线性代数练习题及答案.docx
《线性代数练习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数练习题及答案.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
线性代数练习题及答案
线性代数练习题
则必有：
（）
（B）A=B=0
（D）A=|B=0
选择题
1A,B都是n阶矩阵，且AB=0,
（A）A=0或B=0.
（C）A=0或B=0.
2设
5
0、
b、
1
-r
<-1
b
d」
0
1丿,
0
<1
~r
（A）
.（B）
■
1—1
1」
<1
0丿
3若A为mn矩阵，且R（A^r:
mn则（）必成立.
（A）A中每一个阶数大于r的子式全为零。
（B）A是满秩矩阵。
（C）A经初等变换可化为
0
0>
（D）A中r阶子式不全为零。
4向量组二厂匕,…：
'，线性无关的充分条件是（）
（A）：
1,：
2,：
s均不是零向量.
（B）：
忙2,：
s中任一部分组线性无关.
（C）_：
»,_込广%中任意两个向量的对应分量都不成比例.
（D）:
、，：
』,…：
*中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示5齐次线性方程组AX=0是非齐次线性方程组AX二B的导出组，则（）必定成立.
（A）AX=0只有零解时，AX=B有唯一解.
（B）AX-0有非零解时，AX=B有无穷多解.
（C）〉是AXJ的任意解，0是AX=B的特解时，0•〉是AX=B的全部解.
（D）!
，2是AX=B的解时，「2是AX=0的解.
6若B=二，方程组AX二B中，方程个数少于未知量个数，则有（
（A）AX=B—定无解。
（C）AX-■n必有非零解。
（B）AX-v只有零解。
（D）AX=B—定有无穷多组解。
ax—bv=1
7线性方程组丿丫，若a^b,则方程组
（A）无解（B）有唯一解（C）有无穷多解
（D）其解需要讨论多种情况
B都是n阶矩阵，且
AB=0，则A和B的秩（
A必有一个为0,
C必有一个小于n，
B必定都小于n,
D必定都等于n
填空题
1方程组
x1+2x2_X3=0
2x14x27x3=0
的通解为
2设5阶方阵A的行列式为|A=—J2，贝U|<2A=
3已知
■2
-3
，求X二
三计算题
2
1
1D=-
0
-531
3-13
1
1
1
1
1
3
4
2
2D
=
2
22
解：
D
1
3
4
2
亠3
3一3
1
3
4
2
x
0
0
2
2
x
0
0
3D=
解：
D=x
0
2
x
0
0
0
2
x
—42—3
=（3-1）（4-1）（2-1）（4-3）（2
_3）（2_4）=12
x00
2x0
2x0
+2（-1严
02x
=x4-16
02x
002
bx+ay=0
xaxx
4D=
xxax
xxxa
1
1
1
1
1
1
x
x
0
a—x
0
0
3
=（3x+a）
、J
0
0
0
=（3x+a）（a—x）
a
x
a—x
x
a
0
0
0
a—x
11
xa
D=（3x+a）
xx
xx
[
4-681
'234'
5设A=
234
求矩阵A的秩。
解：
A[
010
i
-2-3_4_
<000>
R（A）=2
222
123=2,
136
222
6设A=123,B=A」,求B解：
A
136一
广2
0
3、
（1、
‘2
0
3、
7解矩阵方程：
-1
4
6
X=
-1
解：
-1
4
6
<3
-2
一3」
3丿
<3
_2
一3」
<27
125丿
广2
0
3、
-4
「1、
X=
-1
4
6
-1
<3
—2
一3」
10」
<275
2'
（1'
5
5、
5
1
1
-1
=
9
1。
」
9
1
17
125丿
<135丿
"2
0
3、
■-1
8
2、
8解矩阵方程：
X
-1
4
6
—
0
_3
6
<3
-2
一3」
3
0
5丿
-2
3T1
1
_9
2
27
J1
8
2、
广2
0
3、
1
8
2、
X=
0
-3
6
-1
4
6
=
0
-3
6
<0
0
5」
<3
-2
_3J
0
5」
10
27
2
_5
1
_9
1
125丿
20
27
7
9
10
64
135
17
27
45
1
27
Xi
2x23x34x4
求线性方程组'
Xi
-x2X3
X4
5
的通解
3
4
3」
R（A）
二R（B）=2：
：
：
4,故原方程
组有无穷多组解
5
7
Xi=
一一X3
-2x4+—
3
3
2
4
x2=
X3
-X4+-
3
3
X3=
X3
I.X4=
X4
同解方程组为:
X4为自由未知量，
10求线性方程组
础解系。
r5、
-3
卜2、
X
2
-1
+k1
—
+k2
X3
3
0
1
lX4丿
11丿
I0丿
丿
原方程组的通解为:
k1,k2任意常数
x12x2x3x4=2
2x15x2x34Xd=5
123亠的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基
Xi
X2-X32X4
3x2
3x4
=1
（1
2
1
1
2、
（1
0
3
-3
0、
2
5
1
4
5
C
0
1
-1
2
1
0
1
1
-1
2
1
0
0
0
0
0
I1
3
0
3
3」
1
1°
0
0
0
°」
解：
B=
同解方程组为:
知R（A）二R（B）=2:
:
：
4,故原方程组有
无穷多组解，
二-3x33x4
=X3-2X41
X3M4为自由未知量,
原方程组的通解为:
X2
3x12x2X3X4--2
123的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个
X2+2X3+X4=5
11求线性方程组
基础解系。
「1
1
1
1
1、
「1
0
_1
_1
-4
3
2
1
1
-2
「
0
1
2
2
5
0
1
2
1
5
L
0
0
0
1
0
\5
4
3
3
0」
<0
0
0
0
0」
解：
B二
5X14X23X3
，知R（A）二R（B）=3：
：
：
4,故原方程组
有无穷多组解，同解方程组为:
fX1=X3_4
x2二-2x35，x3为自由未知量，原方程组的通解为:
x4=0
Xi-X3
12当a为何值时下列线性方程组有解
2x^1+x2-x3+x4=-2
%+2x2+x3+x4=3
-x1x22x3_2x4
x4=-1
有解时用向量形式表示出它的通解
广2
1-1
1
-2]
n
2
1
1
3、
1
21
1
3I
0
1
1
0
2
一1
12
-2
La
0
0
0
1
2
0-1
1
一1丿
<0
0
0
0
aj」
解：
B=
（1
（1
2
1
1
3
0
0
，当a=1时，R（A）=R（B）=3，线
—3）
性方程组有解。
，知R（A）=R（B）=3：
：
4,故
-3
二X3
，X3为自由未知量，
原方程组的通解为:
x-i
原方程组有无穷多组解，
13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组
（1）：
1=（2,1,3）;：
2=（1,-1,2）;：
3=（0,3,-1）；
（2）a1=（1,0,1）,a2=（0,1,-1）,a3=（2,0,1）a4=（0,1,2）
z2
1
0、
n
-1
3、
解：
（1）A=
1
-1
3
c
0
1
-2
2
-b
1°
°
1」
向量组〉1,〉2,〉3线性无关，且〉1,〉2,〉3就是一个最大无关组
广1
°
2
°、
°
2
°、
解：
（2）A=
°
1
°
1
c
°
1
°
1
J
-1
1
2」
<°
°
-1
3」
向量组-'I,〉2,為线性相关，：
'1^-2^'3或-1,〉2厂4是最大无关组
14已知向量组rF1234,-2=〔2345,：
^'3456,
J=（4
5
6
7），求向量组的秩。
解
*1
2
3
4、
1
2
3
4、
*1
1
1
1]
1
1
1
1]
2
3
4
5
1
1
1
1
1
2
3
4
°
1
2
3
A=
[
L
3
4
5
6
1
1
1
1
°
°
°
°
°
°
°
°
I4
5
6
7丿
1
1
1丿
<°
°
°
°丿
1
1°
°
°
°丿
R（：
1,〉2」3,：
4）=2
15已知向量组
«1
=（1
2
-11
），心
-=（2
0
t0）3=（0—45—2）的秩为
2，求t。
p
2
°、
（1
2
°'
2
°、
&2
°
-4
°
-4
-4
°
1
1
解：
A=
L
[
-1
t
5
°
2+t
5
°
2+t
5
°
一2」
1°
-2
一2丿
1°
°
°」
若R（〉1「2,〉3）=2,则2t=5,所以t=3.
16讨论向量组y=111
，:
2=：
123，:
3=13t，当t为何值时，向量
组线性相关。
（1
i
1、
n
1
1、
n
1
1、
解：
A=
1
2
3
c
0
1
2
]
0
1
2
a
3
t」
<0
2
I
0
t—5」
若向量组线性相关,则R（r,：
2：
3）=R（A）：
：
3
所以t-5=0，即t=5
四证明题
1.设A,B相乘可交换，且A可逆，证明A，与B相乘也可交换证：
由AB二BA得B=A」BA故BA」二A」B.
2•设A是可逆的n阶矩阵，求证-A"—AJ.
证：
由-A」-A二A」A=E.故A」=-A」.
线性代数练习题答案
一.选择题
I.（C）
|AB|=|A||B|=|0|=0。
2.
（B）可代入验算。
3.（A,C,D）例如a=
1
0
<0
4.（B,D）部分组也含向量组
本身。
5.（C）
:
是AX
的任意解,
0是AX=B的特解时，°：
•是
AX二B的全部解.
.（C）
7.（B）
•b2=0，由克莱姆法则知有唯一解。
8.（C）
二.填空题
X2=11k,k是任意常数.2.（“i|A|=—（/2$=—8
W丿I0丿
1.
3.
*-.
1.
D
2.
3.
4.
5.
6.
7
5
11
2-
-3」
有关的
2
<1
0屮
一1」
10、
1一1」
计算题
解:
化为二角形行列式得:
D=40
1
3
-1
3
-11
5
-5
-11
-6
-5
0
-11
5
—5
-6
-5
=—
1
1
-5
=——
1
2
-5
=
0
1
1
—5
2
-5
-1
1
0
-1
0
0
0
-1
1
0
=40
解:
由范得蒙行列式结论得:
D=（3_1）（4_1）（2_1）（4_3）（2_3）（2_4）=12
解:
按第一行展开计算得:
D=x4-16
解：
将2,3,4行加到第一行提公因式化二角形得：
D=（3x■a）（a-x）3
102
解:
At010,R（A）=2
卫00；
解：
冋非冷屮亡盒冷
2
0
3"
0
1
"5
2
~5
解：
（A，E）初■行变（E，aJ）,
-1
4
6
=
1
_"2
1运
1
~2
3
-2
~3）
1
13
2
5
一帀丿
1
5
-1
17_15
8.解:
/01
_可
53话
46、
15
A土同上题，X=BA，=
7
2
23-10
31-10
5
2
4
一飞丿
1
9.解：
增广矩阵
2
-1
3
4
5^
初行变
TT
1
0
5y
2r
1
1
1」
1°
1
2
3
1約
（行最简阶梯
Xi
X2
鳥X3-2x4?
-紜3-X44
X3-X3
焉=X4
X2
X3
f5、
_3
门\
3
2
3
k1+
-1
k2+
4
3
1
0
0
<0丿
<1」
k1,k2为任意常数
10.解：
对增广矩阵做初行变后类上题可得:
：
1,：
2
为对应导出组AX"的一个基础解系。
X1
=一3x3+3x4
X1”
3
〔3\
X2
=X3—2x4+1
X2
1
-2
1
=
1
k1+
0
k2+
0
X3=X3
X3
1
x4=x4
1X4」
<0」
<1」
<0j
k1,k2为任意常数.
11.解：
对增广矩阵做初行变后类上题可得:
Xi=X3—4
X2二-2x3-5
X3二X3
X4=0
Xi
X2
X3
1
-2k+
1
0丿
k为任意常数
1
令a=一2,a为对应导出组AX=日的一个基础解系
1
12.解：
A二
r2
1
-1
1
-2]
1
0
-1
0-1、
1
2
1
1
3初行变
h,V
0
1
1
02
-1
1
2
-2
TTa
0
0
0
13
0
-1
1
一1丿
<0
0
0
0詈-a,
对增广矩阵做初行变后可知当
11
a=
3
时,
原方程组有解,
冷=X3
1~3
「1、
/1、
_3
x2=-x3
+2
2，通解为：
X2
-1
k+
2
X3=X3
X3
1
0
2
X4=3
<0』
2
“丿
k为任意常数.
2
1
0'
1
0
0、
13.
（1）解：
A二
1
-1
3
初行^
0
1
0
<3
2
-1」
I0
0
h
1
0
2
0、
1
0
0
6
⑵解：
A=0
1
0
1T
0
1
0
1
-1
1
2」
<0
0
1
-3
：
仆：
2,：
3为其最大无关组.
S,〉2,>3,>4线性相关.
〉_,：
•2,〉3线性无关，为其最大无关组.
14.解:
1
2
3
<4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
初行变
TT
1
0
0
<0
0
1
0
0
-1
2
0
0
-2
3
0
0
:
、，—为其最大无关组.秩为2.
15.解:
0
-4
5
—2
1
tf3
R（A）=2,t=3满足要求.
16.解:
1
0
—
2丿
<0
00
1
1
1
1
1、
1
2
3
T
0
1
2
<1
3
tj
<0
0
t—5）
A=
八向量组线性相关，•t=5满足要求.
四.证明题
1.证明：
AB=BA且A」存在，分别左乘、右乘A」，得AJAA-1,或BA」二A』B，结论得证。
2.证明：
由性质（'A）（」B）V、（AB），现在-AJA=（-1）（-1）人」人=A」A=E.又由性质知AB=E=BJ-A，故-A，二-A」.
升级会员 