平面向量单元测试题.docx

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平面向量单元测试题

平面向量

（时间120分钟　满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在五边形ABCDE中（如图），

＋

－

＝（　　）

A．

　　　　　　　　B．

C．

D．

解析：

选B　∵

＋

－

＝

＋

＝

.

2．已知平面向量a＝（2，－1），b＝（1,3），那么|a＋b|等于（　　）

A．5B.

C.

D．13

解析：

选B　因为a＋b＝（3,2），所以|a＋b|＝

＝

，故选B.

3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选C　∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，

∴cos〈a，b〉＝－

.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝

.

4．已知向量m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ＝（　　）

A．－4B．－3

C．－2D．－1

解析：

选B　因为m＋n＝（2λ＋3,3），m－n＝（－1，－1），由（m＋n）⊥（m－n），可得（m＋n）·（m－n）＝（2λ＋3,3）·（－1，－1）＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.

5．如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且

＝λ（

－

）成立，则λ＝（　　）

A.

B.

C.

D．±

解析：

选B　由

＝

，且

＝

－

，得λ＝

.

6．设点A（－1,2），B（2,3），C（3，－1），且

＝2

－3

，则点D的坐标为（　　）

A．（2,16）B．（－2，－16）

C．（4,16）D．（2,0）

解析：

选A　设D（x，y），由题意可知

＝（x＋1，y－2），

＝（3,1），

＝（1，－4），

∴2

－3

＝2（3,1）－3（1，－4）＝（3,14）．

∴

∴

故选A.

7．某人在静水中游泳，速度为4

km/h，水流的速度为4km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（　　）

A．90°B．30°

C．45°D．60°

解析：

选D　如图，用

表示水速，

表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.

于是tan∠AOC＝

＝

＝

＝

，

∴∠AOC＝60°，故选D.

8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且

＝2

，

＝2

，

＝2

，则

＋

＋

与

（　　）

A．反向平行

B．同向平行

C．互相垂直

D．既不平行也不垂直

解析：

选A　∵

＋

＋

＝（

＋

）＋（

＋

）＋（

＋

）

＝

＋

＋

＝

＋

＋

＋

＝－

，

∴（

＋

＋

）与

平行且方向相反．

9．设a，b是两个非零向量（　　）

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

解析：

选C　若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；选项A：

当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：

若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：

若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

10．已知向量

与

的夹角为120°，且|

|＝2，|

|＝3.若

＝λ

＋

，且

⊥

，则实数λ的值为（　　）

A.

B．13

C．6D.

解析：

选D　∵

＝λ

＋

，且

⊥

，∴

·

＝（λ

＋

）·（

－

）＝

2－λ

2＋（λ－1）

·

＝0.∵

·

＝2×3×（－

）＝－3，∴32－λ·22＋（λ－1）×（－3）＝0，解得λ＝

.

11．在△ABC中，有下列四个命题：

①

－

＝

；

②

＋

＋

＝0；

③若（

＋

）·（

－

）＝0，则△ABC为等腰三角形；

④若

·

>0，则△ABC为锐角三角形．

其中正确的命题有（　　）

A．①②B．①④

C．②③D．②③④

解析：

选C　∵

－

＝

＝－

≠

，∴①错误．

＋

＋

＝

＋

＝

－

＝0，∴②正确．由（

＋

）·（

－

）＝

－

＝0，得|

|＝|

|，∴△ABC为等腰三角形，③正确．

·

>0⇒cos〈

，

〉>0，即cosA>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.

12．已知点O，P在△ABC所在的平面内，且|

|＝|

|＝|

|，

·

＝

·

＝

·

，则点O，P依次是△ABC的（　　）

A．重心、外心B．重心、内心

C．外心、垂心D．外心、重心

解析：

选C　因为|

|＝|

|＝|

|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由

·

＝

·

＝

·

得

·

－

·

＝

·

＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为△ABC的垂心．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且（a＋b）·（a－2b）＝－7，则向量a，b的夹角为________．

解析：

（a＋b）（a－2b）＝|a2|－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为

.

答案：

14．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

解析：

|5a－b|＝

＝

＝

＝

＝7.

答案：

7

15．（全国卷Ⅰ）设向量a＝（m,1），b＝（1,2），且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.

解析：

∵a＋b＝（m＋1,3），∴|a＋b|2＝|a|2＋|b|2⇔（m＋1）2＋32＝m2＋6，解得m＝－2.

答案：

－2

16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，

＝λ

，

＝（1－λ）

，则

·

的取值范围是________．

解析：

建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0,1），C（1,1）．设Q（m，n），由

＝λ

得，（m，n－1）＝λ（1,0），即m＝λ，n＝1.又B（2,0），设P（s，t），由

＝（1－λ）

得，（s－1，t－1）＝（1－λ）（1，－1），即s＝2－λ，t＝λ，所以

·

＝λ（2－λ）＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故

·

∈[0,2]．

答案：

[0,2]

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．

解：

|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cosθ（其中θ为a与b的夹角）．

∵0°<θ<120°，∴－

<|c|<5，

∴|c|的取值范围为（

，5）．

18．（本小题满分12分）已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2

＋

＝0，

（1）用

，

表示

.

（2）若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．

解：

（1）因为2

＋

＝0，

所以2（

－

）＋（

－

）＝0，

2

－2

＋

－

＝0，

所以

＝2

－

.

（2）证明：

如图，

＝

＋

＝－

＋

＝

（2

－

）．

故

＝

.即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形．

19．（本小题满分12分）平面内有向量

＝（1,7），

＝（5,1），

＝（2,1），点M为直线OP上的一动点．

（1）当

·

取最小值时，求

的坐标；

（2）在

（1）的条件下，求cos∠AMB的值．

解：

（1）设

＝（x，y），∵点M在直线OP上，

∴向量

与

共线，又

＝（2,1）．

∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.

∴

＝（2y，y）．又

＝

－

，

＝（1,7），

∴

＝（1－2y,7－y）．

同理

＝

－

＝（5－2y,1－y）．

于是

·

＝（1－2y）（5－2y）＋（7－y）（1－y）＝5y2－20y＋12.

可知当y＝

＝2时，

·

有最小值－8，此时

＝（4,2）．

（2）当

＝（4,2），即y＝2时，

有

＝（－3,5），

＝（1，－1），

|

|＝

，|

|＝

，

·

＝（－3）×1＋5×（－1）＝－8.

cos∠AMB＝

＝

＝－

.

20．（本小题满分12分）

如图，平行四边形ABCD中，

＝a，

＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F使BF＝

BC.

（1）以a，b为基底表示向量

与

；

（2）若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求

·

.

解：

（1）连接AF，由已知得

＝

＋

＝

a＋b.

∵

＝

＋

＝a＋

b，

∴

＝

＋

＝－

b＋

＝a－

b.

（2）由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×

＝－6，

从而

·

＝

·

＝

|a|2＋

a·b－

|b|2

＝

×32＋

×（－6）－

×42＝－

.

21．（本小题满分12分）在△ABC中，

·

＝0，|

|＝12，|

|＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．

（1）求

·

的值；

（2）判断

·

的值是否为一个常数，并说明理由．

解：

（1）∵

·

＝0，∴AB⊥AC.

又|

|＝12，|

|＝15，∴|

|＝9.

由已知可得

＝

（

＋

），

＝

－

，

∴

·

＝

（

＋

）·（

－

）

＝

（

－

）

＝

（144－81）＝

.

（2）

·

的值为一个常数．

理由：

∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，∴

·

＝0.

故

·

＝（

＋

）·

＝

·

＋

·

＝

·

＝

.

22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝（－1,2），且点A（8,0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈

.

（1）若

⊥a，且|

|＝

|

|，求向量

；

（2）若向量

与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求

·

.

解：

（1）因为

＝（n－8，t），且

⊥a，

所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.

又|

|＝

|

|，

所以5×64＝（n－8）2＋t2＝5t2，解得t＝±8.

所以

＝（24,8）或（－8，－8）．

（2）因为

＝（ksinθ－8，t），

与a共线，

所以t＝－2ksinθ＋16.

又tsinθ＝（－2ksinθ＋16）sinθ

＝－2k

2＋

，

当k>4时，1>

>0，

所以当s