西工大算法复习资料总结最终修订版.docx
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西工大算法复习资料总结最终修订版
笔试部分
1．简答题（40分）
1.算法的基本概念、性质及其与程序的联系与区别
算法：
是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令。
算法性质：
输入---有零个或者多个外部量作为算法的输入；
输出---算法产生至少一个量最为输出；
确定性：
组成算法的每条指令是清晰的、无歧义的；
有限性：
算法中指令的执行次数有限和执行的时间有限。
程序：
是算法用某种设计语言的具体实现，程序可以不满足算法的有限性。
2.大O表示法的含义和渐进时间复杂度（要会计算复杂度）
大O表示法：
称一个函数g（n）是O（f（n）），当且仅当存在常数c>0和n0>=1，对一切n>n0均有|g（n）|<=c|f（n）|成立，也称函数g（n）以f（n）为界或者称g（n）囿于f（n）。
记作g（n）=O（f（n））。
定义：
如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T（n），它是n的某一函数。
T（n）称为这一算法的“时间复杂度”。
当输入量n逐渐加大时，时间复杂度的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。
3.分治法的基本思想是什么
分治法的基本思想是：
将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。
递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
4.回溯算法的基本思想及其一般模式（子集树+排列树）
基本思想：
在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。
当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
搜索子集树的一般模式：
voidsearch（intm）
{
if（m>n）//递归结束条件
output（）;//相应的处理（输出结果）
else
{
a[m]=0;//设置状态：
0表示不要该物品
search（m+1）;//递归搜索：
继续确定下一个物品
a[m]=1;//设置状态：
1表示要该物品
search（m+1）;//递归搜索：
继续确定下一个物品
}
}
搜索排列树的一般模式：
voidsearch（intm）
{
if（m>n）//递归结束条件
output（）;//相应的处理（输出结果）
else
for（i=m;i<=n;i++）
{
swap（m,i）;//交换a[m]和a[i]
if（）
if（canplace（m））//如果m处可放置
search（m+1）;//搜索下一层
swap（m,i）;//交换a[m]和a[i]（换回来）
}
}
5.动态规划的基本思想、基本步骤、基本要素是什么
基本思想：
将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
基本步骤：
①找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
②递归地定义最优值；
③以自底向上的方式计算出最优值；
④根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
基本要素：
最优子结构性质和子问题重叠问题
6.什么是最优子结构性质和子问题重叠性质
最优子结构性质：
如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，则称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。
最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
子问题重叠性质：
指在用递归演算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。
动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。
7.分治法与动态规划的联系与区别
联系：
基本思想相同，即将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
区别：
适用于动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。
分治法子问题被重复计算多次，而动态规划子问题可用一个表来记录已解决子问题的答案，避免了子问题重复计算的问题。
8.动态规划的变形（备忘录方法）与动态规划的联系与区别
联系：
都用表格保存已解决的子问题的答案
区别：
备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划的递归方式是自底向上的。
9.分支限界法（广度优先搜索）的基本思想是什么
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展节点。
活结点一旦成为扩展节点，就一次性产生所有儿子节点。
在这些儿子节点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子节点被舍弃，其余儿子节点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一节点成为当前扩展节点，并重复上述节点扩展过程，这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
10.分支限界法与回溯法的区别
1.搜索方式不同：
分支限界法使用广度优先或最小消耗优先搜索，而回溯法使用深度优先搜索。
2.主要区别：
在于它们对当前扩展节点所采用的扩展方式不同。
分支限界法：
每个节点只有一次成为活结点的机会
回溯法：
活结点的所有可行子节点被遍历后才被从栈中弹出
11.搜索算法的一般模式
搜索算法关键要解决好状态判重的问题：
voidsearch（）
{
open表初始化为空;
起点加入到open表;
while（open表非空）
{
取open表中的一个结点u;
从open表中删除u;
for（对扩展结点u得到的每个新结点vi）
{
if（vi是目标结点）
输出结果并返回;
If（notused（vi））
vi进入open表;
}
}
}
12.贪心算法的基本思想、基本步骤及基本要素
基本思想：
贪心算法总是做出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优上加以考虑，所做的选择只是在某种意义上的局部最优选择，即贪心选择。
基本步骤：
①从问题的某个初始解出发；
②采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个局部最优解缩小问题的规模；
③将所有局部最优解综合起来，得到原问题的解。
基本要素：
①贪心选择性质：
指所求问题的整体最优解可以通过一系列的局部最优的选择，即贪心选择来达到。
贪心选择策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。
②最优子结构性质：
一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
13.贪心算法与动态规划算法联系与区别
联系：
都要求问题具有最优子结构性质，即一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
区别：
①在动态规划算法中，每步所做的选择往往是依赖于相关子问题的解，因而只有在解出相关子问题后，才能做出选择。
而在贪心算法中，仅在当前状态下做出最好的选择，即局部最优选择，然后再去解做出这个选择后产生的相应的子问题。
②动态规划算法通常以自底向上方式解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式做出相机的贪心选择以简化问题规模。
2．设计题（60分---写出核心代码或伪代码和相关的变量声明）
1.用二分查找算法查找某一个元素在线性表中的位置。
此问题的输入是待查元素x和线性表L，输出为x在L中的位置或者x不在L中的信息。
最直接的做法就是一个一个地扫描L的所有元素，直到找到x为止。
这种方法对于有n个元素的线性表在最坏的情况下需要n次比较。
一般来说，若没有其他的附加信息，在有n个元素的线性表中查找一个元素在最坏情况都需要n次比较。
考虑最简单的情况，该线性表为有序表，设其按照主键的递增顺序从小到大排列。
核心伪代码：
functionBinarySearch（L,a,b,x）
begin
ifa>bthenreturn-1
elsebegin
m=（a+b）div2;
ifx=L[m]thenreturn（m）
elseifx>L[m]
thenreturnBinarySearch（L,m+1,b,x）;
else
returnBinarySearch（L,a,m-1,x）;
end;
end;
2.请采用快速排序算法为下列数字排序，并写出最终结果（21254925*1608）
快速排序的基本思想:
选定一个基准值元素，对带排序的序列进行分割，分割之后的序列一部分小于基准值元素，另一部分大于基准值元素，再对这两个分割好的子序列进行上述的过程。
voidswap（inta,intb）{intt;t=a;a=b;b=t;}
intPartition（int[]arr,intlow,inthigh）
{
intpivot=arr[low];//采用子序列的第一个元素作为基准元素
while（low{
//从后往前在后半部分中寻找第一个小于基准元素的元素
while（low=pivot）
{
--high;
}
//将这个比枢纽元素小的元素交换到前半部分
swap（arr[low],arr[high]）;
//从前往后在前半部分中寻找第一个大于基准元素的元素
while（low{
++low;
}
//将这个基准元素大的元素交换到后半部分
swap（arr[low],arr[high]）;
}
returnlow;//返回基准元素所在的位置
}
voidQuickSort（int[]a,intlow,inthigh）
{
if（low{
intn=Partition（a,low,high）;
QuickSort（a,low,n）;
QuickSort（a,n+1,high）;
}
}
3.写出对下面的序列进行归并排序的过程（从小到大）（631499823481570）
核心代码:
voidMergeSort（intlow,inthigh）
{
if（low>=high）//每个子列表中剩下一个元素时停止
return;
//将列表划分成相等的两个子列表,若有奇数个元素，则在左边子列表大于右边子列表
else
intmid=（low+high）/2;
MergeSort（low,mid）;//递归划分子列表
MergeSort（mid+1,high）;//递归划分子列表
//新建一个数组b用于存放归并的元素
int[]b=newint[high-low+1];
//两个子列表进行排序归并，直到两个子列表中的一个结束
for（inti=low,j=mid+1,k=low;i<=mid&&j<=high;k++）
{
if（arr[i]<=arr[j]）
{
b[k]=arr[i];
i++;
}
else
{
b[k]=arr[j];
j++;
}
}
for（;j<=high;j++,k++）
//如果第二个子列表中仍然有元素，则追加到新列表
b[k]=arr[j];
for（;i<=mid;i++,k++）
//如果第一个子列表中仍然有元素，则追加到新列表
b[k]=arr[i];
for（intz=0;z//将排序的数组b的所有元素复制到原始数组arr中
arr[z]=b[z];
}
4.装载问题
问题关键在于：
首先将第一艘船尽可能装满且c1<最大值max，然后将剩余的部分装上第二艘船c2，若:
总重量-c1关键代码：
intc1,c2,n,w[10];
intweight=0,max=0;
voidsearch（intm）
{
if（m==n）
{
if（weight<=c1）
if（weight>max）
max=weight;
}
else
{
if（weight+=w[m]<=c1）
{
weight+=w[m];
search（m+1）;
weight-=w[m]
}
search（m+1）;
}
}
5.01-背包问题（回溯法）
关键代码：
intn,c;
intw[1000],v[1000];
inta[1000],max=0;
voidsearch（intm）
{
if（m>=n）
checkmax（）;
else
{
a[m]=0;
search（m+1）;
a[m]=1;
search（m+1）
}
voidcheckmax（）
{
inti;
intweight=0,value=0;
for（i=0;i{
if（a[i]==1）
{
weight+=w[i];
value+=v[i];
}
}
if（weight<=c）
if（value>max）
max=value;
}
6.循环赛日程表（递归与分治）
设计思想：
按分治策略，可以将所有选手对分为两半，n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。
递归地用这种一分为二的策略对选手进行分割，直至只剩下两个选手时，比赛日程表的指定就很简单了。
核心代码：
intN=1;
voidUpRightCopy（intn,intarray[]）
{
for（inti=0;i{
for（intj=n;j<2*n;j++）
{
array[N*i+j]=2*n+1-array[N*i+2*n-1-j];
}
}
}
voidDownRightCopy（intn,intarray[]）
{
for（inti=n;i<2*n;i++）
{
for（intj=n;j<2*n;j++）
{
array[N*i+j]=array[N*（i-n）+j-n];
}
}
}
voidLeftDownCopy（intn,intarray[]）
{
for（inti=n;i<2*n;i++）
{
for（intj=0;j{
array[N*i+j]=array[N*（i-n）+j+n];
}
}
}
voidturn（intn,intarray[]）
{
if（n==1）
array[0]=1;
else
{
turn（n/2,array）;
DownRightCopy（n/2,array）;
UpRightCopy（n/2,array）;
LeftDownCopy（n/2,array）;
}
}
7.最长公共子序列
核心代码：
chara[201],b[201];
intn1,n2;
voidsearch（）
{
intList[201][201];
for（inti=0;i<=n1;i++）
List[i][0]=0;
for（intj=0;j<=n2;j++）
List[0][j]=0;
for（inti=1;i<=n1;i++）
{
for（intj=1;j<=n2;j++）
{
if（a[i-1]==b[j-1]）
List[i][j]=List[i-1][j-1]+1;
else
{
if（List[i-1][j]>List[i][j-1]）
List[i][j]=List[i-1][j];
else
List[i][j]=List[i][j-1];
}
}
}
8.矩阵连乘问题
核心代码：
intn;
intp[11];
voidsearch（）
{
inta[11][11],temp;
for（inti=1;i<=n;i++）
a[i][i]=0;
for（intd=1;d<=n-1;d++）
{
for（inti;i<=n-d;i++）
{
intj=i+d;
a[i][j]=0+a[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
for（intk=i+1;k{
temp=a[i][k]+a[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if（tempa[i][j]=temp;
}
}
}
}
9.用备忘录算法实现计算Fibonacci数列
核心代码：
intFib（intn）
{
intresult[n]={0,0,...,0};
intf1,f2;
if（n<2）
returnn;
if（result[n-1]==0）
f1=Fib（n-1）;
else
f1=result[n-1];
if（result[n-2]==0）
f2=Fib（n-2）;
else
f2=result[n-2];
result[n]=f1+f2;
return（f1+f2）;
}
设计一个的高效算法实现Fibonacci数列
Version1（效率最差）
1.long Fibonacci（int n）
2.{
3. if （n == 0）
4. return 0;
5. else if （n == 1）
6. return 1;
7. else if （n > 1）
8. return Fibonacci （n - 1） + Fibonacci （n - 2）;
9. else
10. return -1;
11.}
Version2（效率其次）
1.long Fibonacci2（int n）
2.{
3. if （n == 0）
4. return 0;
5. else if （n == 1）
6. return 1;
7. else if （n > 1）
8. {
9.
10. if（tempResult[n] !
= 0）
11. return tempResult[n];
12. else
13. {
14. tempResult[n] = Fibonacci2 （n - 1） + Fibonacci2 （n - 2）;
15. return tempResult[n];
16. }
17. }
18.}
Version3（效率最高---放弃递归用循环实现）
1.long Fibonacci3（int n）
2.{
3. long * temp = new long[n + 1];
4.
5. temp[0] = 0;
6.
7. if （n > 0）
8. temp[1] = 1;
9.
10. for（int i = 2; i <= n; ++i）
11. {
12. temp[i] = temp[i - 1] + temp[i - 2];
13. }
14.
15. long result = temp[n];
16.
17. delete[] temp;
18.
19. return result;
20.}
10.活动安排问题
问题关键在于：
理解什么是相容性活动！
若区间[s1,f1）与区间[s2,f2）不相交，则称活动1与活动2是相容的，即s1>=f2或s2>=f1时，活动1与活动2相容。
（区间表示的是活动的起始时间s和结束时间f）
核心代码：
structaction
{
intbegin;
intend;
}a[1000];
intn;//n表示活动的总数
intsum=0;//sum表示能参加的活动的数量
voidsearch（）
{
sum=1;
inttemp=a[0].end;//temp表示第一个活动结束的时间
for（inti=1;i{
if（a[i].begin>=temp）
{
sum++;
temp=a[i].end;
}
}
}
voidselection_sort（）
{
for（inti=0;i{
intk=i;
for（intj=i+1;jif（a[j].endk=j;
structactiontemp=a[i];
a[i]=a[k];
a[k]=temp;
}
}
11.最优服务次序问题
思路是最短服务时间优先，先将服务时间排序，然后注意后面的等待服务时间既包括等待部分，也包括服务部分。
贪心策略：
对服务时间最短的顾客先服务的贪心选择策略。
首先对需要服务时间最短的顾客进行服务，即做完第一次选择后，原问题T变成了需对n-1个顾客服务的新问题T'。
新问题和原问题相同，只是问题规模由n减小为n-1。
基于此种选择策略，对新问题T'，选择n-1顾客中选择服务时间最短的先进行服务，如此进行下去，直至所有服务都完成为止。
每个客户需要的等待时间为:
T
（1）=t
（1）;
T
（2）=t
（1）+t
（2）;
......
T（n）=t
（1）+t
（2）+...+t（n）;
总等待时间为：
T=n*t
（1）+（n-1）*t
（2）+（n-2）*t（3）+...+（n+1-i）*t（i）+...+2*t（n-1）+1*t（n）
注：
st[]是服务数组，st[j]为第j个队列上的某一个顾客的等待时间；su[]是求和数组，su[j]的值为第j个队列上所有顾客的等待时间；
第一种代码：
1.double greedy（vector<
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