数学实验概率论及数理统计分册习题.docx
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数学实验概率论及数理统计分册习题
数学实验
概率论与数理统计分册习题
第1章古典概率
2.碰运气能否通过英语四级考试
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。
这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。
除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项。
这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?
解:
假设学生作文得满分,即15分,85道选择题每道题都靠蒙,即每道题做对的概率为1/4,得60分则通过考试。
则该同学通过考试的概率为:
P=
>>nchoosek(85,40)*(1/4)^45*(3/4)^40
ans=
2.3448e-008
即:
由此可见,即使该同学作文满分,靠运气通过考试的概率也是如此的低,所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。
3.在区域H={(x,y)|(x,y)∈Q,x2+y2≤1},Q={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上考虑计算二重积分(利用Monte-carlo法):
解:
积分区域如右图所示:
>>n=10000;%模拟次数
x=rand(n,1);%点的x坐标
y=rand(n,1);%点的y坐标
m=sum(sin(x+y)./(x+y)&x.^2+y.^2<=1);
Vn=m/n%落到所求面积内的点的频率,
即概率的模拟值
Vn=
0.7891
第2章随机变量及其分布
4.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。
根据统计资料,成年男子的身高X服从均值为168厘米,方差为7厘米的正态分布,那么车门的高度应该至少设计为多少厘米?
解:
>>norminv(0.99,168,7)
ans=
184.2844
则车门的高度应该至少设计为184.3厘米
5.某研究中心有同类型仪器300台,各仪器工作相互独立,而且发生故障的概率均为0.01,通常一台仪器的故障由一人即可排除。
试问:
(1)为保证当仪器发生故障时,不能及时排除的概率小于0.01,至少要配多少个维修工人?
(2)若一人包修20台仪器,仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少?
(3)若由3人共同负责维修80台仪器,仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少?
解:
(1)设X表示300台仪器中发生故障的台数,则X
B(300,0.01),设b为需要配备的维修工人数,则应有P{X>b}≤0.01,即
,由于n=300较大,p=0.01较小,根据泊松定理,可以用λ=np=3的泊松分布近似计算。
用Matlab计算:
>>poissinv(0.99,3)
ans=
8
所以为达到要求至少需配备8名维修工人。
(2)设Y表示20台仪器中发生故障的台数,则Y~B(20,0.01)。
若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2,则一个工人不能维修,此概率为
,用Matlab计算:
>>1-0.99^20-nchoosek(20,1)*0.01*0.99^19
ans=
0.0169
则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0169。
(3)设Z表示80台仪器中发生故障的台数,则Z~B(80,0.01)。
若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4,则由三个工人共同负责保修时不能及时维修,此概率为
用Matlab计算:
>>1-0.99^80-nchoosek(80,1)*0.01*0.99^79-nchoosek(80,2)*0.01^2*0.99^78-nchoosek(80,3)*0.01^3*0.99^77
ans=
0.0087
则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0087。
6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售,在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量,设其服从正态分布N(m,b2),其中b已知,m可以在包装时调整,出厂检验时精确地称量每袋重量,多余500克的仍按500克一袋出售,因而厂家吃亏;不足500克的降价处理,或打开封口返工,或直接报废,这样厂方损失更大,问如何调整m的值使得厂方损失最小?
解:
假设b=1
【实验方案】
1.设定x为产品包装后的重量,依题意x为一随机变量,且服从正态分布N(m,b2),概率密度函数为:
,(-∞0为已知,m待定。
当成品重量M给定后,记:
P=P(x≥M)=
P’=P(x故而有:
P+P’=1
由以上分析,可将上式的第一项作为目标函数J(m):
J(m)=
,P(m)表示概率P=P(x≥M)是m的函数
分析题意可知,厂方损失Y由两部分组成:
(1)x≥L时,多余部分,重量为(x-L);
(2)xY=
=m-MP
2.上式中的Y即为没生产一袋糖果所损失的平均重量,所以生产N袋糖果,得到NP袋成品,损失总重量为(mN-MNP),因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J1为:
J1=
3.求函数J(m)的最小值点即可。
4.问题的简化:
设F(x)为正态分布N(m,b2)的分布函数,Φ(x)为标准正态分布的分布函数,则,
J(m)=
=
=
令c=
,d=
,z=d-c则上式可简化为:
J(z)=
【实验过程】
1.生成目标函数:
在Matlab的Medit建立文件Jmin.m:
functionJ=Jmin(m)
J=m/(1-normcdf((500-m),0,1));
2.画目标函数的图形:
在Matlab的Medit窗口建立文件figer.m:
form=5000:
0.001:
510
J=Jmin(m);
plot(m,J)
holdon
end
运行结果为:
从目标函数的图形可以看出,函数在500到505内取得最小值,而且当自变量向500逼近时,函数图像值急剧上升,自变量从503开始以后,函数图像接近于一条直线。
3.目标函数的最小值和最小值点的计算:
在Matlab的Medit建立文件minwaste.m:
min=600;
minm=0;
form=500:
0.001:
530
J=Jmin(m);
ifJ<=min
min=J;
minm=m;
end
end
wasteaverage=min-500;
minm,min,wasteaverage
运行后运行结果为:
minm=
503.2570
min=
503.5405
wasteaverage=
3.5405
即当m=503.2570时,目标函数值最小,最小值为503.5405,此时,生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1=3.5405。
第3章 随机变量的数字特征
1.设有标着1,2,…,9号码的9只球放在一个盒子中,从其中有放回地取出4只球,重复取100次,求所得号码之和X的数学期望及其方差。
解:
在MATLAB命令窗口输入:
>>n=100;
sele=[];
forii=1:
n
sort=randperm(9);
sele(:
ii)=sort(1:
4);
end
sigma=sum(sele);
Ex=mean(sigma),Dx=var(sigma)
输出结果为:
Ex=
19.7000
Dx=
15.5051
2.假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量
是随机变量(单位:
吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布。
如果售出一吨,可获利3万元,而积压一吨,需支付保管费及其它各种损失费用1万元,问应怎样决策才能使收益最大?
解:
每年生产该商品x吨,收益为y,故y与需求量
有关,也于生产量x有关,即:
而x的密度函数
,
通过对
求导,令
得到当
吨时,
达到最大值8250万元。
在Matlab命令窗口输入:
>>symsxz
ita1=3*x;%xita2=3*z-(x-z);%x>z
phix=1/2000;
Eita=simplify(int((ita2)*(phix),z,2000,x)+int((ita1)*(phix),z,x,4000))
dif=diff(Eita,x)
x=solve(dif)
E=eval(Eita)
输出结果为
Eita=
7*x-x^2/1000-4000
dif=
7-x/500
x=
3500
E=
8250
3.某厂生产的某种型号的细轴中任取20个,测得其直径数据如下(单位:
mm):
13.26,13.63,13.13,13.47,13.40,13.56,13.35,13.56,13.38,13.20,
13.48,13.58,13.57,13.37,13.48,13.46,13.51,13.29,13.42,13.69
求以上数据的样本均值与样本方差。
解:
在MATLAB命令窗口输入:
X=[13.26,13.63,13.13,13.47,13.40,13.56,13.35,13.56,13.38,13.20,13.48,13.58,13.57,13.37,13.48,13.46,13.51,13.29,13.42,13.69];
j=mean(X),f=var(X)
输出结果为:
j=
13.4395
f=
0.0211
4.将一枚硬币重复掷n次,并以X,Y分别表示出现正面和反面的次数.求X和Y的相关系数。
解:
用MATLAB模仿掷硬币过程,程序如下:
>>n=1000;%试验次数
fori=1:
1:
n
x(i)=binornd(1,0.5);
end;
z=sum(x)%正面朝上次数
f=n-z%反面朝上次数
s=corrcoef(z,f)%相关系数
输出结果:
z=
499
f=
501
s=
1
5.设某小型水电站一天的供电量X(kWh)在[100,200]上均匀分布,而当地人们的需求量Y在[100,250]上均匀分布。
设水电站每供电1kWH有利润0.2元;若需求量超过供电量,则水电站可以从电网上取得附加电量来补充,每供电1kWH有利润0.1元。
求该水电站在一天内利润的数学期望。
解:
由于X,Y独立,可知(X,Y)的联合密度为
利润函数为:
因此,平均利润为:
下面我们确定有效的积分区域,有效的积分区域应该使得
,所以得到如下的图形:
D1表示
,D2表示Y>X,所以
在Matlab命令窗口输入:
symsxy
ita1=0.2*y/15000;
ita2=0.1*(x+y)/15000;
a=int(int(ita1,y,100,x),x,100,200)+int(int(ita2,y,x,250),x,100,200)
c=vpa(a,4)%得到4位近似解,也可以任意N位解
输出结果为:
a=
565/18
c=
31.39
6.甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
解:
这道题是要比较两组的方差大小。
在Matlab命令窗口输入:
>>A=[95,85,75,65,55,45];
B=[73,72,71,69,68,67];
EA=mean(A),StdA=std(A,1)
EB=mean(B),StdB=std(B,1)
输出结果为:
EA=
70
StdA=
17.0783
EB=
70
StdB=
2.1602
7.将
只球(1~
号)随机地放到
只盒子(1~
号)中去,一只盒子装一只球。
若一只球装入与它同号的盒子中,称为一个配对,记
为总的配对数,求
。
解:
引进随机变量
i=1,2,…,n
则总配对数为
的分布列为:
1
0
P
E(
)=
i=1,2,…,n
i=1,2,…,n