八.C（x+"）刃
终端状态自由•试求/（0,x*（0和八10-23设一阶系统
W）=“⑴
边界条件为:
t0=0,X（/o）=l,/y=1,X（ty）=0.
性能指标
试确定最优控制u\t）和最优轨线x\t）・
10-24设有二阶系统
A'i（t）=X2（O+Z/（O,“（0）=1
X?
（/）=A'l（/）,x2（0）=0
控制约束|h（0|<1,当系统终端自由时，求最优控制/⑴，使性能指标
J=2x1
（1）+x2
（1）
取极小值,并求最优轨线x*（O，
10-25已知系统状态方程
-V1（0=-^2（0
x2（0=«（0
控制约束\u（t）\<1，试确定最小时间控制u\t）,使系统由任意初始状态最快地转移到终端状态勺（//）=2,x2（rp=l.要求写出开关曲线方程y并画出7曲线的图形.
10-26设系统状态方程
-_01]「0]
叫o0$叫
控制约束|“（/）|<1,§标集要求M=“（//）=0,试求使系统从初态[x10x20]r转移到目标集的最短时间f；.
10-27设线性时变系统状态方程为
«¥（/）=4（0X0+B⑴1心）,x（/0）=x0
性能指标为八/（⑺叫+独讥心[眾）綁締
其中R（t）为正定对称矩阵,P为非负矩阵，Q{t）-N{t）R-\t）NT（t）为非负对称矩阵，■为有限值.试确定最优
控制律“*（/）•
10-28设有一阶非线性系统
x（t）=f（x）+gu
性能指标八加+g（x）M
试证哈密顿-雅可比方程按照—是线性的，按照—是二次的。
dtox
10-29已知一阶系统
X（0=u（t）,x（/o）=xo
性能指标
J=x2（t/）+^[u2+x2]dt
试求最优控制/⑴和最优性能指标厂.
x（/）=--x（/）+w（O
J=1[10x2
（1）]+1j；[k2+2a-2]J/
10-30已知一阶系统
性能指标
求最优控制/⑴.
10-31设二阶系统如下图所示•试写出系统的可控标准型，并求使性能指标
J=^[gy\O+nr（t）]dt
J=^e2at[u2（l）+hx2]dt
其中a,b,a为常数,b和a非负.试求最优闭环系统特征值X,并用图解法表示入随a,b和a变化时的情况・
10-33试求下列黎卡提矩阵代数方程的正定解
KA+AlK-rlKhbTK+qcTc=0
■01o'
o
式中人=
001
b=
0
-a00
1
0o]
10-34设有二次枳分模型
-^1（0=x2（0,"（0）=0
X?
（/）="（/）宀（0）=1
>'（/）=A'l⑴
要求的性能指标为
八W+4"W
试构造最优输出调节器，并求最优性能指标丿*。
10-35设有时河跟踪系统
M（/）=A（O-v（O++珂），a（/0）=x0
y（t）=
是完全可观的，其中A-eR\u6R'\ye疋，e⑴为确定性输入噪声向量.性能指标取为
J=^[z（tf）-yQf）FHP/）-yQf）]
+才£"（/）«（/）“（/）+[<（/）-y（/）]‘°（/）[z（/）-y（01｝山
其中z（t）为希望输出向量,F>0,/e>0，c>0.试用极小值原理的方法求最优控制u\t）.
10-36已知二阶离散系统
1[e^T+r-l
心+1）=°_r心）+_r“伙）
0eT」1-er
其中u（k）无约束.要求最优控制序列u\k）,使系统在2个采样周期内由初态x（0）转移到状态空间原点.
10-37对于离散状态调节器
x（k+1）=A（k）x（J<）+B（k）u（k）,x（0）=xQ伙=0,1,…,N—1）
性能指标
11H-l
J=-xl（N）尸（N）x（N）+_Xtx，伙）0伙）X伙）+/伙）尺伙加伙）]
22心0
其中，u（k）无约束；P（N）>0;2（Z:
）>0;R（k）>0・
10-38试用离散极小值原理证明：
最优控制序列/（幻为
u*伙）=-r7（k）Br（k）[KT伙+1）+B（k）Ri（k）BT（A:
）]"1A（k）x（k）伙=0,1,N—1）Unknown
设离散系统状态差分方程
x{k+1）=x（k）+u（k）,a（0）=xQ
性能指标
J=±[u\k）+x\k）]
k=0
试用离散动态规划求最优控制/伙），最优轨线疋⑹和最优性能指标八
10-39在水管道建设中,基于水压的分部和布局方面的考虑，一组可能的管线图如下图所示•图中节点A、
B、CM的实际位置已由设计者确定，节点之间链线上的箭头指示管道中水流方向，各链线上的数学
表达该条链线的建设成本•试确定从A至M建设费用最低的管线走向.
10-40一位公务员乘坐出租车要从机场赶到会场参加重要会议，已知交通网络图如下图所示•图上数字为每条支路的驾驶时间，全部支路全是单行线.试利用动态规划找出到达会场的最短时间路线.
试求作为X解析函数的最小代价函数J（x,k）和最优决策u\x,k）.其中20,1,2.
10-43给定下列一阶离散系统
«¥伙+1）=兀伙）+【心），・口0）=1
性能指标
J=工叶伙）+，（《）]
Jl=O
试求最优控制序列u\k）,20,1,2,3和最小性能指标八.
10-44设一阶离散系统
x（k+1）=x（^）+0.1[.v2伙）+u（k）],a（0）=3
求使性能指标
J=工卜伙）-3"伙）|
A=O
为极小的最优控制/（0）、/⑴和最优轨线讥0）、“⑴.
10-45设一阶非线性系统为
A（/）=-X3（/）+u（t）,X（0）=A'o
性能指标
八扛（/+"询
若设
1,1,1,丿+%•+—d+—如兀+—"42
012!
■3!
4!
其中©昇•=0,1,2,3,4,待定.试用连续动态规划求最优控制«•（/）.
10-46设系统状态方程
“（/）=A-2（/）,“（0）=“°
“2⑴=，七（0）=X2q
性能指标
八扛（4卅+“讪
试分别利用连续动态规划和调节器方法确定最优控制“*（『）•
10-47对于线性时变系统
W）=,x（/0）=x0
和有限时间性能指标
丿=*/（//）P（tf）x（fz）+|f[xT（/）2（/）x（/）+“7⑴尺⑴“U）M
试用连续动态的方法证明:
最优控制
F（N）>0;0伙）>0;R（k）>0和黎卡提方程
-K（/）=K（t）A（t）+A/（/）K（/）-K⑴BQ）Ri（t）Bf（/）K（r）+Q（t）,KQ"=P
是成立的.
其中,x（t）eRH;u（t）eRp不受约束呦）自由,y有限;对于te[tQ9,2（0,W）»均连续、有
界;尸n0,尸=;Q（f）>OyQ=Qr;Rg>0、R=R「.K（t）为非负定矩阵.
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