵DF⊥BC，∴BD＝CD．
考点：
（1）、三角形内角和定理；
（2）、三角形全等的判定与性质
23．
（1）、证明见解析；
（2）、直角三角形、理由见解析；（3）、不能，理由见解析；（4）、α=110°或125°或140°
【解析】
试题分析：
（1）、根据△BOC≌△ADC得到OC=DC，结合∠OCD=60°，从而得出等边三角形；
（2）、根据△BOC≌△ADC，∠α=150°得到∠ADC=∠BOC=150°，根据等边三角形得到∠ODC=60°，从而得出∠ADO=90°，从而得到三角形的形状；（3）、由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α，当△AOD为等边三角形时，则∠ADO=60°，结合∠ODC=60°得出∠ADC=120°，又根据∠AOD=∠DOC=60°得出∠AOC=120°，从而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°，从而得到答案；（4）、根据△OCD是等边三角形得到∠COD=∠ODC=60°，根据三角形的性质得出∠ADC=∠BOC=α，∠AOD=190°－α，∠OAD=50°，然后分三种情况分别求出α的大小.
试题解析：
（1）、∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC．∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形．
（2）、△AOD是Rt△．理由如下：
∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是Rt△．
（3）、不能理由：
由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD为等边三角形，则∠ADO=60°，又∠ODC=60°，∴∠ADC=∠α=120°.
又∠AOD=∠DOC=60°，∴∠AOC=120°，又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°．所以△AOD不可能为等边三角形.
（4）、∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．
综上所述：
当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
考点：
（1）、三角形全等；
（2）、分类讨论思想.
24．
（1）、直角三角形；
（2）、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°
【解析】
试题分析：
（1）、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，则△ACD是直角三角形；
（2）、分类讨论：
当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．
试题解析：
（1）、∵△ABC中，AC=BC，∴∠A=∠B=
=
=30°，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°，又∵∠CDE=30°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，
∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴△ACD是直角三角形；
（2）、△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE=∠ECD时，EC=DE，∴∠ECD=∠CDE=30°，∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∴∠AED=60°，
②当∠ECD=∠CED时，CD=DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=
=
=75°，∴∠AED=180°﹣∠CED=105°，
③当∠CED=∠CDE时，EC=CD，∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠ACB=120°，∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°
考点：
（1）、三角形内角和定理；
（2）、分类讨论思想的运用；（3）、等腰三角形的判定与性质．
25．证明过程见解析．
【解析】
试题分析：
首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，继而可得出结论．
试题解析：
如图，连接CD．∵BC=AC，∠BCA=90°∴△ABC是等腰直角三角形∵D为AB中点
∴BD=CD=AD，CD平分∠BCA，CD⊥AB∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°∴∠A=∠FCD
∵∠CDF+∠CDE=90°∠CDE+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CFD中，
∵∠A=∠FCD，AD=CD，∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CFD（ASA）∴DE=DF．
考点：
（1）、全等三角形的判定与性质；
（2）、等腰直角三角形．
26．∠BAD=20°；∠EDC=30°
【解析】
试题分析：
根据DE⊥AC，AD=AE，∠DAE=80°得出∠ADE=∠E=50°，∠DAF=∠EAF=40°，根据等边三角形的性质得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理得出∠EDC的度数.
试题解析：
当DE⊥AC时，∵AD=AE，∠DAE=80°∴∠ADE=∠E=50°∠DAF=∠EAF=40°
∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°∴∠BAD=60°﹣40°=20°
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC∴60°+20°=50°+∠EDC∴∠EDC=30°
考点：
三角形内角和定理
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