双曲线典型例题12例含实用标准问题详解doc.docx

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双曲线典型例题12例含实用标准问题详解doc

《双曲线》典型例题12例

典型例题一

例1　讨论

表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

分析：

由于

，

，则

的取值范围为

，

，

，分别进行讨论．

解：

（1）当

时，

，

，所给方程表示椭圆，此时

，

，

，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．

（2）当

时，

，

，所给方程表示双曲线，此时，

，

，

，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．

（3）

，

，

时，所给方程没有轨迹．

说明：

将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些

值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．

典型例题二

例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点

，

且焦点在坐标轴上．

（2）

，经过点（－5，2），焦点在

轴上．

（3）与双曲线

有相同焦点，且经过点

解：

（1）设双曲线方程为

∵

、

两点在双曲线上，

∴

解得

∴所求双曲线方程为

说明：

采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．

（2）∵焦点在

轴上，

，

∴设所求双曲线方程为：

（其中

）

∵双曲线经过点（－5，2），∴

∴

或

（舍去）

∴所求双曲线方程是

说明：

以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．

（3）设所求双曲线方程为：

∵双曲线过点

，∴

∴

或

（舍）

∴所求双曲线方程为

说明：

（1）注意到了与双曲线

有公共焦点的双曲线系方程为

后，便有了以上巧妙的设法．

（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．

典型例题三

例3已知双曲线

的右焦点分别为

、

，点

在双曲线上的左支上且

，求

的大小．

分析：

一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．

解：

∵点

在双曲线的左支上

∴

∴

∴

∵

∴

说明：

（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．

（2）题目的“点

在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点

在双曲线上”结论如何改变呢？

请读者试探索．

典型例题四

例4已知

、

是双曲线

的两个焦点，点

在双曲线上且满足

，求

的面积．

分析：

利用双曲线的定义及

中的勾股定理可求

的面积．

解：

∵

为双曲线

上的一个点且

、

为焦点．

∴

∵

∴在

中，

∵

∴

∴

∴

说明：

双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．

典型例题五

例5　已知两点

、

，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．

分析：

问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．

解：

根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．

∵

，

∴

∴所求方程

为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．

说明：

（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．

（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．

典型例题六

例6　在

中，

，且

，求点

的轨迹．

分析：

要求点

的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？

解：

以

所在直线为

轴，线段

的中垂线为

轴建立平面直角坐标系，则

，

．

设

，由

及正弦定理可得：

∵

∴点

在以

、

为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：

∴

，

∴

，

∴

∴所求双曲线方程为

∵

∴

∴点

的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分

典型例题七

例7　求下列动圆圆心

的轨迹方程：

（1）与⊙

内切，且过点

（2）与⊙

和⊙

都外切．

（3）与⊙

外切，且与⊙

内切．

分析：

这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙

、⊙

的半径为

、

且

，则当它们外切时，

；当它们内切时，

．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．

解：

设动圆

的半径为

（1）∵⊙

与⊙

内切，点

在⊙

外

∴

，

，

∴点

的轨迹是以

、

为焦点的双曲线的左支，且有：

，

，

∴双曲线方程为

（2）∵⊙

与⊙

、⊙

都外切

∴

，

，

∴点

的轨迹是以

、

为焦点的双曲线的上支，且有：

，

，

∴所求的双曲线的方程为：

（3）∵⊙

与⊙

外切，且与⊙

内切

∴

，

，

∴点

的轨迹是以

、

为焦点的双曲线的右支，且有：

，

，

∴所求双曲线方程为：

说明：

（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．

（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．

（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．

典型例题八

例8　在周长为48的直角三角形

中，

，

，求以

、

为焦点，且过点

的双曲线方程．

分析：

首先应建立适当的坐标系．由于

、

为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知

，

，所以利用条件确定

的边长是关键．

解：

∵

的周长为48，且

，

∴设

，

，则

．

由

，得

．

∴

，

，

．

以

所在直线为

轴，以∴

的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为

．

由

，得

，

，

．

由

，得

，

．

由

，得所求双曲线方程为

．

说明：

坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．

典型例题九

例9　

是双曲线

上一点，

、

是双曲线的两个焦点，且

，求

的值．

分析：

利用双曲线的定义求解．

解：

在双曲线

中，

，

，故

．

由

是双曲线上一点，得

．

∴

或

．

又

，得

．

说明：

本题容易忽视

这一条件，而得出错误的结论

或

．

典型例题十

例10　若椭圆

和双曲线

有相同的焦点

和

，而

是这两条曲线的一个交点，则

的值是（　　）．

A．

　　B．

　　C．

　　D．

分析：

椭圆和双曲线有共同焦点，

在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到

和

的关系式，再变形得结果．

解：

因为

在椭圆上，所以

．

又

在双曲线上，所以

．

两式平方相减，得

，故

．选（A）．

说明：

（1）本题的方法是根据定义找

与

的关系．

（2）注意方程的形式，

，

是

，

，

是

．

典型例题十一

例11若一个动点

到两个定点

、

的距离之差的绝对值为定值

，讨论点

的轨迹．

分析：

本题的关键在于讨论

．因

，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：

，

，

，

．

解：

．

（1）当

时，轨迹是线段

的垂直平分线，即

轴，方程为

．

（2）当

时，轨迹是以

、

为焦点的双曲线，其方程为

．

（3）当

时，轨迹是两条射线

或

．

（4）当

时无轨迹．

说明：

（1）本题容易出现的失误是对参变量

的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．

（2）轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．

典型例题十二

例12　如图，圆

与

轴的两个交点分别为

、

，以

、

为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在

轴左方的交点分别为

、

，当梯形

的周长最大时，求此双曲线的方程．

分析：

求双曲线的方程，即需确定

、

的值，而

，又

，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义

，又

为直角三角形，故只需在梯形

的周长最大时，确定

的值即可．

解：

设双曲线的方程为

（

），

（

，

），

（

）．

连结

，则

．

作

于

，则有

．

∴

，即

．

∴梯形

的周长

即

．

当

时，

最大．

此时，

，

．

又

在双曲线的上支上，且

、

分别为上、下两焦点，

∴

，即

．

∴

，即

．

∴

．

∴所求双曲线方程为

．

说明：

解答本题易忽视

的取值范围，应引起注意．